1、专题3.1 导数的概念及运算、定积分【考情分析】1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数yc(c为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如yf(axb)的复合函数)的导数；5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；6.了解微积分基本定理的含义。【重点知识梳理】知识点1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率li li 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0
2、)或y（x）x0，即f(x0)li li 。【特别提醒】函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。(2)导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)。【特别提醒】曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线。(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)li
3、为f(x)的导函数。(4)f(x)是一个函数，f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值(常数)，f(x0)0。知识点2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0，且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)知识点3.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).知识点4复合函数的导数复合
4、函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。知识点5.定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1，2，n)，作和式f(i)x f(i)，当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.(2)定积分的几
5、何意义f(x)f(x)dx的几何意义f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在a，b上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积知识点6.定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数).(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb).知识点7.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间a，b上的连续函数，且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a).这个
6、结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式.可以把F(b)F(a)记为F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a).【特别提醒】函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx0.【典型题分析】高频考点一 导数的运算【例1】 (2018天津卷)已知函数f(x)exln x，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为_.【解析】由题意得f(x)exln xex，则f(1)e.【答案】e【方法技巧】(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数(2)在求导过程中
7、，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误【变式探究】（2020广东省佛山市一中模拟）已知f(x)x22xf(1)，则f(0) .4f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，f(1)2，f(0)2f(1)2(2)4.高频考点二 求切线方程例2. （2020新课标）函数的图像在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，因此，所求切线的方程为，即.【举一反三】【2019全国卷】曲线在点处的切线方程为_【解析】所以切线的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即【答案】【方法技巧】(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)
8、(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可(3)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上高频考点三 求参数的值例3.【2019全国卷】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（ ）A Ba=e，b=1C D，【答案】D【解析】yaexln x1，y|x1ae1，2ae1，ae1.切点为(1,1)，将(1,1)代入y2xb，得12b，b1，故选D.【变式探究】（2020吉林省通化市第一中学模拟）已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与
9、函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m .【答案】2【解析】f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，m2.高频考点四 导数与函数图象例4. （2020山西忻州一中模拟）已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()【答案】B【解析】由yf(x)的图象是先上升后下降可知，函数yf(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.【变式探究】（2020浙江省衢州第一中学模拟
10、）已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3) .【答案】0【解析】由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，g(3)130.高频考点五 定积分的计算例5. （2020江苏省仪征中学模拟）计算dx的值为()A.B.ln 2C.ln 2 D3ln 2【答案】B【解析】dx|2ln 2ln 2.故选B.【方法技巧】(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差(2
11、)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和【变式探究】（2020安徽省阜阳市第一中学模拟）(sin xcos x)dx_【答案】2【解析】(sin xcos x)dx(cos xsin x)|112高频考点六 定积分的几何意义例6. （2020福建省晋江市第一中学模拟）若dx，则m_【答案】1【解析】根据定积分的几何意义dx表示圆(x1)2y21和直线x2，xm和y0围成的图形的面积，又dx为四分之一圆的面积，结合图形知m1.【变式探究】（2020山东省淄博市第八中学模拟）曲线yx2，y与x轴所围成的面积为_【答案】【解析】如图所示，由y及yx2可得交点横坐标为x1.由定积分的几何意义可知，由y，yx2及x轴所围成的封闭图形的面积为dx(x2)dxx|.
