1、2.2.2反证法Q从前，某国王一贯自我标榜不仅是至高无上的权威，而且更是一个“大慈大悲”的救世主，他在处决犯人之前，要恩赐一个机会，叫他们去抽生死签，如果抽到“活”字，就可幸免一死有一次，一个囚犯即将处决，他的冤家买通狱吏，把两张纸都写上“死”不料有人把此消息透漏给犯人，可犯人闻后却高兴地说“啊！我可死里逃生了”国王宣布抽签后，犯人抽出一张签，二话不说便吞入腹中，这下在场的人慌了手脚，因为谁也搞不清楚犯人吞下的是“死”还是“活”，只听国王大声呵斥：“混蛋，你们只要看一下剩下的那张纸签就是了”显然剩下的是“死”签，由此反证犯人吞下的是“活”签，聪明的犯人死里逃生，就是巧用了本节课要学习的方法反证
2、法X1反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法反证法是间接证明的一种基本方法2反证法证题的原理(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确Y1应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(C)原结论的相反判断，即假设原命题的结论公理、定理、定义等原命题的条件ABC D解析由反证法的规则可知都可作为条件使用，故应选C2用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为(D)Aa、b、c都是奇数Ba、b、
3、c都是偶数Ca、b、c中至少有两个偶数Da、b、c中至少有两个偶数或都是奇数解析“自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D3如果两个实数之和为正数，则这两个数(C)A一个是正数，一个是负数B两个都是正数C至少有一个正数 D两个都是负数解析假设两个数分别为x1、x2，且x10，x20，则x1x20，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C4“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是存在一个三角形，其外角至多有一个钝角.解析全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”故该命题的否
4、定为“存在一个三角形，其外角至多有一个钝角”H命题方向1用反证法证明否(肯)定性命题典例1(1)(2019武汉高二检测)用反证法证明命题“如果ab，那么a3b3”时，假设的内容是(C)Aa3b3Ba3b3Ca3b3 Da3180，这与三角形内角和为180相矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A、B、C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的序号排列为.解析(1)假设的内容应为结论“a3b3”的否定“a3b3”，故选C(2)根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论规律总结1.用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语
5、的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤特别提醒：(1)用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少，直接证明不易入手时常用的方法(2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题，结论的反面比较具体，适于应用反证法(3)注意否定结论时，要准确无误跟踪练习1已知数列bn的通项公式为bn()n1，nN*.求证：数列bn中的任意三项不可能成等差数列解析假设数列bn存在三项br，bs，bt(rsbsbr，则只可能有2bsbrbt成立，两边同乘3t121r，化简得3tr2tr22sr
6、3ts由于rs1，(2b)c1，(2c)a1，所以1，1，1，所以3.又因为a，b，c都是小于2的正数，由基本不等式可得，所以3，这与3相矛盾，故假设错误，即(2a)b，(2b)c，(2c)a中至少有一个不大于1.方法二：假设(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1，即(2a)b1，(2b)c1，(2c)a1，以上三式相乘得(2a)b(2b)c(2c)a1，即a(2a)b(2b)c(2c)1，又由于a，b，c都是小于2的正数，由基本不等式可得a(2a)()21，同理b(2b)1，c(2c)1，所以a(2a)b(2b)c(2c)1，这与a(2a)b(2b)c(2c)1相矛盾，故假设错误，即(2
7、a)b，(2b)c，(2c)a中至少有一个不大于1.规律总结1.当命题中出现“至少”“至多”“不都”“都不”“没有”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法2用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大常用反设词如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或qp且q至多有n个至少有n1个p且qp或q跟踪练习2求下列三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一个方程有实根时实数a的取值范围解析若方程没有一个有实根，
8、则解得a1.所以若三个方程至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是a|a1或a命题方向3用反证法证明存在性、唯一性命题典例3已知：一点A和平面.求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直思路分析证明根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明(1)如图，点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线.因为AB平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾(2)如图，点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB
9、和AC(B、C为垂足)那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB平面，AC平面，BC，ABBC，ACBC，在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点A只能有平面的一条垂线规律总结1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明2若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立跟踪练习3若函数f(x)在区间a，b上的图象连续，且f(a)
10、0，f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点解析由于f(x)在a，b上的图象连续，且f(a)0，即f(a)f(b)m，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点X适宜运用反证法证明的命题正难则反是运用反证法的原则，有一些基础命题都是我们在数学中常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明这些题型有：(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限
11、”结论的命题典例4已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点思路分析.解析假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得1(2b)24ac0，且2(2c)24ab0，且3(2a)24bc0.同向不等式求和得：4b24c24a24ac4ab4bc0，所以2a22b22c22ab2bc2ac0.所以(ab)2(bc)2(ac)20.所以abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证规律总结1.反证
12、法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果2反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定的“结论的反面”是错误的，从而肯定原结论是正确的.跟踪练习4证明：对于直线l：ykx1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2y21的交点A，B关于直线yax(a为常数)对称解析假设存在实数k，使得A、B关于直线yax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 有(1)直线l：ykx1与直线yax垂直；(2)点A、B在直线l：ykx1上；(3)直线AB的中点
13、(，)在直线yax上，所以由得(3k2)x22kx20.由得a(x1x2)k(x1x2)2，由知x1x2，代入整理得ak3.这与矛盾所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线yax对称Y反证法证明过程中漏用反设导致错误典例5已知实数k满足2k23k10，解得k2或k2.又因为实数k满足2k23k10，所以1k2或k2”与“1kB，则ab”的结论的否定应该是(B)Aab”的对立面为“ab”2“实数a，b，c不全为0”等价于(D)Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至多有一个为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c中至少有一个不为0解析“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含
14、义为“至少有一个不为0”3(2019龙岩期中)用反证法证明命题：“a，bN，若ab可被2整除，那么a，b中至少有一个能被2整除”时，假设的内容应该是(B)Aa，b都能被2整除 Ba，b都不能被2整除Ca，b不都能被2整除 Da不能被2整除解析由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“a，bN，如果ab可被2整除，那么a，b至少有1个能被2整除”的否定是“a，b都不能被2整除”故选B4设a，b，c，dR，且adbc1.求证：a2b2c2d2abcd1.解析假设a2b2c2d2abcd1，则a2b2c2d2abcdadbc0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20，所以ab0且cd0且ad0且bc0，所以abcd0与adbc1矛盾所以假设不成立，原结论成立