1、专题7.5 数列的综合应用【考纲解读与核心素养】1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用.2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题.4.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.5.高考预测：（1）根据数列的递推式或者通项公式确定基本量，选择合适的方法求和，进一步证明不等式（2）数列与函数、不等式相结合.6.备考重点:（1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件；（2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法；（3)数列求和与不等式
2、证明、不等式恒成立相结合求解参数的范围问题.【知识清单】知识点1等差数列和等比数列比较等差数列等比数列定义常数常数通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,) 为等差数列；(4)前n项和公式法：(为常数, ) 为等差数列；(5) 为等比数列，且，那么数列 (，且)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法： () 为等比数列(3)通项公式法： (均是不为0的常数，)为等比数列(4) 为等差数列(总有意义)为等比数列性质(1)若，且，则(2) (3) ，仍成等差数列(1)若，且，则(2) (3)等比数列依次每项和()，即 ，仍成等比数列前n项和时，；当时
3、，或.知识点2数列求和1. 等差数列的前和的求和公式：.2等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.3. 数列前项和重要公式：（1） （2）（3） （4） 等差数列中，；等比数列中，.【典例剖析】高频考点一 等差数列与等比数列的综合问题【典例1】（浙江省杭州市第二中学2020届高三）已知等比数列的各项均为正数，且，成等差数列，则（ ）ABCD【答案】A【解析】设公比为.由，成等差数列，可得，所以，则，解(舍去)或.所以.故选A.【典例2】（2017全国高考真题（文）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.【答
4、案】（1）；（2）5或.【解析】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.（1），结合得，.（2），解得或3，当时，此时；当时，此时.【总结提升】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的【变式探究】1.（2019年9月浙江省嘉兴市高三测试）已知是公差为的等差数列，为其前项和，若，
5、成等比数列，则_，当_时，取得最大值【答案】19. 10. 【解析】因为，成等比数列，所以，又是公差为的等差数列，所以，即，解得，所以，因此，当时，取得最大值故答案为(1). 19. (2). 10.2.（2019天津高考模拟（理）已知数列满足（为实数，且），且，成等差数列（）求的值和的通项公式；（）设，求数列的前项和【答案】（），;（）.【解析】（）由已知，有，即所以又因为，故，由，得当时，；当时，所以，的通项公式为 （）由（）得设的前项和为，则，上述两式相减，得整理得，所以所以，数列的前项和为，【易错提醒】1.利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：(1)裂项过程中易忽视
6、常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数；(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误2.应用错位相减法求和时需注意：（1）给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；（2）在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.高频考点二 数列与函数的综合【典例3】（2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考）已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）ABCD【答案】B【解析】考察函数，由可得在单调递增，由可得在单调递减且，可得，数列为单调递增数列，如图所示：且，图象可得，所以，故选B.【典例4】（2014四川高考真题（理）设等差数列的公差
7、为，点在函数的图象上（）.（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】.（1），所以.（2）将求导得，所以在处的切线为，令得，所以，.所以，其前项和两边乘以2得：得：，所以.【总结提升】数列与函数的综合问题主要有以下两类：知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形【变式探究】1.（2018浙江高考模拟）已知数列an的首项a1=1，前n项和为Sn，且an+1=Sn+n+1（nN
8、+）（）求证数列an+1为等比数列；（）设数列 的前n项和为Tn，求证： （）设函数 ，令 ，求数列bn的通项公式，并判断其单调性【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（）证明：an+1=Sn+n+1，可得当n2时，an=Sn1+n，两式相减可得，an+1an=an+1，可得an+1+1=2（an+1），n2，由a1+1=2，a2+1=4，可得数列an+1为公比为2的等比数列；（）an+1=22n1=2n，即有an=2n1，当n=1时，T1=1，当n=2时，T2=1+，当n=3时，T3=1+=显然有；n3时，Tn=1+1+（+）=1+1+=1+1+=；（）设函数，令，fn（x）=
9、an+2an1x+na1xn1，则bn=fn（1）=an+2an1+na1=（2n1）+2（2n11）+3（2n21）+n（211）=2n+22n1+32n2+n21令A=2n+22n1+32n2+n21，A=2n1+22n2+32n3+n20，两式相减可得，A=2n+2n1+2n2+2n=2n+1n2，即A=2n+22n4，bn=2n+22n4=2n+2n2n4，bn递增，只需证明当n为自然数时，bn+1bn=2n+2n30当n=1时，2n+2n3=40，假设n=k时，2k+2k30，则当n=k+1时，2k+3k4=（2k+2k3）+（2k+21）0恒成立，综上可得，当n为一切自然数时，bn
10、+1bn即数列bn为递增数列2.（2017上海高考真题）根据预测，某地第 个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差. （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】（1）935；（2）见解析.【解析】（1）（2），即第42个月底，保有量达到最大 ，此时保有量超过了容纳量. 高频考点三 数列与不等式的综合【典例5】（2019年9月浙江省超级全能生高三联考）已知等比数列的公
11、比，且为，的等比中项，为，的等差中项.（）求q的值；（）设数列的前项和为，求证：.【答案】（）（）详见解析【解析】（）由题意得则解得.（）由题知，则.当时，；当时，故，综上所述，.【典例6】（2020届浙江省台州五校高三上学期联考）已知函数.（）求方程的实数解；（）如果数列满足，（），是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论（）在（）的条件下，设数列的前项的和为，证明：【答案】（）;（）存在使得;（）见解析.【解析】（）；（）存在使得证法1：因为，当时，单调递减，所以因为，所以由得且下面用数学归纳法证明因为，所以当时结论成立假设当时结论成立，即由于为上的减函数，所以，从而，因此，即综上所
12、述，对一切，都成立，即存在使得 证法2：，且是以为首项，为公比的等比数列.所以.易知，所以当为奇数时，；当为偶数时，即存在，使得.（）证明：由（2），我们有，从而.设，则由得.由于，因此n=1，2，3时，成立，左边不等式均成立当n3时，有，因此从而即解法2: 由（）可知，所以，所以所以所以当为偶数时，；所以当为奇数时，即.(其他解法酌情给分)【总结提升】1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”放缩法常见的放缩技巧有：(1).(2).(3)2()2()2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最
13、值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解【变式探究】1.（2020山东高三下学期开学）已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）解：，当时，当时，由-，得，因为符合上式，所以（2）证明：因为，所以2（2019福建高考模拟（理）已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的前项和；（2）设，数列的前项和为，求证.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）因为，所以当时，-得，即，又因为，即，所以，即数列是以为首项，公比的等比数列，所以，则.（2）由（1）得，所以，则，则，所以 .因为，所以.又，当时，取得最小
14、值为，所以，即.高频考点四 数列与充要条件【典例7】（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等比数列公比为，当时，当时，所以“”是“”的充要条件.故选:C.【典例8】（2020浙江高三）等差数列an的公差为d，a10，Sn为数列an的前n项和，则“d0”是“Z”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】等差数列an的公差为d，a10，Sn为数列an的前n项和，若d0，则an为常数列，故an=，即“Z”，当Z时，d不
15、一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，4，d2，故d0是Z的充分不必要条件故选：A【规律方法】充要关系的几种判断方法(1)定义法：若 ，则是的充分而不必要条件；若 ，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件； 若 ，则是的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，MN等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件【变式探究】1.（2020届浙江宁波市高三上期末）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，得，即，所以“”是“”的充分条件，由，所以，所以“”是“”的必要条件，综上，“”是“”的充要条件.故选：C.2.（2019浙江高三期中）设，则“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的 A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若数列是等比数列，数列是等比数列，数列是等比数列，不是等比数列，数列是等比数列是数列是等比数列的充分不必要条件，故选：A
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