1、提能专训(十二)与数列交汇的综合问题一、选择题1(2014吉林实验中学)若an为等差数列，Sn是其前n项和，且S11，则tan a6的值为()A. B C D答案B解析S1111a6，a6，tan a6tan.2(2014合肥二次联考)在ABC中，tan A是以4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是_三角形()A等腰直角 B钝角 C锐角 D非等腰的直角答案C解析依题意知，dtan A2，qtan B3.tan(AB)10，n1,2，.且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1()A(n1
2、)2 B(n1)2 Cn(2n1) Dn2答案D解析等比数列an满足an0，a5a2n522n(n3)，a5a2n5(an)222n，an2n.log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2(an)nlog2(2n)nlog22n2n2.4计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1 101)2表示二进制数，将它转换成十进制数是12312202112013，那么将二进制数(1101)2转换成十进制数是()A2161 B2162 C2163 D2164答案C解析由题意可得转化为十进制数为12151214122120121512141221212
3、022163.故选C.5(2014厦门5月适应性考试)数列an的前n项和为Sn，前n项积为n，且n()n(n1)，则S5等于()A31 B62 C124 D126答案B解析因为2n(n2)，所以an2n(n2)，又a11()22，所以an2n(nN*)，即数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，则S526262.故选B.6(2014浦东新区第一学期期末质量抽测)已知函数f(x)，则f(1)f(2)f(2 013)f(2 014)ffff()A2 010 B2 011 C2 012 D2 013答案D解析这种类型的求和问题，一般都是配对分组，观察式子的特征，研究发现f(x)f1，因此把式子中f
4、(k)与f合并使每个和都为1，共有2 013个1，而f(1)，故结论为D.7(2014西宁四校联考)已知幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，令anf(n1)f(n)，nN*，记数列的前n项和为Sn，则Sn10时，n的值是()A110 B120 C130 D140答案B解析设f(x)x，则42，f(x)，数列的前n项和Sn()()()1.令110得n120，故选B.8(2014陕西质检)已知函数f(x)(13m)x10(m为常数)，若数列an满足anf(n)(nN*)，且a12，则数列an前100项的和为()A39 400 B39 400 C78 800 D78 800答案B解析a1f(1)(
5、13m)102，m3，anf(n)8n10，S1008(12100)1010081010039 400，故选B.9(2014兰州、张掖联考)如图，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f(x)x(x0)的图象上若点Bn的坐标为(n,0)(n2，nN*)，记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2a3a10()A208 B216 C212 D220答案B解析由Bn(n,0)得Cn，令xn，即x2x10，得xn或x，所以Dn.所以矩形AnBnCnDn的周长an224n，则a2a3a104(2310)216.10(2014南昌一模)若数列an，bn的通项公式分别是a
6、n(1)n2 013a，bn2，且anbn对任意nN*恒成立，则常数a的取值范围是()A(2,1) B2,1) C(2,1 D2,1答案B解析由anbn，得(1)na2，要使其对任意nN*恒成立，则当n2k1(kN*)时，a2恒成立，又max1，所以a211；当n2k(kN*)时，a2恒成立，又，所以a2，得a2.综上所述，2a1.11已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足ax，且f(x)g(x)f(x)g(x)，若有穷数列(nN*)的前n项和等于，则n等于()A4 B5 C6 D7答案B解析，因为f(x)g(x)f(x)g(x)，所以0，即axln a0，故0a0，g(t)g(t)，gg
7、ga70.数列an是公差不为0的等差数列，不妨设a1a2a7，则a1a20，gg，gg0，ggga70.假设0，同理可得ggg0)，a21，an2(nN*)，若a2 0142a，记数列an的前n项和为Sn，则S2 014的值为_答案5 235解析a1a0，a21，a3，a4a5a6a，a2 014a40254a42a4，a2，S2 014(21244)40221245 235.15(2014吉林三模)各项均为正数的等比数列an满足a1a74，a68，若函数f(x)a1xa2x2a3x3a10x10的导数为f(x)，则f的值为_答案解析由题意，得公比q0，且an0，则有解得an2n12n3，f(
8、x)a12a2x3a3x210a10x9.nann1n2n321n，f.16(2014南京一模)已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和为Sn，若ASnB对任意nN*恒成立，则BA的最小值为_答案解析根据题意，得Sn1n，设CSn，令2(3)n1t，则(3)n，由于nN*，所以当n为奇数时(3)n3，t7，当n为偶数时(3)n9，t17.则C，在t17时取得最小值，在t7时取得最大值，所以BA的最小值为.三、解答题17(2014郑州第一次质量预测)已知函数f(x)Asin(2x)(A0,0)，当x时取得最小值4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若等差数列an的前n项和为Sn，且a2f(
9、0)，a4f，求数列的前n项和Tn.解：(1)由题意知x时f(x)取得最小值4，A4,4sin4，sin1，又00)，以点(n，f(n)为切点作函数图象的切线ln(nN*)，直线xn1与函数yf(x)图象及切线ln分别相交于An，Bn，记an|AnBn|.(1)求切线ln的方程及数列an的通项；(2)设数列nan的前n项和为Sn，求证：Sn0)求导，得f(x)1，则切线ln的方程为y(xn)，即yx.易知An，Bn，由an|AnBn|知，an.(2)证明：nan，Sna12a2nan110)，数列an满足a11，anf，nN*，且n2.(1)求数列an的通项公式；(2)对nN*，设Sn，若Sn恒成立，求实数t的取值范围解：(1)由anf，可得anan1，nN*，n2.所以an是等差数列又因为a11，所以an1(n1)，nN*.(2)因为an，所以an1，所以.所以Sn，nN*.Sn，即，得t(nN*)恒成立令g(n)(nN*)，则g(n)2n36(nN*)令p2n3，则p5，pN*.g(n)p6(nN*)，易知p5时，g(n)min.所以t，即实数t的取值范围是.