1、江苏省扬州市仙城中学2019-2020学年高二数学下学期6月阶段测试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数求导公式对选项进行一一验证.【详解】因为，故A错；因为，故B正确；因为，故C错；因为，故D错【点睛】本题考查导数公式的简单运用,考查计算能力，属于基础题.2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）A. 0.8B. 0.7C. 0.6D. 0.5【答案】A【解析】【分析】由正态分布的对称性可知，再由对立事件的概率计算方式求得答
2、案.【详解】由正态分布的对称性可知，故故选：A【点睛】本题考查利用正态分布的对称性求概率，属于基础题.3. 现有4名男生，2名女生从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设男生甲被选中为事件，女生乙也被选中为事件，分别求得，再结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件，其概率为，设女生乙也被选中为事件，其概率为，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为. 故选：D.【点睛】本题主要考查了条件概率的
3、求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.4. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】将已知函数在区间上单调递减转化为其导函数在该区间上恒小于等于零，进而由恒成立问题解决即可.【详解】因若函数在区间上单调递减，则其导函数在区间上恒小于等于零，即有，令，显然其在上单调递减，则故故选：A【点睛】本题考查由已知区间单调性求函数中参数的取值范围，属于简单题.5. 已知下表所示数据的回归直线方程为y，则实数a的值为x23456y3711a21A. 16B. 18C. 20D. 22【答案】B【
4、解析】【详解】，代入回归直线方程得，所以，则，故选择B.6. 已知函数，则函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】当时，利用导数可知函数为增函数，由此排除，故选.【详解】当时，所以在上递增，所以选项都是错误的；故选：A.【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图象，考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题.7. 3位数学家，4位物理学家，站成两排照像.其中前排3人后排4人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有（ ）A. 5040种B. 840种C. 720种D. 432种【答案】D【解析】试题分析：第一类：3位数学家相邻在前排有；第二类：三位数学家相邻在后排，
5、先从4位物理学家中选3为排在前排有，将3位数学家合一，与剩下的一名物理学家在后排排列有，3位数学家再排有，此类共有，综上共有种，故选择D.考点：排列中的相邻问题.8. 已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求得函数的导数，根据函数在上有两个极值点，转化为在上有不等于的解，令，利用奥数求得函数的单调性，得到且，又由在上单调递增，得到在上恒成立，进而得到在上恒成立，借助函数在为单调递增函数，求得，即可得到答案.【详解】由题意，函数，可得，又由函数在上有两个极值点，则，即在上有两解，即在在上有不等于2的解，令，则，所以函数
6、在为单调递增函数，所以且，又由在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又由函数在为单调递增函数，所以，综上所述，可得实数的取值范围是，即，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项
7、符合题目要求的全部选对的得5分，部分选对得3分，有选错得得0分9. 下面是关于复数（i为虚数单位）的四个命题： ； ； 的共轭复数为；若，则的最大值为.其中正确的命题有( )A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据复数运算法则求出，求出模长和共轭复数，根据运算法则求出，结合几何意义求解的最大值.【详解】由题，其共轭复数为，所以，若，设，则，即是圆上的点，可以看成圆上的点到原点的距离，最大值为所以正确的命题为.故选：BD【点睛】此题考查复数的运算法则和几何意义以及模长问题，关键在于熟练掌握运算法则，根据已知条件建立等量关系求解.10. 对任意实数，有则下列结论成立的是（ ）A.
8、B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】化简二项式为，结合二项展开式的通项，以及合理利用赋值，即可求解.【详解】对任意实数，有，所以，所以A正确；令，可得，所以B不正确；令，可得，所以C正确；令，可得，所以D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及二项展开式的通项，其中解答中注意根据题意，分析所给代数式的特点，合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11. 下列说法正确的是( )A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B. 设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C. 线性相关系数r越大，两个变
9、量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D. 在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），则P（1）=0.5【答案】BD【解析】 【分析】 对A，方差应变为原来的a2倍；对 B，x增加1个单位时计算y 值与原y值比较可得结论；线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；根据正态曲线关于x =1对称即可判断. 【详解】 对于选项A：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a 2倍，故错误. 对于选项B：若有一个回归方程，变量 x增加1个单位时， ，故y平均减少5个单位，正确. 对于选项C：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强
10、；反之，线性相关性越弱，错误. 对于选项D：在某项测量中，测量结果服从正态分布N （1，2）（ 0），由于正态曲线关于x=1对称，则P （1）=0. 5，正确. 故选：BD 【点睛】 本题考查样本数据方差的计算、线性回归方程的相关计算、正态分布的概率问题，属于基础题. 12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 函数有极小值也有最小值B. 函数存在两个不同的零点C. 当时，恰有三个实根D. 若时，则的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】利用导数分析函数图像的可能情况，即可得结论.【详解】解：由，得，令，则或，当或时，；当时， ，所以在和上单调递减，在上单调递增，所以有极小值，有极大值，
11、当时， 当时，故函数的图像如图， 所以选项ABD正确，故选：ABD【点睛】此题考查导数在函数问题中的运用，考查数列结合思想，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分其中若一题2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为每空5分13. 的展开式中的系数为_.【答案】11【解析】【分析】由，分别计算的展开式中的系数，再计算求解.【详解】由,则展开式的通项公式为：.所以的展开式中的系数为：的展开式中含的项: 展开式中的系数为：的展开式中的系数为: 故答案为：11【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式的应用，属于中档题.14. 某2017年夏令营组织5名营业员参观北京大学、清华大
12、学等五所大学，要求每人任选一所大学参观，则有且只有两个人选择北京大学的不同方案共有_个.（用数字作答）【答案】640【解析】【分析】先安排其中两人有10种方案，再安排剩余3人，分成3种情况【详解】解：有且只有两个人选择北京大学有种方案剩余3人参观的方案有以下三种：作为一组参观有4种方案，3人分成两组，一组1人，另一组2人，参观4个学校有，3人分成3组，每组1人，参观4个学校有，所以共有【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意优先满足受到限制的元素15. 已知正方体的边长为2，由综合法可求得：点到平面的距离为_；直线与平面所成角的正弦值为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设点到平面的
13、距离为，运用等体积法，可求得点到平面的距离；设直线与平面所成的角为，由线与平面所成的角的定义得，可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】是边长为的正三角形， ，设点到平面的距离为，又，所以，解得，所以点到平面的距离为；因为正方体的边长为2，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为，故答案为：；.【点睛】本题考查点到面的距离和线面角的求解，常常运用三棱锥的等体积的方法求点到面的距离，属于中档题.16. 已知函数，若对任意的，总存在，使得成立，则正整数的最小值为_【答案】2【解析】【分析】分别求出函数在区间上的值域，然后将问题转化为两个函数在区间上的值域之间的关系，列出不等
14、式组，即可求解【详解】由题意，函数，则，当时，所以在上单调递增，又由，所以在上值域为，又因为，则，因为正整数，即，所以时， 在上单调递减，又由，所以在上的值域为，若对任意的，总存在，使得成立，则，解得，又因为，所以的最小值为2故答案为：2.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值中的综合应用，着重考查了转化与化归思想，分析问题和解答问题的能力，以及运算能力，属于中档试题四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知是复数，与均为实数（1）求复数；（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围【答案】（） z=4-2i（）2a6【解
15、析】【详解】（1）设所以，； 由条件得，且， 所以(2) 由条件得：， 解得所以，所求实数的取值范围是-18. 已知函数，在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直求实数的值和切线的方程【答案】，.【解析】【分析】求得，根据题意可知方程只有一个实数解，可知二次函数的最小值为，求得实数的值及对应的的值，可得出切点的坐标，利用点斜式可得出切线的方程.【详解】因为，所以.由题意可知，方程有两个相等的实根则，又，解得，则，所以切点坐标为，因此，切线的方程为，即.【点睛】本题考查利用导数求解函数切线方程，考查计算能力，属于基础题.19. 二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍.求：（1）
16、；（2）展开式中的所有的有理项.【答案】（1）6；（2），【解析】【分析】（1）先得到二项展开式的通项，再根据第五项的二项式系数是第三项系数的4倍，建立方程求解.（2）根据（1）的通项公式求解.【详解】（1）二项展开式的通项.依题意得，所以，解得.（2）由（1）得，当，3，6时为有理项，故有理有，.【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.20. 在如图所示的几何体中，平面，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【详解】【分析】分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，据此可得.利用线面垂直的判断
17、定理可得平面.(2)(方法一)延长，相交于，连接，由题意可知二面角就是平面与平面所成二面角.取的中点为，则就是二面角的平面角.结合几何关系计算可得.(方法二)建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量.取平面的法向量为.利用空间向量计算可得.详解：(1)在中，.所以，所以为直角三角形，.又因为平面，所以.而，所以平面.(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，则平面平面.二面角就是平面与平面所成二面角.因为，所以是的中位线.，这样是等边三角形.取的中点为，连接，因为平面.所以就是二面角的平面角.在，所以.(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得.设是平面的法向量，则令得.取平面的法向量为.设平
18、面与平面所成二面角的平面角为，则，从而.点睛：本题主要考查空间向量的应用，二面角的定义，线面垂直的判断定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积（单位：亩）12345管理时间（单位：月）810132524并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（
19、1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望参考公式：其中临界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828参考数据：【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）分别求出，从而，求出，从而得到管理时间与土地使用面积线性相关（2）完善列联表，求出，从而有的把握认为村民的性
20、别与参与管理的意愿具有相关性（3）的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出的分布列和数学期望【详解】解：依题意：故则，故管理时间与土地使用面积线性相关（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得的观测值为故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故故的分布列为X0123P则数学期望为（或由，得【点睛】本题主要考查相关系数的
21、求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等22. 已知.(1)若，求函数的单调区间和最小值.(2)若有两个极值求实数的取值范围(3)若，且，比较与的大小，并说明理由【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为，.（2）.（3）；理由见解析.【解析】分析：（1）对函数求导，利用导数的正负，可得函数的单调区间，从而求得函数的最小值，得到结果；（2）根据函数有两个极值点，得到其导数等于零有两个不等的正根，且在根的两侧导数的符号是相反的，分类讨论求得结果；（3）利用导数研究其大小，借助于基本不等式求得结果.详解：（1） ，令，解得：，列表得：0单调减极小值单调增的单调减区
22、间为，单调增区间为，； （2）有两个极值点 在上有两个不同的零点，且零点左右的的符号的相反 设，则当时，在上恒成立，所以在上单调增，在上最多有一个零点，不合题意；当时，由，解得： 时，时，在上单调增，则上单调减，若，则，所以，在上最多有一个零点，不合题意；若，又，（取其他小于0的函数值也可）设，则在上恒成立在上单调减 ，则时， 在、上各有一个零点，且零点两侧的函数符号相反 （3）结论：下面证明：由（1）知：在上单调减，在上单调增 ，即，同理，当且仅当时取等号，且，则 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，借助于函数的单调性，从而求导函数的最值，利用导数研究函数的极值点，转化为导数等于零有两个不等的正根，之后分类讨论求得结果，再者就是应用导数研究值的大小，借助于基本不等式求得结果.
