1、第八章 立体几何第二节 空间几何体的表面积与体积栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式，并掌握空间几何体的表面积与体积的计算方法.2.理解空间图形转化为平面图形的思想，了解柱、锥、台体的侧面展开图的特征.2021 年高考主要考查空间几何体的表面积、体积及与球有关的切接问题，多为选择题、填空题，分值为5 分.1.直观想象2.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S 侧 1 _V 2 _r2h 圆锥S 侧 3 _V 4 _13r2h13r2
2、 l2r2圆台S 侧(r1r2)lV13(S 上S 下 S上S下)h13(r21r22r1r2)h直棱柱S 侧 5 _V 6 _2rhShrl13ShChSh面积体积正棱锥S 侧 7 _V 8 _正棱台S 侧12(CC)hV13(S 上S 下 S上S下)h球S 球面 9 _V43R312Ch13Sh4R22.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 10 _(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 11 _、12 _、13_；它们的表面积等于 14 _与底面面积之和 各面面积之和矩形扇形扇环侧面积常用结论 1设正方体的棱长为 a，则它的内切球半径 ra2，外接球半径 R 32 a.2设
3、长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则它的外接球半径 R a2b2c22.3设正四面体的棱长为 a，则它的高为 63 a，内切球半径 r 612a，外接球半径 R64 a.4直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求得基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)锥体的体积等于底面积与高之积()(3)球的体积之比等于半径比的平方()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差()(5)长方体既有外接球又有内切球()(6)圆柱的一个底面积
4、为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、走进教材2(必修 2P27 练习 1 改编)已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cmB2 cmC3 cmD32 cm答案：B答案：B3(必修 2P27 例 4 改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比 V 球V 柱为()A12B23C34D13三、易错自纠4已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A84 cm3B92 cm3C100 cm3D108 cm3解析：选 C 由三视图可得该几何
5、体是棱长分别为 6，3，6 的长方体截去一个三条侧棱两两垂直，且长度分别为 3，4，4 的三棱锥，所以该几何体的体积是 66313124431088100(cm3)5将一个相邻边长分别为 4，8 的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是()A402B642C322 或 642D3228 或 32232解析：选 D 当底面周长为 4 时，底面圆的半径为 2，两个底面的面积之和是 8；当底面周长为 8 时，底面圆的半径为 4，两个底面的面积之和为 32.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积 322.故所求的表面积是 3228 或 32232.6.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱
6、锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_解析：设长方体的相邻三条棱长分别为 a，b，c，它截出棱锥的体积 V1131212a12b12c 148abc，剩下的几何体的体积 V2abc 148abc4748abc，所以 V1V2147.答案：147课 堂 考 点 突 破2考点一 空间几何体的表面积|题组突破|1(2019 届黄冈模拟)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为()A1612B3212C2412D3220解析：选 A 由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为 2，底面对角线长为 4，球的半径为 2，所以该正四棱柱的底面正
7、方形的边长为2 2，该几何体的表面积 S12422222 2 241216.2(2018 年全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 2B12C8 2D10解析：选 B 由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为 8 的正方形，则圆柱的高与底面直径均为 2 2.设圆柱的底面半径为 r，则 2r2 2，解得 r 2.所以圆柱的表面积 S 圆柱2r22rh2(2)22 22 24812.3.如图所示的几何体是从棱长为 2 的正方体中截去一个到正方体的某个顶点的距离均为 2 的几何体后的剩余部分，则该
8、几何体的表面积为()A243B24C24D245解析：选 B 由题意知该几何体是从棱长为 2 的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2 为半径的18球后的剩余部分，则其表面积 S622314221842224.故选 B名师点津求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再
9、通过求和或作差，求出所给几何体的表面积考点二 空间几何体的体积|题组突破|4圆柱的轴截面是正方形，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A 22B 32C2D 24解析：选 A 根据题意可知球的半径 R1，则易得圆柱的高 h 2，圆柱的底面半径 r 22，所以 V 圆柱r2h222 2 22.故选 A5.(2019 年江苏卷)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积是 120，E 为 CC1 的中点，则三棱锥 EBCD 的体积是_解析：因为长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积是 120，所以 CC1S 四边形 ABCD120.又 E是 CC1 的中点
10、，所以三棱锥 EBCD 的体积 VEBCD13ECSBCD1312CC112S 四边形 ABCD 11212010.答案：106(2019 年全国卷)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体 ABCDA1B1C1D1 挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.解析：由题易得长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积为 664144(cm3)，四边形 EFGH 为平行四边形，如图所示，
11、连接 GE，HF，易知四边形 EFGH 的面积为矩形 BCC1B1 面积的一半，即为126412(cm2)，所以 V 四棱锥 OEFGH1331212(cm3)，所以该模型的体积为 14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为 1320.9118.8(g)答案：118.87(2019 年北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_解析：如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 4，去掉四棱柱 MQD1A1NPC1B1(其底面是一个上底为 2，下底为 4，高为2 的直角梯形)所得的几何体为题中
12、三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为 4312(24)2440.答案：40名师点津求空间几何体体积的常见类型及思路规则几何体若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解三视图形式若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解考点 与球有关的切、接问题多维探究与球有关的切接问题是立体几何中的难点，也是高考的常见题型常见的命题角度有：(1)几何体的内切球问题；(2)几何体的外接球问题命题角度
13、一 几何体的内切球问题【例 1】(1)(2019 届重庆七校联考)已知正三棱锥的高为 6，内切球(与四个面都相切)的表面积为 16，则其底面边长为()A18B12C6 3D4 3(2)如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则V1V2的值是_解析(1)如图，由题意知，球心在三棱锥的高 PE 上，E 为正ABC 的中心，设内切球的半径为 R，则 S 球4R216，所以 R2，所以 OEOF2，OP4.在 RtOPF 中，PF OP2OF22 3.因为OPFDPE，所以OFDEPFPE，得 DE2 3.由题
14、意知，正三棱锥的体高落在正三角形的重心处，所以 AD3DE6 3，AB 23AD12.故选 B(2)设圆柱内切球的半径为 R，则由题设可得圆柱 O1O2 的底面圆的半径为 R，高为2R，故V1V2R22R43R332.答案(1)B(2)32名师点津处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作命题角度二 几何体的外接球问题【例 2】(2019 年全国卷)已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PAPBPC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF90，则球 O
15、 的体积为()A8 6B4 6C2 6D 6解析 因为点 E，F 分别为 PA，AB 的中点，所以 EFPB 因为CEF90，所以 EFCE，所以 PBCE.取 AC 的中点 D，连接 BD，PD，易证 AC平面 BDP，所以 PBAC，又 ACCEC，AC，CE平面 PAC，所以 PB平面 PAC，所以PBPA，PBPC 因为 PAPBPC，ABC 为正三角形，所以 PAPC，即 PA，PB，PC 两两垂直，将三棱锥 PABC 放在正方体中如图所示因为 AB2，所以该正方体的棱长为 2，所以该正方体的体对角线长为 6，所以三棱锥 PABC 的外接球的半径 R 62，所以球 O 的体积 V43
16、R343623 6，故选 D 答案 D名师点津1把一个多面体的各个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径2常见的几种几何体的外接球问题(1)如果三棱锥的三条侧棱两两垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心(2)如果三棱锥的三条侧棱两两垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心(3)如果四面体的三对对棱分别相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是四面体的外接球的球心|跟踪训练|1(2019 届合肥市质检)已知一个圆锥底面半径为 1
17、，母线长为 3，则该圆锥内切球的表面积为()AB32C2D3解析：选 C 依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为 r，易知轴截面三角形 SAB 边 AB 上的高为 2 2，因此2 2r3r1，解得 r 22，所以圆锥内切球的表面积为 42222，故选 C2(2020 届石家庄摸底)已知正三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，棱锥的底面是边长为 2 3的正三角形，侧棱长为 2 5，则球 O 的表面积为()A25B20C16D30解析：选 A 如图，延长 SO 交球 O 于点 D，设ABC 的外心为 E，连接 AE，AD，由正弦定理得 2AE2 3sin 604，AE2，
18、易知 SE平面 ABC，由勾股定理可知，三棱锥 SABC 的高 SE SA2AE2（2 5）2224，由于点 A 是以 SD 为直径的球 O 上一点，SAD90，由射影定理可知，球 O 的直径 2RSDSA2SE 5，因此，球 O 的表面积为 4R2(2R)225.故选 A考点 空间几何体中最值问题【例】(2019 届沈阳市第一次质量监测)如图，四棱锥 PABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点 A，B，C，D 在球 O 的同一个大圆上，且球的表面积为 16，点 P 在球面上，则四棱锥 PABCD 的体积的最大值为()A8B83C16D163解析 设球的半径为 R，由题知 4R216，则 R2，再
19、设大圆内的矩形长、宽分别为 x，y，由题知 x2y216，则矩形面积 xyx2y228，当且仅当 xy 时取等号，即底面为正方形时，底面面积最大又四棱锥 PABCD 的高的最大值为 2，故四棱锥 PABCD 体积的最大值为1382163，故选 D 答案 D名师点津与空间几何体有关的最值问题，多通过在条件中把目标函数转化为函数最值问题，再通过二次函数、基本不等式或导数求最值|跟踪训练|(2019 届重庆市第一次调研)三棱锥 SABC 中，SA，SB，SC 两两垂直，已知 SAa，SBb，SC2，且 2ab52，则此三棱锥的外接球的表面积的最小值为()A214B174C4D6解析：选 A 由题意，设三棱锥的外接球的半径为 R，因为 SA，SB，SC 两两垂直，所以以 SA，SB，SC 为棱构造长方体，其体对角线即为三棱锥的外接球的直径因为 SAa，SBb，SC2，所以 4R2a2b24a2522a 245(a1)2214，所以当 a1 时，(4R2)min214，所以三棱锥的外接球的表面积的最小值为214，故选 A点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS