1、会宁一中2018-2019学年第一学期高三级第二次月考数学（理科）试题一.选择题：(每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把A中元素代入确定出B，即可求出A与B的交集【详解】集合A=1，2，3，4，B=x|x=n2，nA=1，4，9，16，AB=1，4故选：B【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2.函数的图象为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的对称性排除B、D，再由图象过点（0，1），故排除C，从
2、而得出结论【详解】由于函数y=2|x|x2（xR）是偶函数，图象关于y轴对称，故排除B、D再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C，从而得到应选A，故选：A【点睛】本题主要考查判断函数的奇偶性，函数的图象特征，用排除法、特殊值法解选择题，属于中档题3.下列命题中正确的是( )A. 命题“”的否定是“”B. 命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件C. 若“，则”的否命题为真D. 若实数，则满足的概率为.【答案】C【解析】【分析】选择题可以逐一判断，对于A项，x2x0”的否定应该是x2x0”.对于B项，“pq为真”是“pVq为真”的充分不必要条件.对于C选项，若“，则”的否
3、命题为“若am2bm2，则 ab”，正确.对于D项，由几何概型，x2+y21的概率为，应由对立事件的概率的知识来求x2+y21的概率.【详解】由全称命题的否定是特称命题可知“xR，x2x0”的否定应该是“xR，x2x0”，因此选项A不正确对于B项，pq为真可知p、q均为真，则有pVq为真，反之不成立，故“pq为真”是“pVq为真”的充分不必要条件，因此B错误对于选项C，“若am2bm2，则ab”的否命题是“若am2bm2，则ab”，显然其为真命题对于D项，由几何概型可知，区域D为边长为1的正方形，区域d为1为半径，原点为圆心的圆外部分，则满足x2+y21的概率为p=1=，故D错误故选：C【点睛
4、】本题考查复合命题的真假判断问题，充要条件，命题的否定，全称命题以及特称命题的概念，本题还涉及到了命题与概率的综合内容4.若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于()A. 5 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】利用扇形的周长与面积的数值相等，建立等式，即可求得结论【详解】因为扇形的周长与面积的数值相等，所以设扇形所在圆的半径为R，扇形弧长为l，则lR=2R+l，所以即是lR=4R+2l，l=l0，R2故选：B【点睛】本题考查扇形的周长与面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题5.设函数,则满足f(x)2的x的取值范围是（）A. -1,2 B. 0,2
5、 C. 0,+) D. 1,+)【答案】C【解析】【分析】分类讨论：当x1时；当x1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可【详解】当x1时，21x2的可变形为1x1，x0，0x1当x1时，1log2x2的可变形为x，x1，故答案为0，+）故选：C【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解6.函数在区间上是增函数，且，则（ ）A. 0 B. C. D. 1【答案】D【解析】试题分析：因为函数在区间上是增函数，且，所以所以1.考点：三角函数的性质；三角函数的最值对应的x的值。点评：若.7.ABC中，角A、B、C所对的边分别为a.b.c，若，则ABC为
6、()A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形【答案】B【解析】【分析】由已知结合正弦定理可得sinCsinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA0从而有sinAcosB0结合三角形的性质可求.【详解】A是ABC的一个内角，0A，sinA0cosA，由正弦定理可得，sinCsinBcosAsin（A+B）sinBcosAsinAcosB+sinBcosAsinBcosAsinAcosB0 又sinA0cosB0 即B为钝角故选：B8.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（ ）A. B.
7、 C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数图象可求周期T，里周期公式可求，根据x=时，y=1，代入验证，即可得解【详解】由函数图象可得：T=（），解得T=，=2，故A，C错误；又x=时，y=1，代入验证，对于B，sin（2）=0，故错误；对于D，cos（2）=1，故正确；故选：D【点睛】本题考查了利用函数的图象求三角函数解析式的问题，是基础题目9.设函数的导函数的最大值为3，则f(x)图象的一条对称轴方程是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，由导数f（x）的最大值为3，可得的值，从而可得函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得函数的对称轴处取得函数的最值从而
8、可得【详解】对函数求导可得，由导数f（x）的最大值为3可得=3f（x）=sin（3x+）1由三角函数的性质可得，函数的对称轴处将取得函数的最值结合选项，可得x=故选：A【点睛】本题主要考查了函数的求导的基本运算，三角函数的性质：对称轴处取得函数的最值的应用，属于基础试题，试题难度不大10.设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlgxn，则a1a2a99的值为（）A. 1 B. 2 C. -2 D. -1【答案】C【解析】【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，进而得到xn、an，再利用“裂项求和”即可得出【详解】y=（n+1
9、）xn，曲线y=xn+1（nN*）在点（1，1）处的切线的斜率为y|x=1=n+1切线方程为y1=（n+1）（x1），令y=0，得xn=an=lgxn=lgnlg（n+1），a1+a2+a99=（lg1lg2）+（lg2lg3）+（lg99lg100）=lg1lg100=2故选：C【点睛】本题考查了导数的几何意义、切线的方程、“裂项求和”，属于基础题11.已知为R上的可导函数，且,均有，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对xR，均有f（x）f（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数g（x）=，这样有以e为底数
10、的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论【详解】令g（x）=，则g（x）=，f（x）f（x），g（x）0，即函数g（x）为R上的减函数，g（2013）g（0）g（2013），即e2013f（2013）f（0），f（2013）e2013f（0）故选：D【点睛】本题考查了导数的运算，由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式，属逆向思维，属中档题.12.已知函数为增函数，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数f（x）=（2x1）ex+ax23a（x0）为增函数，可得f（x）0，化为2a，令
11、g（x）=，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出【详解】函数f（x）=（2x1）ex+ax23a（x0）为增函数，f（x）=（2x+1）ex+2ax0，化为2a，令g（x）=，则g（x）=，可得：x=时，函数g（x）取得极大值即最大值，=4a2a的取值范围是2，+）故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）13.已知函数f(x)的导函数为，且满足，则_【答案】【解析】【分析】利用导数的运算法则求出f（x），令x=1可得f（1）=2f（1）+2，计算
12、可得答案【详解】f（x）=2f（1）+2x，令x=1得f（1）=2f（1）+2，f（1）=2，故答案为：-2【点睛】本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，令导函数中的x用自变量的值代替14.化简_【答案】【解析】【分析】利用诱导公式、分类讨论k，求得要求式子的值【详解】当k=2n，nZ时，=1；当k=2n+1，nZ时，=1，综上可得，：=1故答案为：-1.【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题15.由曲线与直线所围成的平面图形的面积是_【答案】【解析】【分析】三角函数的对称性可得S=2，求定积分可得【详解】由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（s
13、inx+cosx）=2（+）2（0+1）=22故答案为：22【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题 16.函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数例如：函数是单函数给出下列命题：函数是单函数；指数函数是单函数；若为单函数，且，则；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数,其中的真命题是 _（写出所有真命题的序号）【答案】【解析】【分析】根据单函数的定义分别进行判断即可【详解】若函数f（x）=x2（xR）是单函数，则由f（x1）=f（x2）得x12=x22，即x1=x2或x1=x2，不满足单函数的定义若指数函数f（x）=（xR）是单函数，则由f（x1）=f（x2）得2x1=2x
14、2，即x1=x2，满足单函数的定义若f（x）为单函数，x1、x2A且x1x2，则f（x1）f（x2），则根据逆否命题的等价性可知，成立在定义域上具有单调性的函数一定，满足当f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，是单函数，成立故答案为：.【点睛】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用单函数的定义是解决本题的关键三.解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤.17.已知，(0，)，tan，tan()1.(1)求tan及cos的值； (2)求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先进行角的变换，由=+，得代入已知，可求出tan，再由同角三角函数的关系
15、求出cos（2）先求出，再对用差角公式展开求出它的值，然后就可求出的值【详解】（1） ，（2）【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，解题的关键是熟练掌握三角函数中的相关公式及符号判断的规则，正确利用这些性质求出函数值，本题在求值过程中用到了角的变换，这是所求的三角函数值的角与已知三角函数值的角之间关系式学采用的技巧，其规律是用已知表示未知18.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，且mn. (1)求锐角B的大小；(2)如果b2，求ABC的面积SABC的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量平行时满足的条件列出关系式，利
16、用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由B的度数求出sinB及cosB的值，进而由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式化简求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值【详解】(1)mn， ，sin2Bcos2B，即tan2B， 又B为锐角，2B(0，)，2B，B. (2)B，b2， 由余弦定理cosB得，a2c2ac40，又a2c22ac，ac4(当且仅当ac2时等号成立)，SABCacsinBac
17、(当且仅当ac2时等号成立)【点睛】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键19. （本小题满分13分）设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围。【答案】因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数恒成立，即在上恒成立，因此，结合解得极值点的判定一定要结合该点两侧导数的符号，不可盲目下结论。同时还要注意“极值”与“极值点”的区别避免画蛇添足做无用功。某区间（a,b）上连续可导函数单调性与函数导数符号之
18、间的关系为：若函数在区间（a,b）上单调递增（递减），则（）若函数的导数（），则函数在区间（a,b）上单调递增（递减）若函数的导数恒成立，则函数在区间（a,b）上为常数函数。【解析】20.设函数.求函数的最小正周期和对称轴方程；在中，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用和与差以及辅助角公式化简即可求解f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）根据f（C）=1，求解C角，结合三角形内角和定理和和与差公式，利用三角函数的有界限即可求解范围【详解】（1）=，f（x）的最小正周期，对称轴方程：，（2），或，在ABC中，又=令原式=在ABC中，且，代入不等式，解出，02A，
19、故得的取值范围是【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键21.已知函数为偶函数（）求实数的值；（2）记集合，判断与的关系；（3）当时，若函数的值域为，求的值.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数f（x）=f（x），构造关于a的方程组，可得a值；（2）由（1）中函数f（x）的解析式，将x1，1，2代入求出集合E，利用对数的运算性质求出，进而根据元素与集合的关系可得答案（3）求出函数f（x）的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数f（x）的值域为23m，23n，x，m0，n0构造关于m，n的方程组，进而得到m，n
20、的值【详解】（1）为偶函数 ，且,（2）由（3）可知：，当时，；当时，而（3） 在上单调递增 为的两个根，又由题意可知：，且 【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，其中利用奇偶性求出a值，进而得到函数的解析式，是解答的关键22.已知直线l的参数方程是（是参数），圆C的极坐标方程为（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在圆C的极坐标方程为=2cos（+）的两边同时乘以，即可得圆的直角坐标方程，从而求圆心的直角坐标.（2）先把切线长表示出来再去求最小值.【详解】（1）， 圆C的直角坐标方程为， 即，圆心直角坐
21、标为（2）直线上的点向圆C 引切线长是直线上的点向圆C引的切线长的最小值是【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，属于中档题23.已知x，y，z(0，)，xyz3. (1)求的最小值； (2)证明：【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】(1)根据基本不等式：x+y+z3；+3；再两式同向相乘即可（2）构造柯西不等式：（12+12+12）（x2+y2+z2）=3（x2+y2+z2）（x+y+z）2这个条件进行计算即可【详解】(1) 因为x0，y0，z0，根据基本不等式：x+y+z3+3两式同向相乘得，（x+y+z）（+）（3）（3）=9，所以，+=3，当且仅当：x=y=z=1时，原式取得最小值，即+的最小值为3 (2) 由柯西不等式可得（12+12+12）（x2+y2+z2）（x+y+z）2=9，可得：x2+y2+z23，即x2+y2+z2的最小值为3.【点睛】本题主要考查了基本不等式和柯西不等式在求最值问题中的应用，以及不等式同向相乘的性质，属于基础题