1、专题08圆中证明及计算问题【例1】（2019叶县一模）如图，O是ABC的外接圆，点O在BC边上，BAC的平分线交O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P（1）求证：PD是O的切线；（2）求证：ABCPBDCD；（3）当AB5 cm，AC12 cm时，求线段PC的长【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接ODBADCAD，弧BD=弧CD，BODCOD90，BCPA，ODPBOD90，即ODPA，PD是O的切线（2）证明：BCPD，PDCBCDBCDBAD，BADPDC，ABD+ACD180，ACD+PCD180，ABDPCD，BADCDP，ABCPBDCD（3）BC
2、是直径，BACBDC90，AB5，AC12，由勾股定理得：BC13，由（1）知，BCD是等腰直角三角形，BDCD，ABCPBDCDPC【变式1-1】（2018焦作一模）如图，ABC内接于O，且AB=AC，延长BC到点D，使CD=CA，连接AD交O于点E（1）求证：ABECDE；（2）填空：当ABC的度数为 时，四边形AOCE是菱形；若AE=6，BE=8，则EF的长为 【答案】（1）见解析；（2）60；.【解析】（1）证明：连接CE，AB=AC，CD=CA，ABC=ACB，AB=CD，四边形ABCE是圆内接四边形，ECD+BCE=BAE +BCE=180，ECD=BAE，同理，CED=ABC，A
3、BC=ACB=AEB，CED=AEB，ABECDE；（2）60；连接AO、OC，四边形ABCE是圆内接四边形，ABC+AEC=180，ABC=60，AEC=AOC=120，OA=OC，OAC=OCA=30，AB=AC，ABC是等边三角形，ACB=60，ACB=CAD+D，AC=CD，CAD=D=30，ACE=30，OAE=OCE=60，即四边形AOCE是平行四边形，OA=OC，四边形AOCE是菱形；由（1）得：ABECDE，BE=DE=8，AE=CE=6，D=EBC，由CED=ABC=ACB，得ECDCFB，=，AFE=BFC，AEB=FCB，AEFBCF，即，EF=【例2】（2019省实验一
4、模）如图，AB为O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，过点C作O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E（1）求证：CDECBE；（2）若AB4，填空：当弧CD的长度是 时，OBE是等腰三角形；当BC 时，四边形OADC为菱形【答案】（1）见解析；（2）；2【解析】（1）证明：延长AD交直线l于点F，AD垂直于直线l，AFC90，直线l为O切线，OCF90，AFCOCF90，ADOC，AB为O直径，ADB90，OEB90，OCDB，DEBE，DECBEC90，CECE，CDECBE；（2）如图2，连接OD，由（1）知OEB90，当OBE是
5、等腰三角形时，则OEB为等腰直角三角形，BOEOBE=45，ODOB，OEBD，DOCBOE45，AB4，OD2，弧CD的长=；当四边形OADC为菱形时，则ADDCOCAO2，由（1）知，BCDC，BC2.【变式2-1】（2019河南南阳一模）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，O的半径为2，B=135，则弧AC的长为（）A. 2B. C. D. 【分析】根据弧长公式，需先确定弧AC所对的圆心角AOC的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到AOC=2D，根据圆内接四边形对角互补，求出D=180B=45，再代入弧长公式求解即可.【解析】解：四边形ABCD是O的内接四边形，D=180B=
6、45，弧AC所对圆心角的度数为：245=90，O的半径为2，弧AC的长为：=，故选B.1.（2018洛阳三模）如图，在RtABC中，ACB=90，以AC为直径的O，与斜边AB交于点D，E为BC边的中点，连接DE.（1）求证：DE是O的切线；（2）填空：若B=30，AC=，则BD=当B=时，以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形.【答案】见解析.【解析】解：（1）连接OD，AC为直径，ADC=90，CDB=90，E是BC的中点，DE=CE=BE，DCE=EDC，OD=OC，OCD=ODC，ODC+CDE=OCD+DCE=90，即ODE=90，DE是O的切线；（2）3；45，理由如下：B=30，A
7、C=，BCA=90，BC= ACtan30=6，DE=3，由B=A=45，OA=OD，得ADO=AOD=45，AOD=90，DOC=90，又ODE=90，四边形ODEC是矩形，OD=OC，四边形ODEC是正方形.2.（2018河南第一次大联考）已知ABC内接于以AB为直径的O，过点C作O的切线交BA的延长线于点D，且DAAB=12（1）求CDB的度数；（2）在切线DC上截取CE=CD，连接EB，判断直线EB与O的位置关系，并证明【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，连接OC，CD是O的切线，OCD=90DA：AB=1：2，DA=OC，DO=2OC在RtDOC中，sinCDO=，CDO=30，
8、即CDB=30（2）直线EB与O相切证明：连接OC，由（1）可知CDO=30，COD=60，OC=OB，OBC=OCB=30，CBD=CDB，CD=CB，CD是O的切线，OCE=90，ECB=60， 又CD=CE，CB=CE，CBE为等边三角形，EBA=EBC+CBD=90，EB是O的切线3.（2019偃师一模）如图，在RtABC 中，ACB=90，以 AC 为直径的O与斜边AB交于点D，E为BC边上一点，且DE是O的切线（1）求证：BE=EC；（2）填空：若B=30，AC=2则DE=；当B=时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形【答案】（1）见解析；（2）3；45.【解析】解：（1）证明
9、：如图，连接OD，ACB=90，AC为O的直径，EC为O的切线，DE为O的切线，EC=ED，EDO=90，BDE+ADO=90，OD=OA，ADO=A，BDE+A=90，A+B=90，BDE=B，BE=EC；（2）3；45，理由如下：在RtABC中，B=30，AC=2，BC=6，由（1）知，E是BC中点，DE=BC=3；ODEC为正方形，DEC=90，DE=CE=BE，B=45，故答案为：3；45.4.（2017新野一模）如图，AB为O的直径，C为半圆上一动点，过点C作O的切线l的垂线BD，垂足为D，BD与O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F（1）求证：CDEEFC；（2）若AB
10、=4，连接AC当AC= 时，四边形OBEC为菱形；当AC= 时，四边形EDCF为正方形【答案】见解析【解析】（1）证明：如图，BDCD，CDE=90，AB是直径，AEB=90，CD是切线，FCD=90，四边形CFED矩形，CF=DE，EF=CD，CE=CE，CDEEFC（2）解：当AC=2时，四边形OCEB是菱形理由：连接OEAC=OA=OC=2，ACO是等边三角形，CAO=AOC=60，AFO=90，EAB=30，AEB=90，B=60，OE=OB，OEB是等边三角形，EOB=60，COE=1806060=60，CO=OE，COE是等边三角形，CE=CO=OB=EB，四边形OCEB是菱形故答
11、案为2当四边形DEFC是正方形时，CF=FE，CEF=FCE=45，OCAE，弧AC=弧CE，CAE=CEA=45，ACE=90，AE是O的直径，AOC是等腰直角三角形，AC=2AC=2时，四边形DEFC是正方形故答案为25.（2019三门峡二模）如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接AD，过点O作AD的垂线，交半圆O的切线AC于点C，交半圆O于点E连接BE，DE（1）求证：BEDC（2）连接BD，OD，CD填空：当ACO的度数为 时，四边形OBDE为菱形；当ACO的度数为 时，四边形AODC为正方形【答案】（1）见解析；（2）30；45【解析】解：（1）证明
12、：设AD，OC交于点P，OCAD，APC90C+CAP90AC是半圆O的切线，CAOCAP+BAD90，BADC，BEDBAD，BEDC；（2）30，理由如下：连接BD，如图：AB是半圆O的直径，ADB90，DABACO30，DBA60，OEAD，弧AE=弧AD，DBEABE30DEBDAB30，DEBABE，DEABADB90，即BDAD，OEAD，OEBD，四边形OBDE 是平行四边形OBOE四边形OBDE是菱形；故答案为30；45，理由如下： 连接CD、OD，BEDACO45，BOD2BED90，AOD90，OCAD，OC垂直平分AD，OCDOCA45，ACD90，ACO90，四边形AO
13、DC是矩形，OAOD，四边形AODC是正方形，故答案为456.（2019开封模拟）如图，CD是O的直径，且CD2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作O的切线PA、PB，切点分别为A、B（1）连接AC，若APO30，试证明ACP是等腰三角形；（2）填空：当弧AB的长为 cm时，四边形AOBD是菱形；当DP cm时，四边形AOBP是正方形【答案】（1）见解析；（2）；.【解析】解：（1）连接AO，PA是O的切线，PAO90，APO30，AOP60，OAOC，CCAO30，CAPO=30，ACP是等腰三角形；（2）若四边形AOBD是菱形，则AOAD，AOOD，AOD是等边三角形，AOD60，AO
14、B120，CD=2，圆O的半径为1，弧AB的长为：=.若四边形AOBP为正方形时，则PAAO1，则OP=，OD=1，PD=1，所以答案为：17.（2019西华县一模）如图，AB为O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作O的切线，交BA的延长线于点E（1）求证：ACDE；（2）连接CD，若OA=AE=2时，求出四边形ACDE的面积【答案】见解析【解析】证明：（1）F为弦AC（不是直径）的中点，AF=CF，ODAC，DE是O的切线，ODDE，ACDE （2）连接CD，ACDE， OA=AE=2，OF=FD，AF=CF，AFO=CFD，AFOCFD，SAFO=SCFD，S四
15、边形ACDE=SODEOD=OA=AE=2，OE=4，由勾股定理得：DE=2，S四边形ACDE=SODE= ODOE=22=28.（2019郑州联考）已知：如图，ABC内接于O，AB为直径，CBA的平分线交AC于点F，交O于点D，DEAB于点E，且交AC于点P，连结AD（1）求证：DACDBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）连接CD，若CD3，BD4，求O的半径和DE的长【答案】见解析【解析】（1）证明：BD平分CBA，CBDDBA，DAC与CBD是弧CD所对的圆周角，DACCBD，DACDBA；（2）证明：AB为直径，ADB90，DEAB于E，DEB90，ADE+BDEDBE+BDE
16、90，ADEDBEDAC，PDPA，DFA+DAFADE+BDE90，PDFPFD，PDPF，PAPF，即P是线段AF的中点；（3）解：CBDDBA，CD3，CDAD3，由勾股定理得：AB5，即O的半径为2.5，由DEABADBD，即：5DE34，DE2.4即DE的长为2.49.（2019安阳二模）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且ACBDCE（1）判断直线CE与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tanACB，BC4，求O的半径【答案】见解析【解析】（1）直线CE与O相切，证明：连接OE，OAOE，EAOAEO，ACBDCE，
17、AEOACBDCE，四边形ABCD是矩形，BCAD，ACBDAC，ACBDCE，DACDCE，由D90，得：DCE+DEC90，AEO+DEC90，OEC90，即OEEC，OE为半径，直线CE与O相切；（2）解：在RtACB中，ABtanACBBC=42，由勾股定理得：AC2，ACBDCE，tanDCEtanACB，在RtDCE中，CDAB2，DEDCtanDCE21，由勾股定理得：CE，在RtCOE中，CO2CE2+OE2，OE=OA，（2OA）2OA2+（）2，解得：OA，即O的半径是10.（2019平顶山三模）如图，在ABC中，ACBC，AB是C的切线，切点为点D，直线AC交C于点E、F，且CF=AC，（1）求证：ABF是直角三角形；（2）若AC6，则直接回答BF的长是多少【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接CD，则CFCD，AB是C的切线CDAB，ADCBDC90，在RtACD中，CF=AC，CDCF=AC，A30ACBC，ABCA30，ACB120，BCDBCF60，BCBC，BCDBCF，BFCBDC90，ABF是直角三角形（2）解：由（1）知：ACBC，CDAB，ADBDBF，在RtACD中，A30，AC6，CD3，AD=CD3BF3.