1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.5平面直角坐标系中的距离公式学习目标1.掌握两点间的距离公式并会应用2.了解点到直线的距离公式的推导方法3.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题4.初步掌握用解析法研究几何问题的方法.【主干自填】1两点间的距离公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B的距离公式|AB| .2点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离记为d，则d.3两条平行线间的距离两平行直线AxByC10与AxByC20(A、B不同时为0，C1C2)间的距离为.【即时小测】1思考下列问题(1)当P1，P2的连线与坐标轴垂直时，两点
2、间的距离公式是否适用？提示：适用(2)点到直线的距离公式对于A0或B0或P在直线l上的特殊情况是否还适用？提示：仍然适用当A0时，B0，直线l的方程为ByC0，即y，d，适合公式；当B0时，A0，直线l的方程为AxC0，x，d，适合公式；当P点在直线l上时，有Ax0By0C0，d0，适合公式2已知A(2,1)，B(1，b)，|AB|5，则b等于()A3 B5C3或5 D1或3提示：C|AB|5，解得b5或b3.3已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a的值等于()A. B2 C.1 D.1提示：C由点到直线的距离公式得1|a1|.因为a0，所以a1，即a1.4P，Q分别为直线
3、3x4y120与6x8y60上任意一点，则|PQ|的最小值为_提示：3直线6x8y60可变为3x4y30，由此可知两直线平行它们的距离d3，|PQ|最小值为d3. 例1(1)求直线2xmy20(m0)与两坐标轴的交点之间的距离；(2)已知点A(a，5)与B(0,10)间的距离是17，求a的值；(3)求直线l：yx被两条平行直线xy20和xy40所截得的线段的长度解(1)直线2xmy20与x轴的交点为(1,0)，与y轴的交点为，两交点之间的距离为d.(2)由两点间的距离公式可得d2a2152172，a8.(3)先求两直线的交点，由解得交点为(1,1)，由解得交点为(2,2)所求线段的长度为d.类
4、题通法应用距离公式的注意事项(1)使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的先后顺序无关，使用于任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷(2)两点间的距离公式是利用代数法研究几何问题的最基本的公式之一，利用代数法解决几何中的距离问题往往最后都要转化为此公式解决.已知点A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，(1)试判断ABC的形状；(2)求AB边上的中线CM的长解(1)|AB|，|AC|，|BC|，|AB|AC|BC|，ABC为等腰三角形(2)M，|CM|.例2求点P(1,2)到下列直线的距离：(1)l1：yx3；(2)l2：y1；(3)y轴解(
5、1)将直线方程化为一般式为xy30，由点到直线的距离公式得d12.(2)解法一：直线方程化为一般式为y10，由点到直线的距离公式得d23.解法二：如图，y1平行于x轴，d2|12|3.(3)解法一：y轴的方程为x0，由点到直线的距离公式得d31.解法二：如图可知，d3|10|1.类题通法点到直线距离公式的注意点求点到直线的距离，要注意公式的条件，要先将直线方程化为一般式对于特殊直线可采用数形结合的思想方法求解P点在直线3xy50上，且P到直线xy10的距离为，求P点的坐标解设点P的坐标为(x0，y0)，由题意得解得x02，y01或x01，y02.所以点P的坐标为(2，1)或(1,2).例3已知
6、直线l1与l2的方程分别为7x8y90,7x8y30，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且，求直线l的方程解设P(x，y)为l上任一点则d1，d2.由，即d22d1，得|7x8y3|2|7x8y9|，7x8y32(7x8y9)或7x8y32(7x8y9)化简得l的方程为7x8y210或7x8y50.类题通法求两条平行直线间距离的两种思想(1)转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离；(2)利用公式d求解，但需注意两直线方程都化为一般式，且x，y的系数对应相等已知直线l过点A(2,4)，被两平行直线l1：xy10与l2：xy10所截得线段的中点M在直线xy30
7、上，求直线l的方程解解法一：点M在直线xy30上，可设点M坐标为(t,3t)由题意知点M到l1，l2的距离相等，即，解得t，M.又l过点A(2,4)，由两点式得，即5xy60，故直线l的方程为5xy60.解法二：设与l1，l2平行且距离相等的直线l3：xyC0，由两平行直线间的距离公式得，解得C0，即l3：xy0.由题意得中点M在l3上，又点M在xy30上，解方程组得M.又l过点A(2,4)，故由两点式，得直线l的方程为5xy60.易错点对斜率是否存在考虑不全面致误典例求经过点(1,2)且到原点距离为1的直线方程错解所求直线过点A(1,2)，可设直线方程为y2k(x1)，即kxyk20.原点到
8、此直线的距离为1，1，解得k，所求直线方程为y2(x1)，即3x4y50.错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密，当用待定系数法确定直线斜率时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论，否则容易犯解析不全的错误正解当直线过点A(1,2)且垂直于x轴时，直线方程为x1，原点(0,0)到直线的距离等于1，所以满足题意当直线过点A(1,2)且与x轴不垂直时，由题意可设直线方程为y2k(x1)，即kxyk20，又由原点到此直线距离等于1，所以1，解得k，所以直线方程为y2(x1)，即3x4y50.综上所述，所求直线方程为x1或3x4y50.课堂小结1.应用点P(x0，y0)到直线AxByC0(A、B不同时
9、为零)距离公式d的前提是直线方程为一般式特别地，当直线方程A0或B0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解.2.两条平行线间的距离处理方法有两种：一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的化归转化思想.二是直接套用公式d，其中l1：AxByC10，l2：AxByC20，(C1C2)需注意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别相同.1已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为()A10 B5 C8 D6答案A解析设A(a,0)，B(0，b)，则a6，b8，即A(6,0)，B(0,8)，所以|AB| 10.2若点(1,2)到直线xya0的距
10、离为，则实数a的值为()A2或2 B.或C2或0 D2或0答案C解析由点到直线的距离公式，得，即|a1|1，解得a2或0.3已知两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则实数m的值为()A6或 B或1C或 D0或答案A解析，即|3m5|7m|，解得m6或.4到直线3x4y10的距离为3，且与此直线平行的直线方程是()A3x4y40B3x4y40或3x4y20C3x4y160D3x4y160或3x4y140答案D解析在直线3x4y10上取点(1,1)设与直线3x4y10平行的直线方程为3x4ym0，则3，解得m16或m14，即所求直线方程为3x4y160或3x4y140.高考资源网版权所有，侵权必究！