1、2015-2016学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共12×5=60分）1已知F1（3，0），F2（3，0），动点M满足|MF1|+|MF2|=5，则点M的轨迹是（）A双曲线B椭圆C线段D不存在2中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）ABCD3过抛物线y2=8x的焦点且倾斜角为45直线l，交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为（）A8B16C24D324已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则等于（）ABCD5在下列
2、命题中：若、共线，则、所在的直线平行；若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；若、三向量两两共面，则、三向量一定也共面；已知三向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z其中真命题的个数为（）A0B1C2D36下列命题中是真命题的是（）“若x2+y20，则x，y不全为零”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若m0，则x2+xm=0有实根”的逆否命题；“xR，x2+x+20”的否定ABCD7已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）ABCD8设P是双曲线=1（a0，b0）上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且F1PF2=90，F
3、1PF2面积是9，则a+b=（）A4B5C6D79四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，AA1=6，A1AB=A1AD=60，则AC1的长为（）AB46CD3210已知P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A（，1）B（，1）C（1，2）D（1，2）11过原点的直线l与双曲线有两个交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）ABCD12设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，则BCF与ACF的面积的比值为（）A1：4B1：5C1：6
4、D1：7二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13一条渐近线方程为且过点（4，1）的双曲线的方程为14已知A（2，2，4），B（2，5，1），C（1，4，1），则直线AB与直线BC的夹角为15已知椭圆x2+ky2=3k（k0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是16方程表示的曲线为C，则给出的下面四个命题：（1）曲线C不能是圆（2）若1k4，则曲线C为椭圆（3）若曲线C为双曲线，则k1或k4（4）若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则其中正确的命题是（填序号）三、解答题（6小题共70分，请在指定位置写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知命题p：|4x|6，
5、q：x22x+1a20（a0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围18如图，已知三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点（1）求异面直线EB与AC所成角的余弦值；（2）求直线EB和平面ABC的所成角的正弦值（3）求点E到面ABC的距离19已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为求抛物线的方程20过定点P（1，2）的直线l交双曲线于A，B两点，线段AB的中点坐标为（2，4），双曲线的左顶点到右焦点的距离为求曲线C的方程21如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别在A
6、B、PB上，且BE：AE=1：2，PF：BF=2：1（1）求平面DEF与平面PBC所成钝二面角的余弦值；（2）在平面PAD内是否存在一点G，使GF平面PCB？若存在，求出它的坐标，若不存在说明理由22已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点M（1，0）的直线l与椭圆交于P、Q两点（1）若直线l的斜率为1，且，求椭圆的标准方程；（2）若（1）中椭圆的右顶点为A，直线l的倾斜角为，问为何值时，取得最大值，并求出这个最大值2015-2016学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共12×
7、;5=60分）1已知F1（3，0），F2（3，0），动点M满足|MF1|+|MF2|=5，则点M的轨迹是（）A双曲线B椭圆C线段D不存在【考点】椭圆的定义【分析】直接由椭圆的定义得答案【解答】解：F1（3，0），F2（3，0），|F1F2|=6，又|MF1|+|MF2|=56，点M的轨迹不存在故选：D2中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意知，双曲线的焦点在y轴，c=，a=1，从而可得其标准方程【解答】解：中心在原点的双曲线，一个焦点为F（0，），其焦点在y轴，且半焦距c=；又F到最近顶点的距离是1，a=1
8、，b2=c2a2=31=2该双曲线的标准方程是y2=1故选A3过抛物线y2=8x的焦点且倾斜角为45直线l，交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为（）A8B16C24D32【考点】抛物线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点，设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，即可得到所求值【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F为（2，0），设直线AB的方程为y0=（x2），即为y=x2，代入抛物线的方程，可得x212x+4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=12，由抛物线的定义可得，|AB|=x1+x2+p=12+4=16故选：B4已知空间四边形ABCD的每条边和
9、对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则等于（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意作图，可得所求数量积为，由已知易得其模长和夹角，由数量积的定义可得答案【解答】解：如图连接空间四边形ABCD的对角线AC，BD，由空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，可知底面ABC为等边三角形，故BDC=60，又点E、F分别是AB、AD的中点，所以，故=，故选B5在下列命题中：若、共线，则、所在的直线平行；若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；若、三向量两两共面，则、三向量一定也共面；已知三向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z其中真命题的个数为（）A
10、0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】若、共线，则、所在的直线平行或重合；若、所在的直线是异面直线，则、一定共面；若、三向量两两共面，则、三向量不一定共面；已知三个不共面的向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z，即可判断出【解答】解：若、共线，则、所在的直线平行或重合，因此不正确；若、所在的直线是异面直线，则、一定共面，因此不正确；若、三向量两两共面，则、三向量不一定共面，不正确；已知三个不共面的向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z，可知不正确综上可知：都不正确故选：A6下列命题中是真命题的是（）“若x2+y20，则x，y不全为零”的否命题；“正多
11、边形都相似”的逆命题；“若m0，则x2+xm=0有实根”的逆否命题；“xR，x2+x+20”的否定ABCD【考点】四种命题【分析】先写出否命题，然后判断写出命题的逆命题，然后判断写出命题的逆否命题，然后判断写出命题的否定，然后判断【解答】解：原命题的否命题为：“若x2+y2=0，则x，y全为零，”所以正确；“正多边形都相似”的逆命题是：相似的多边形都是正多边形，所以错误；“若m0，则x2+xm=0中=1+4m0，方程有实根”，命题的逆否命题是真命题，所以正确；“xR，x2+x+20”的否定是：xR，x2+x+20，是真命题所以正确故选：B7已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D
12、在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】设椭圆方程为（ab0），可得正方形边长AB=2c，再根据正方形的性质，可计算出2a=AC+BC=2c+2c，最后可得椭圆的离心率e=【解答】解：设椭圆方程为，（ab0）正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，焦距2c=AB，其中c=0BCAB，且BC=AB=2cAC=2c根据椭圆的定义，可得2a=AC+BC=2c+2c椭圆的离心率e=故选A8设P是双曲线=1（a0，b0）上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且F1PF2=90，F1PF2面积是9，则a+b=（）A4B5C6D7【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线
13、的定义、勾股定理，F1PF2面积是9，可得c2a2=9，结合双曲线的离心率是=，求出a，c，可得b，即可求出a+b的值【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则|mn|=2a由F1PF2=90，可得m2+n2=4c2，则2得：2mn=4a24c2，mn=2c22a2，F1PF2面积是9，c2a2=9，双曲线的离心率是=，c=5，a=4，b=3，a+b=7故选：D9四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，AA1=6，A1AB=A1AD=60，则AC1的长为（）AB46CD32【考点】棱柱的结构特征【分析】画出图形，将，两边平方求值，然后开方求线段长度【解答】
14、解：如图因为，并且AB=2，AD=4，AA1=6，A1AB=A1AD=60，所以=4+16+36+0+226+24=92，所以AC1=；故选C10已知P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A（，1）B（，1）C（1，2）D（1，2）【考点】抛物线的简单性质【分析】如图所示，过点P作PMl，垂足为M，连接FM，利用抛物线的定义可得|PM|=|FP|可知当PQx轴时，点P、Q、M三点共线，因此|PM|+|PQ|取得最小值|QM|，求出即可【解答】解：设准线为l：x=1，焦点为F（1，0）如图所示，过点P作PMl，垂足为M，连接
15、FM，则|PM|=|FP|故当PQx轴时，|PM|+|PQ|取得最小值|QM|=2（1）=3设点P（x，1），代入抛物线方程12=4x，解得，故选B11过原点的直线l与双曲线有两个交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】设过原点的直线方程为y=kx，与双曲方程联立，得：x2（3k21）9=0，因为直线与双曲有两个交点，所以=36（3k21）0，由此能求出k的范围，再由直线的斜率公式可得倾斜角的范围【解答】解：双曲线，即为=1，设过原点的直线方程为y=kx，与双曲方程联立，得：x2（3k21）9=0，因为直线与双曲有两个交点，所以=36（3k21）0，k2，
16、解得k，或k由直线的斜率公式k=tan（0，且），可得（，）（，）；当=时，直线为y轴，显然与双曲线有两个交点故选：B12设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，则BCF与ACF的面积的比值为（）A1：4B1：5C1：6D1：7【考点】抛物线的简单性质【分析】利用三角形面积公式，可把BCF与ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式借助|BF|=求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BC与AC的长度之比，得到所需问题的解【解答】解：抛物线方程y2=4x的焦点为F坐标为（1，0），
17、准线方程为x=1设A（x1，y1），B（x2，y2），则|BF|=x2+1=，x2=把x2=代入抛物线y2=4x得y=，不妨取y2=，即B（，）为例进行研究直线AB过点M（2，0）与B（，）方程为y=（x2），代入抛物线方程，解得，x1=8，|AE|=8+1=9，在AEC中，BNAE，BCF与ACF的面积的比值为=，故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13一条渐近线方程为且过点（4，1）的双曲线的方程为=1【考点】双曲线的简单性质【分析】由渐近线方程为，可设双曲线的方程为y2x2=（0），代入点（4，1），解方程即可得到所求双曲线的方程【解答】解：由一条渐近线方程为，可设双曲
18、线的方程为y2x2=（0），代入点（4，1），可得=116=3，即有双曲线的方程为y2x2=3，即为=1故答案为：=114已知A（2，2，4），B（2，5，1），C（1，4，1），则直线AB与直线BC的夹角为60【考点】空间向量的数量积运算【分析】先求出cos=的值，由此能求出直线AB与直线BC的夹角【解答】解：A（2，2，4），B（2，5，1），C（1，4，1），=（0，3，3），=（1，1，0），cos=，直线AB与直线BC的夹角为60，故答案为：6015已知椭圆x2+ky2=3k（k0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的简单性质
19、【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，由“一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合”得到焦点的x轴上，从而确定a2，b2，再由“c2=a2b2”建立k的方程求解，最后求得该椭圆的离心率【解答】解：抛物线y2=12x的焦点（3，0）方程可化为焦点（3，0）在x轴上，a2=3k，b2=3，又c2=a2b2=9，a2=12，解得：k=4=故答案为：16方程表示的曲线为C，则给出的下面四个命题：（1）曲线C不能是圆（2）若1k4，则曲线C为椭圆（3）若曲线C为双曲线，则k1或k4（4）若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则其中正确的命题是（3）（4）（填序号）【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据曲线方程的
20、特点，结合圆、椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可【解答】解：方程表示的曲线为C，对于（1），曲线C，当4k=k10，解得k=时，方程表示圆，（1）不正确；对于（2），当1k4且k，此时曲线表示椭圆，故（2）不正确；对于（3），若曲线C表示双曲线，则（4k）（k1）0，可得k1或k4，故（3）正确；对于（4），若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，此时4kk10，故（4）正确；故答案为：（3）（4）三、解答题（6小题共70分，请在指定位置写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知命题p：|4x|6，q：x22x+1a20（a0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围【考点】必要条件、充分条
21、件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法【分析】先解不等式分别求出p和q，再由非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围【解答】解：p：|4x|6，x10，或x2，A=x|x10，或x2q：x22x+1a20，x1+a，或x1a，记B=x|x1+a，或x1a而pq，AB，即，0a318如图，已知三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点（1）求异面直线EB与AC所成角的余弦值；（2）求直线EB和平面ABC的所成角的正弦值（3）求点E到面ABC的距离【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算【分析】（1
22、）建立空间直角坐标系，求出=（2，1，0），=（0，2，1），利用计算cos，可得异面直线EB与AC所成角的余弦值；（2）求出平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EB和平面ABC的所成角的正弦值（3）利用E点到面ABC的距离，即可求点E到面ABC的距离【解答】解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）=（2，1，0），=（0，2，1）cos，= 异面直线EB与AC所成角的余弦值为（2）设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，可取=（1，1，2），故BE和平面ABC的所成角
23、的正弦值为（3）E点到面ABC的距离E点到面ABC的距离为19已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为求抛物线的方程【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程【分析】设抛物线的方程为x2=2py，与直线y=2x+1联立，利用弦长公式，即可求抛物线的方程【解答】解：设直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），设抛物线的方程为x2=2py，与直线y=2x+1联立，消去y得x24px2p=0，则x1+x2=4p，x1x2=2p|AB|=|x1x2|=，化简可得16p2+8p3=0，p=或，x2=y或x2=y20过定点P（1，2）的直线l交双曲线于A，B两点，线段A
24、B的中点坐标为（2，4），双曲线的左顶点到右焦点的距离为求曲线C的方程【考点】双曲线的简单性质【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线的方程，运用作差法和中点坐标公式、直线的斜率公式，可得b=2a，再由a+c=1+，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，相减得：，由中点坐标公式可得x1+x2=4，y1+y2=8，且直线l的斜率为k=2，即有，得b2=4a2又且a2+b2=c2，解得a2=1，b2=4，故双曲线的方程为：21如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别在AB、PB上
25、，且BE：AE=1：2，PF：BF=2：1（1）求平面DEF与平面PBC所成钝二面角的余弦值；（2）在平面PAD内是否存在一点G，使GF平面PCB？若存在，求出它的坐标，若不存在说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建系Dxyz，利用向量法能求出平面DEF与平面PBC所成的钝二面角的余弦值（2）设在平面PAD内存在一点GG（a，0，b），使GF平面PCB，则由此能求出结果【解答】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建系Dxyz，设AB=3则D（0，0，0），E（3，2，0），F（2，2，1）
26、，P（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），=（3，2，0），=（2，2，1），=（3，3，3），=（0，3，3），设平面DEF的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，3，2），设平面PBC的一个法向量为=（a，b，c），则，取y=1，得=（0，1，1），cos=，故平面DEF与平面PBC所成的钝二面角的余弦值为（2）在平面PAD内存在一点G，使GF平面PCB设G（a，0，b），则若GF平面PCB，则，即因此（2a，2，1b）=（0，1，1），故，得故G（2，0，1）22已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点M（1，0）的直线l与椭圆交于P、Q两点（1）若直线
27、l的斜率为1，且，求椭圆的标准方程；（2）若（1）中椭圆的右顶点为A，直线l的倾斜角为，问为何值时，取得最大值，并求出这个最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）因为椭圆的离心率为，所以=，所以可找到a，b之间的关系，设出椭圆方程，再因为过点M（1，0），斜率为1的直线l方程为y=x+1，代入椭圆方程，消去x，得到关于y的一元二次方程，求出两根之和与两根之积，再根据找P，Q纵坐标关系，化简，即可求出椭圆中a，b的值，进而求出椭圆方程（2）先设出直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，利用根与系数关系，求出P，Q纵点坐标之和与之积，计算，用P，Q纵点坐标表示，转化为纵点坐标之和与之积，再用前面求出的带斜率k的式子表示，再用求最值的方法求出k为何值时，有最大值【解答】解：（1）e=，故椭圆方程为x2+4y2=4b2，设P（x1，y1）、Q（x2，y2），由，由=0，y1+y2=，由此得b2=1，a2=4，椭圆方程为=1；（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆方程得：x2+4k2（x+1）2=4（1+4k2）x2+8k2x+4k24=0，所以=（1+k2）x1x2+（k22）（x1+x2）+4+k2=，当直线l的斜率不存在即=90时，因此当=90时，取得最大值，最大值为2016年8月2日