1、习题课 数学归纳法明目标、知重点 1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题.2.掌握证明 nk1 成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等 1归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明2数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数 n 有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步递推归纳时，从 nk 到 nk1 必须用上归纳假设题型一 用数学归纳
2、法证明不等式用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由 nk 到 nk1 时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明 nk1 时的结论例 1 已 知 数 列 bn 的 通 项 公 式 为 bn 2n，求 证：对 任 意 的 nN*，不 等 式b11b1 b21b2 bn1bn n1都成立证明 由 bn2n，得bn1bn 2n12n，所以b11b1 b21b2 bn1bn3254762n12n.下面用数学归纳法证明不等式b11b1 b21b2 bn1bn 3254762n12n n1成立(1)当 n1 时，左边32，右边 2，因为32 2，所以不等式成立(2)
3、假设当 nk(k1 且 kN*)时不等式成立，即b11b1 b21b2 bk1bk 3254762k12k k1成立则当 nk1 时，左边b11b1 b21b2 bk1bk bk11bk1 3254762k12k 2k32k2 k12k32k22k324k1 4k212k94k14k212k84k14k23k24k14k1k24k1 k2 k11.所以当 nk1 时，不等式也成立由(1)、(2)可得不等式b11b1 b21b2 bn1bn 3254762n12n n1对任意的 nN*都成立反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标在凑证明目标时，比较法、综合法、
4、分析法都可选用跟踪训练 1 用数学归纳法证明122132 1421n211n(n2，nN*)证明 当 n2 时，左式12214，右式11212，因为1412，所以不等式成立假设 nk(k2，kN*)时，不等式成立，即 122132 1421k211k，则当 nk1 时，122 1321421k21k1211k1k121k12kkk12 1k2k1kk12 2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何 k 条直线交点个数f(k)12k(k1)，那么，当 nk1 时，任取一条直线 l，除 l 以外其他 k 条直线交点个数为f(k)12k(k1)，l 与其他 k 条直线交点个数为 k，从而 k1 条直线
5、共有 f(k)k 个交点，即 f(k1)f(k)k12k(k1)k12k(k12)12k(k1)12(k1)(k1)1，当 nk1 时，命题成立由(1)(2)可知，对任意 nN*(n2)命题都成立反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明跟踪训练 3 有 n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成 f(n)n2n2 部分证明(1)n1 时，分为 2 块，f(1)2，命题成立；(2)假设 nk(kN*)时，被分成 f(k)k2k2 部分；那么当 nk1 时，依题意，第 k1 个圆与前 k 个圆产生 2k 个
6、交点，第 k1 个圆被截为 2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了 2k 个区域f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，即 nk1 时命题成立，由(1)(2)知命题成立1某个命题与正整数 n 有关，若 nk(kN*)时命题成立，那么可推得当 nk1 时该命题也成立，现已知 n5 时，该命题不成立，那么下列说法正确的是_n6 时该命题不成立n6 时该命题成立n4 时该命题不成立n4 时该命题成立答案 解析 nk(kN*)时命题成立，那么可推得当 nk1 时该命题成立若 n5 时，该命题不成立，则 n4 时该命题不成立2用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，
7、xnyn 能被 xy 整除”时，第一步验证 n1 时，命题成立，第二步归纳假设应写成_答案 假设 n2k1(kN*)时命题正确，再推证 n2k1 时命题正确3用数学归纳法证明 3nn3(n3，nN*)第一步应验证_答案 n3 时是否成立解析 n 的最小值为 3，所以第一步验证 n3 时是否成立4用数学归纳法证明 123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk”到“nk1”，左边需增添的代数式是_答案(2k2)(2k3)解析 当 nk 时，左边共有 2k1 个连续自然数相加，即 123(2k1)，所以当 nk1 时，左边共有 2k3 个连续自然数相加，即 123(2k1)(2k2)(2k3)所以
8、左边需增添的代数式是(2k2)(2k3)呈重点、现规律1数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等2证明问题的初始值 n0 不一定，可根据题目要求和问题实际确定 n0.3从 nk 到 nk1 要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1用数学归纳法证明等式 123(n3)n3n42(nN*)，验证 n1 时，左边应取的项是_答案 1234解析 等式左边的数是从 1 加到 n3.当 n1 时，n34，故此时左边的数为从 1 加到 4.2用数学归纳法证明“2nn21 对于 nn0 的自然数 n 都成立”时，第一步证明中的起
9、始值 n0 应取_答案 5解析 当 n 取 1、2、3、4 时 2nn21 不成立，当 n5 时，253252126，第一个能使2nn21 的 n 值为 5.3已知 f(n)112131n(nN*)，证明不等式 f(2n)n2时，f(2k1)比 f(2k)多的项数是_答案 2k解析 观察 f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)11212k，而 f(2k1)11212k12k112k212k2k.因此 f(2k1)比 f(2k)多了 2k 项4若 f(n)1121312n1(nN*)，则 f(1)_.答案 116解析 12n1相当于一个通项，把 n1 代入12n1得121113
10、.所以 f(1)11213116.5用数学归纳法证明“5n2n 能被 3 整除”的第二步中，当 nk1 时，为了使用归纳假设，应将 5k12k1 变形为_答案 5(5k2k)32k6已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，Snn2an(nN*)依次计算出 S1，S2，S3，S4后，可猜想 Sn_.答案 2nn1解析 S11，S243，S33264，S485，猜想 Sn 2nn1.7已知正数数列an(nN*)中，前 n 项和为 Sn，且 2Snan1an，用数学归纳法证明：ann n1.证明(1)当 n1 时，a1S112(a1 1a1)，a211(an0)，a11，又 1 01，n1
11、时，结论成立(2)假设 nk(kN*)时，结论成立，即 ak k k1.当 nk1 时，ak1Sk1Sk12(ak1 1ak1)12(ak1ak)12(ak1 1ak1)12(k k11k k1)12(ak1 1ak1)k.a2k12 kak110，解得 ak1 k1 k(an0)，nk1 时，结论成立由(1)(2)可知，对 nN*都有 an n n1.二、能力提升8k(k3，kN*)棱柱有 f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数 f(k1)f(k)_.答案 k1解析 三棱柱有 0 个对角面，四棱柱有 2 个对角面020(31)；五棱柱有 5 个对角面232(41)；六棱柱有 9 个对角
12、面545(51)；.猜想：若 k 棱柱有 f(k)个对角面，则(k1)棱柱有 f(k)k1 个对角面9对于不等式 n2nn1(nN*)，某学生的证明过程如下：当 n1 时，12111，不等式成立假设 nk(nN*)时，不等式成立，即 k2kk1，则 nk1 时，k12k1k23k212 1n2.假设 nk 时，不等式成立则当 nk1 时，应推证的目标不等式是_答案 1221321k21k121k2212 1k3解析 观察不等式中的分母变化知，1221321k21k121k2212 1k3.11求证：1n1 1n2 13n56(n2，nN*)证明(1)当 n2 时，左边1314151656，不等
13、式成立(2)假设当 nk(k2，kN*)时命题成立，即 1k1 1k2 13k56.则当 nk1 时，1k111k12 13k13k113k213k1 1k1 1k2 13k(13k113k213k3 1k1)56(13k113k213k3 1k1)56(313k3 1k1)56，所以当 nk1 时不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式对一切 n2，nN*均成立12.已知数列an中，a123，其前 n 项和 Sn 满足 anSn1Sn2(n2)，计算 S1，S2，S3，S4，猜想 Sn 的表达式，并用数学归纳法加以证明解 当 n2 时，anSnSn1Sn1Sn2.Sn1Sn12(n2)则有
14、：S1a123，S21S1234，S31S2245，S41S3256，由此猜想：Snn1n2(nN*)用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，S123a1，猜想成立(2)假设 nk(kN*)时猜想成立，即 Skk1k2成立，那么 nk1 时，Sk11Sk21k1k22k2k3k11k12.即 nk1 时猜想成立由(1)(2)可知，对任意正整数 n，猜想均成立三、探究与拓展13.已知递增等差数列an满足：a11，且 a1，a2，a4 成等比数列(1)求数列an的通项公式 an；(2)若不等式(1 12a1)(1 12a2)(1 12an)m2an1对任意 nN*恒成立，试猜想出实数 m的最小值，并
15、证明解(1)设数列an公差为 d(d0)，由题意可知 a1a4a22，即 1(13d)(1d)2，解得 d1 或 d0(舍去)所以 an1(n1)1n.(2)不等式等价于1234562n12n m2n1，当 n1 时，m 32；当 n2 时，m3 58；而 32 3 58，所以猜想，m 的最小值为 32.下面证不等式1234562n12n 322n1对任意 nN*恒成立下面用数学归纳法证明：证明(1)当 n1 时，1232312，命题成立(2)假设当 nk 时，不等式，1234562k12k 322k1成立，当 nk1 时，1234562k12k 2k12k2322k12k12k2，只要证322k12k12k2322k3，只要证 2k12k2 12k3，只要证 2k1 2k32k2，只要证 4k28k34k28k4，只要证 34，显然成立所以，对任意 nN*，不等式1234562n12n 322n1恒成立.