1、第九章 解析几何第三节 圆的方程栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.求圆的标准方程、一般方程，圆心到直线的距离，与圆有关的轨迹、最值问题是 2021年高考考查的热点，题型以选择题与填空题为主，也可能出现在解答题中，分值为 512分.数学运算课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1圆的定义和圆的方程定义平面内到 1 _的距离等于 2 _的点的轨迹叫做圆方程标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心 C(a，b)半径为 r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：3
2、_圆心坐标：4半径 r12D2E24F定点定长D2E24F0D2，E22.点与圆的位置关系平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(xa)2(yb)2r2 之间存在着下列关系：(1)|MC|rM 在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M 在 5 _；(2)|MC|rM 在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M 在 6 _；(3)|MC|rM 在圆内，即(x0a)2(y0b)20.2以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径两端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2
3、)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的一个圆()(3)方程 x2y24mx2y0 不一定表示圆()(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则 x20y20Dx0Ey0F0.()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 2P124A1 改编)圆 x2y24x6y0 的圆心坐标和半径分别是()A(2，3)，3B(2，3)，3C(2，3)，13D(2，3)，13答案：D3(必修 2P130 例 3 改编)过点 A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1
4、)2(y1)24D(x1)2(y1)24答案：C三、易错自纠4若方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则 a 的取值范围是_解析：若方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则 a24a24(2a2a1)0，即 3a24a40，解得2a0，即2 33 a43a24，化简得 a2a90，aR，故 a 的取值范围是2 33，2 33.答案：2 33，2 336圆心在 y 轴上，半径长为 1，且过点 A(1，2)的圆的方程是_解析：根据题意可设圆的方程为 x2(yb)21，因为圆过点 A(1，2)，所以 12(2b)21，解得 b2，所以所求圆的方程为 x2(y2)21.答案：x2(y2
5、)21课 堂 考 点 突 破2考点 求圆的方程|题组突破|1已知圆 E 经过三点 A(0，1)，B(2，0)，C(0，1)，且圆心在 x 轴的正半轴上，则圆 E 的标准方程为()Ax322y2254Bx342y22516Cx342y22516Dx342y2254解析：选 C 解法一(待定系数法)：设圆 E 的一般方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则由题意得1EF0，42DF0，1EF0，解得D32，E0，F1，所以圆 E 的一般方程为 x2y232x10，即圆 E 的标准方程为x342y22516.解法二(几何法)：因为圆 E 经过点 A(0，1)，B(2，0)，所以圆 E 的圆
6、心在线段 AB 的垂直平分线 y122(x1)上 又圆 E 的圆心在 x 轴的正半轴上，所以圆 E 的圆心坐标为34，0.所以圆 E 的半径为|EB|2342（00）254，所以圆 E 的标准方程为x342y22516.2已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，5)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为4 55，则圆 C 的方程为_解析：因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a，0)，且 a0，由圆心到直线 2xy0 的距离 d|2a|54 55，解得 a2，所以 C(2，0)，所以圆 C 的半径 r|CM|453，所以圆 C 的方程为(x2)2y29.答案：(x
7、2)2y293(2019 年北京卷)设抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，则以 F 为圆心，且与 l相切的圆的方程为_解析：因为抛物线的标准方程为 y24x，所以焦点 F(1，0)，准线 l 的方程为 x1.因为所求的圆以 F 为圆心，且与准线 l 相切，故圆的半径 r2，所以圆的方程为(x1)2y24.答案：(x1)2y24名师点津1求圆的方程的两种方法几何法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程待定系数法根据题意，选择标准方程与一般方程；根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程提醒 解答圆的有关
8、问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质2确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线考点 与圆有关的轨迹问题【例】已知圆 x2y24 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程解(1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2，2y)因为 P 点在圆 x2y24 上，所以(2x2)2(2y)24.故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设 PQ 的中点
9、为 N(x，y)在 RtPBQ 中，|PN|BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以 x2y2(x1)2(y1)24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10.名师点津求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程(2)定义法：根据圆的定义写出方程(3)几何法：利用圆的性质列方程(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式|跟踪训练|从圆 C：(x3)2(y4)24 外一点 P(x，y)引该圆的一条切线，切点为 Q，PQ 的长度等于点 P 到原点 O 的距离，则点 P
10、 的轨迹方程为()A8x6y210B8x6y210C6x8y210D6x8y210解析：选 D 由题意得，圆心 C 的坐标为(3，4)，半径 r2，如图因为|PQ|PO|，且 PQCQ，所以|PO|2r2|PC|2，所以 x2y24(x3)2(y4)2，即 6x8y210，所以点 P 的轨迹方程为 6x8y210，故选 D考点 与圆有关的最值、范围问题【例】(2019 届四川省宜宾市高三适应性考试)若动点 P 在直线 a：x2y20上，动点 Q 在直线 b：x2y60 上，记线段 PQ 的中点为 M(x0，y0)，且(x02)2(y01)25，则 x20y20的取值范围为_解析 由题意知，直线
11、 a：x2y20 与直线 b：x2y60 平行 因为动点 P 在直线 a 上，动点 Q 在直线 b 上，所以 PQ 的中点 M 在与 a，b 平行，且到 a，b 的距离相等的直线上 设该直线为 l，则直线 l 的方程为 x2y40.因为线段 PQ 的中点为 M(x0，y0)，且(x02)2(y01)25，所以点 M(x0，y0)在圆(x2)2(y1)25 的内部或在圆上 设直线 l 交圆于点 A，B，则点 M 在线段 AB 上运动 联立直线 l 与圆的方程，得x2y40，（x2）2（y1）25，解得 A(4，0)，B(0，2)因为 x20y20|OM|2，x20y20表示的几何意义为线段 AB
12、 上的点到原点的距离的平方，所以原点到直线的距离的平方为最小，所以 x20y20的最小值为|4|1（2）2 2165，当 M 与 A 重合时，x20y20取得最大值，且最大值为 420216，即 x20y20的最大值为 16，所以 x20y20的取值范围是165，16.答案 165，16名师点津求解与圆有关的最值、范围问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为|跟踪训练|已知点 A(1，0)，B(0，2)，点 P 是圆 C：(x1)2y21 上任意一点，则PAB 面积的最大值与最小值分别是()A2，2 52B2 52，2 52C 5，4 5D 52 1，52 1解析：选 B 由题意知|AB|（1）2（2）2 5，lAB：2xy20，圆 C 的圆心坐标为(1，0)，圆心到直线 lAB 的距离 d|202|41 4 55.SPAB 的最大值为12 54 55 1 2 52，SPAB 的最小值为12 54 55 1 2 52.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS