1、商周联盟20202021学年高二6月联考数学试卷（理科）考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚3考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效4本卷命题范围：选修2-2，选修2-3，选修4-4，选修4-5一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数满足（
2、为虚数单位），则在复平面内所对应的点为（ ）ABCD2某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示：45677608090100120根据上表可得回归直线方程，则宣传费用为9万元时，销售额约为（ ）A123万元B128万元C132万元D138万元3已知，则对，（ ）ABCD4在四张卡片上写上甲、乙、丙、丁四位同学的名字，再随机地发给这四位同学，在甲得到写有自己名字的卡片的情况下，其他人得到的都不是写有自己名字的卡片的概率为（ ）ABCD5若，则（ ）A120B24C-24D-1206已知复数，则下列结论：若，则；若，则；正确的个数为（ ）A1B2C3D47（ ）ABC
3、D98，三人参加单位组织的安全生产知识（闭卷）竞赛，三人向组织人员询问结果，得知他们三人包揽了这次竞赛的前三名，未告知具体名次，但提供了以下3条信息：不是第一名；不是第三名；是第三名，并告知他们这3条信息中有且只有一条信息正确，那么该次竞赛的第一名，第二名，第三名依次为（ ）A、B、C、D、9已知，若， ，则，的大小关系为（ ）ABCD10“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比
4、赛，则不同的选派方法共有（ ）A26种B30种C37种D42种11从集合中任取3个元素组成一个集合，记中所有元素之和被3除余数为的概率为，则，的大小关系为（ ）ABCD12定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，数列的前项和为，则（ ）AB2CD二、填空题：本题共4小题， 每小题5分，共20分13_14某校2000名学生的某次数学考试成绩，则成绩位于区间的人数大约是_人（注：若，则，）1530030能被_个不同正偶数整除16一几何体是由圆柱及其上的半球组合而成，球的半径等于圆柱底面半径，若该组合体的体积为，当圆柱的半径为_时，该组合体的表面积最小三、解答
5、题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（本小题满分12分）某餐厅为提高服务质量，随机调查了60名男顾客和60名女顾客，每位顾客对该餐厅的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意合计男顾客48女顾客24合计（1）完成上述列联表，并判断能否有95%的把握认为男、女顾客对该餐厅服务的评价有差异？（2）该餐厅为了进一步提高服务水平，改善顾客的用餐体验，在不满意的顾客中利用分层抽样的方法抽取6人听取他们的意见，并从这6人中抽取3人作为监督员，设为抽取的3人中男顾客人数，
6、求的分布列及数学期望附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82818（本小题满分12分）用两种方法证明：能被49整除19（本小题满分12分）2021年五-期间，某大型超市举办了一次回馈消费者的有奖促销活动，消费者消费每超过800元（含800元），均可抽奖一次，并获得用相应的奖励（抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种）抽奖方法及奖励如下：方案一：从装有10个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球1个，白球2个，黑球7个）的抽奖盒中，一次摸出3个球，奖励规则为：若摸出1个红球和2个白球，享受免单优惠；若摸出2个白球和1个黑球则打4折；若摸出1个红球2个黑球，则打6折；若
7、摸出1个白球2个黑球则打9折，其余情况不打折方案二：从装有10个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元（1）若两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费了1000元，试从数学期望角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20（本小题满分12分）（1）已知，且，用分析法证明：；（2）已知函数，证明：在上单调递增21（本小题满分12分）已知函数（为常数）（1）讨论函数的单调性；（2）若函数恰好有2个零点，求的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、
8、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线的交点为，与轴的交点为，求的值23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求的取值范围商周联盟20202021学年高二6月联考数学试卷（理科）参考答案、提示及评分细则1D 由题意，得，所以所以在复平面内对应的点为故选D2C 由表格数据知：，由回归直线方程的性质
9、，得，所以，故，所以当万元时，万元故选C3A 故选A4A 设事件为“甲得到写有自己名字的卡片”，事件为“其他三人得到的卡片都不是写有自己名字的卡片”，则，故故选A5D 令，则，所以，所以故选D6A 错误，例如，满足，但，；错误，例如，满足条件但二者是虚数，不能比较大小；错误，等号左边结果一定是非负实数，等号右边未必是实数；正确；错误，类似于故选A7C ，由定积分的几何意义知表示曲线（单位圆的上半部分）与直线，及坐标轴所围成的图形的面积，所以所以故选C8B 由题意知若对，则也对，不合题意，故一定错误，则为第一名，或为第二名，若为第一名，则正确，那么错误，故为第三名，符合题意；若为第二名，此时同真
10、，或同假，不合题意故选B9B ，令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，又的定义域为，所以在，上单调递减，又，所以故选B10C 根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法，从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法，从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，则有种不同的选法故选C11B 记为中被3除余数为的数所组成的集合，则在，中各有11个元素，在中任取3个元素，其和被3除余数为0，在，各取一个元素，其和被3除余数为0，所以，同理可得，
11、很明显，所以故选B12D 当时，所以的取值为0，所以，所以；当时，若时，故，若时，故，所以，所以；当时，若时，故；若时 ，故；若时，故，5，所以，所以；当时，若时，故；若时，故；若时，故，5，若时，故，10，11，所以所以；以此类推，可以归纳，得，所以，所以，所以故选D13 1443 ，其中，所以，所以，所以成绩在的人数估计约为人1532 先把30030分解成质因数的形式：；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为个163 法一：设圆柱的半径为，高为，则，即，所以，所以该组合体的表面积，当且仅当，即时等号成立法二：设圆柱的半径为，高为，则，即，所
12、以，所以该组合体的表面积，所以，令，得，易知当时，取得最小值17解：（1）满意不满意合计男顾客481260女顾客362460合计8436120所以，所以能有95%的把握认为男、女顾客对该餐厅服务的评价有差异（2）由题意知，抽取的6人中男顾客，女顾客的人数分别为2人，4人，所以的取值为0，1，2，所以其分布列为012所以其数学期望18证明：方法一：因为为整数，所以能被49整除方法二：（1）当时，能被49整除（2）假设当，能被49整除，那么，当，因为能被49整除，也能被49整除，所以能被49整除，即当时命题成立，由（1）（2）知，能被49整除19解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出1个
13、红球，2个白球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为（2）若选择方案一：设付款金额为元，则可能的取值为0、400、600、900、1000，故的分布列为04006009001000所以若选择方案二：设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以（元）因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算20证明：（1）因为，且，所以，要证，只需证即可，只要证，即证，只要证，因为，所以，所以成立命题得证（2）任取，且，因为，所以，由，得，所以，所以，所以，所以，即所以在上单调递增21解：（1）函数的定义域为，当时，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，的两
14、根是，2当，即时，由，得或，由，得，所以在上单调递减，在，上单调递增；当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；当，即时，由，得或，由，得，所以在上单调递减，在，上单调递增； （2）问题可以转化为关于的方程有两个不相等的实数根，因为（由易得），所以，令，则令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，所以，所以，即的取值范围为22解：（1）由，得，消去参数，得，即曲线的普通方程为；由，得，即又，所以，所以直线的直角坐标方程为（2）因为直线的方程为，所以直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的方程，得所以，设，两点对应的参数分别为，则，所以23解：（1）时，所以，当时，不等式变为，解得；当时，不等式变为，不等式无解；当时，不等式变为， 解得所以原不等式的解集为（2）因为，当且仅当时等号成立，所以由题意知，所以，或，所以，或所以的取值范围为