1、函数的图象及其应用【核心素养分析】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。【重点知识梳理】知识点一 利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.知识点二 利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的
2、图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yax(a0，且a1)的图象ylogax(a0，且a1)的图象.(3)伸缩变换yf(x)yf(ax).yf(x)yAf(x).(4)翻折变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象；yf(x)的图象yf(|x|)的图象.【特别提醒】记住几个重要结论(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称.(2)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数yf(x)对定义域内任意自变量x满足：f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.【典型题分析】高频考点一 由函数式判断图像例1【2020
3、天津卷】函数的图象大致为 （ ）A BC D【答案】A【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，选项B错误，故选A。【举一反三】【2019全国卷理数】函数f(x)=在的图像大致为（ ）ABCD【答案】D【解析】f(x)f(x)，f(x)是奇函数又f()0，故选D。【方法技巧】解决此类问题常有以下策略：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点(与坐标轴的
4、交点、经过的定点、极值点等)，排除不合要求的图象【变式探究】【2019全国卷理数】函数y在6,6的图象大致为()ABCD【答案】B【解析】设f(x)(x6,6)，则f(x)f(x)，f(x)为奇函数，排除选项C；当x1时，f(1)0，排除选项D；当x4时，f(4)7.97，排除选项A，故选B。高频考点二 助动点探究函数图象例2.（2020江西临川一中模拟） 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线AOBCADB运动(其中A，O，O1，O
5、2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y|O1P|2，y与x的函数关系式为yf(x)，则yf(x)的大致图象为()【答案】A【解析】根据题图中信息，可将x分为4个区间，即0，)，2)，2，4)，4，6，当x0，)时，函数值不变，yf(x)1；当x，2)时，设与的夹角为，|1，| |2，x，y()254cos 54cos x，yf(x)的图象是曲线，且单调递增；当x2，4)时，设与的夹角为，|2，|1，2x，y|O1P|2()254cos 54cos ，函数yf(x)的图象是曲线，且单调递减结合选项知选A.【方法技巧】求解因动点变化而形成的函数图象问题，既可以根据题意求出函数解析式后判断图象，也
6、可以将动点处于某特殊位置时考查图象的变化特征后作出选择【变式探究】（2020福建仙游一中模拟）如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()【答案】B【解析】当x时，f(x)tan x，图象不会是直线段，从而排除A、C。当x时，ff1，f2.21，fff，从而排除D，故选B.高频考点三 考查图象变换 例3.（2020安徽安庆一中模拟）已知函数yf(1x)的图象如图，则y|f(x2)|的图象是()【答案】A【解析】(1)把函数yf(1x)的图象向左平移1个单位得y
7、f(x)的图象；(2)作出f(x)关于y轴对称的函数图象得yf(x)的图象；(3)将f(x)向左平移2个单位得yf(x2)的图象；(4)将yf(x2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方得到|f(x2)|的图象【方法技巧】解决函数图象的识别问题， 注意“三点”： (1)根据已知函数的解析式选取特殊的点，判断选项中的图象是否经过这些点，若不满足则排除；(2)根据选项中的图象特点，结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项；(3)应用极限思想来处理，达到巧解妙算的效果。【变式探究】（2020浙江杭州中学模拟）已知函数f(x)logax(0a1)，则函数yf(|x|1)的图象大致为()【答案】
8、A【解析】先作出函数f(x)logax(0a1)的图象，当x0时，yf(|x|1)f(x1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数yf(|x|1)为偶函数，所以再将函数yf(x1)(x0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x0时的图象，故选A.高频考点四 利用函数图像研究函数的性质例4.（2020江苏盐城中学模拟）已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)【答案】C【解析】将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得
9、f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减【方法技巧】利用函数图象研究函数性质，常从以下几个角度分析：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性【变式探究】（2020黑龙江双鸭山一中模拟）对a，bR，记maxa，b函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_【答案】【解析】函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为.高频考点五 利用函数图像研究不等式的解例5
10、.【2020年高考北京】已知函数，则不等式的解集是A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：，故选D。【方法技巧】利用函数图象研究不等式通过函数图象把不等式问题转化为两函数图象的上下关系或函数图象与坐标轴的位置关系来解决问题。【变式探究】（2020河北衡水中学调研）已知函数yf(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数g(x)log2(x1)”，则不等式f(x)g(x)的解集是()A.x|1x0B.x|1x1C.x|1x1D.x|1x2【答案】C【解析】令g(x)ylog2(x1)
11、，作出函数g(x)图象如图，由得结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|10.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_.【答案】(3，)【解析】在同一坐标系中，作yf(x)与yb的图象.当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.【方法技巧】利用图象研究方程根的问题其依据是：方程f(x)0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标。【变式探究】（2020河南郑州一中模拟）已知函数f(x)若方程f(x)xa有且只有两
12、个不相等的实数根，则实数a的取值范围为()A(，0 B0,1)C(，1) D0，)【答案】C【解析】当x0时，f(x)f(x1)，所以f(x)是以1为周期的函数又当0x1时，x10，所以f(x)f(x1)21x12x1.方程f(x)xa的根的个数可看成是两个函数yf(x)与yxa的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数a的取值范围是(，1)高频考点七 求参数的取值范围例7.（2020山东泰安一中模拟）已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是_【答案】(0,1【解析】作出函数yf(x)与yk的图象，如图所示，由图可知k(0,1【方法技巧】
13、当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围【变式探究】（2020山西大同一中质检）设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】1，)【解析】如图作出函数f(x)|xa|与g(x)x1的图象，观察图象可知，当且仅当a1，即a1时，不等式f(x)g(x)恒成立，因此a的取值范围是1，)。高频考点八 综合考查函数图像及其应用例8.（2020湖南省高三一模）设f(x)是定义在上的偶函数，当时，；当时，（1）在平面直角坐标系中直接画出函数在上的草图；（2）当时，求满足方程的的值；（3）求在上的值域.【答案】(1)见解析.(2).(3).【解析】（1）由单调性和过点，作出图象如图.（2）当时， ，即，即，得.(3)当时，值域为；当时，值域为.【变式探究】（2020辽宁省辽师大附中高三模拟）设函数 且f(2)3，f(1)f(1). (1)求f(x)的解析式； (2)在如图所示的直角坐标系中画出的图象【答案】（1）；（2）见解析【解析】 (1)由f(2)3，f(1)f(1)得解得a1，b1，所以(2)f(x)的图象如图