1、第七章 不等式第一节 不等关系与一元二次不等式栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.利用不等式的性质解题，高考中多以小题出现，题目难度不大；不等式解法是不等式中的重要内容，且常考常新，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点.1.逻辑推理2.数学运算 3.数据
2、分析 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1两个实数比较大小的依据(1)ab0ab.(2)ab0ab.(3)ab0abbb，bcac.(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd.(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0ac 1 _bd.(5)可乘方性：ab0an 2 _bn(nN，n1)(6)可开方性：ab0n a 3 _n b(nN，n2)3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式 b24ac000)的图象一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根有两相异实数根 x1，x2(x1000(a0)的解集4 _5 _6 _一元二次不等式 ax2bxc0)的解集7 _8 _9
3、 _ x|xx2xx b2aRx|x1x0 对任意实数 x 恒成立a0，b24ac0.(2)一元二次不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立a0，b24acb，ab01a1b.(2)a0b1ab0，0cbd.(4)0axb 或 axb01b1xb0，m0，则(1)babmam(bm0)(2)abambm；ab0)基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个实数 a，b 之间，有且只有 ab，ab，a1，则 ab.()(3)若不等式 ax2bxc0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程 ax2bxc0的两个根是 x1 和 x2.()(4)若方程 ax2bx
4、c0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为R.()(5)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且 b24ac0.()(6)若二次函数 yax2bxc 的图象开口向下，则不等式 ax2bxcb0，cdbcBadbdDacbd答案：B3(必修 5P103A2 改编)已知集合 Ax12x10，Bx|x2x6b，则()AacbcB1ab2Da3b3解析：选 D 当 cbc 不成立，故 A 不正确；当 a1，b3 时，B、C均不正确，故选 D5若(m1)x2(m1)x3(m1)0 对任何实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A(1，)B(，1)C，1311D，1
5、311(1，)解析：选 C 当 m1 时，不等式为 2x60，即 x3，不合题意 当 m1 时，则m10，（m1）212（m1）（m1）0，解得 m1b1，b0，则下列不等式中恒成立的是()A1a1bCab2Da22b解析：选 C 对于 A，当 a 为正数，b 为负数时，1a1b，所以 A 错误；对于 B，当 a2，b12时，1ab1b21，所以 C 正确；对于 D，当 a1.1，b0.8 时，a21.21，2b1.6，a22b，所以 D 错误2设 a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A 若(ab)a20，则必
6、有 ab0，即 ab；而 ab 时，不能推出(ab)a20，如 a0，b1.所以“(ab)a20”是“a”或“1，所以 ba.答案：0，q0，前 n 项和为 Sn，则S3a3与S5a5的大小关系为_解析：当 q1 时，S3a33，S5a55，所以S3a30 且 q1 时，S3a3S5a5 a1（1q3）a1q2（1q）a1（1q5）a1q4（1q）q2（1q3）（1q5）q4（1q）q1q40，所以S3a3S5a5.综上可知S3a3S5a5.答案：S3a30 的解集为x|1x2ax 的解集为()Ax|2x1Bx|x1Cx|0 x3Dx|x3解析：选 C 由题意 a(x21)b(x1)c2ax，
7、整理得 ax2(b2a)x(acb)0.又不等式 ax2bxc0 的解集为x|1x2，则 a0，且1，2 分别为方程 ax2bxc0 的两根，由根与系数的关系得12ba，（1）2ca，即ba1，ca2.将两边同除以 a 得 x2ba2 x1caba 0，将代入得 x23x0，解得 0 x3，故选 C6(2019 届扬州中学调研)已知函数 f(x)x2ax，x0，bx23x，x0为奇函数，则不等式 f(x)0，则x0，则 f(x)bx23x.因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)，即 bx23xx2ax，所以 a3，b1，所以 f(x)x23x，x0，x23x，x0.当 x0 时，由x2
8、3x4，解得 0 x4；当 x0 时，由x23x4，解得 x0，所以不等式 f(x)4 的解集为(，4)答案：(，4)7解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10)解：原不等式可变为(ax1)(x1)0，所以 ax1a(x1)1 时，解集为x1ax1；当 a1 时，解集为；当 0a1 时，解集为x1x1a.综上，当 0a1 时，不等式的解集为x1x1 时，不等式的解集为x1ax1.名师点津解一元二次不等式的一般步骤提醒 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于 0 的情况考点 一元二次不等式的恒成立问题多维探究一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系在解决具体的数学问
9、题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与 x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围常见的命题角度有：(1)形如 f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围；(2)形如f(x)0(xa，b)确定参数的范围；(3)形如 f(x)0(参数 ma，b)确定 x 的范围命题角度一 形如 f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围【例 1】已知不等式 mx22xm10，是否存在实数 m 对所有的实数 x，不等式恒成立？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由解 要使不等式 mx22xm10 恒成立，则函数 f
10、(x)mx22xm1 的图象全部在 x 轴下方当 m0 时，12x12，不满足题意；当 m0 时，函数 f(x)mx22xm1 为二次函数，需满足开口向下且方程 mx22xm10 无解，即m0，44m（1m）0，不等式组的解集为空集，即 m 无解综上可知，不存在这样的实数 m 使不等式恒成立命题角度二 形如 f(x)0(xa，b)确定参数的范围【例 2】设函数 f(x)mx2mx1(m0)，若对于 x1，3，f(x)m5 恒成立，求实数 m 的取值范围解 要使 f(x)m5 在 x1，3上恒成立，则 mx2mxm60 在 x1，3上恒成立，即 mx12234m60 时，g(x)在1，3上是增函
11、数，所以 g(x)maxg(3)7m60，所以 m67，则 0m67；当 m0 时，g(x)在1，3上是减函数，所以 g(x)maxg(1)m60，所以 m6，则 m0，又因为 m(x2x1)60，所以 m6x2x1.因为函数 y6x2x16x12234在1，3上的最小值为67，所以只需 m0，g（1）（x2）x24x40，解得 x3.故当 x(，1)(3，)时，对任意的 m1，1，函数 f(x)的值恒大于零名师点津形如 f(x)0(f(x)0)恒成立问题的求解思路(1)xR 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解(2)xa，b的不等式确定参数范围时，根据函数的单调性，
12、求其最值，让最值大于等于或小于等于 0，从而求出参数的范围；数形结合，利用二次函数在端点 a，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围(3)已知参数 ma，b的不等式确定 x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数提醒 解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数|跟踪训练|函数 f(x)x2ax3.(1)当 xR 时，f(x)a 恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)当 x2，2时，f(x)a 恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)当 a4，6时，f(x)0 恒成立，求实数 x 的取值范围解：(1)当 xR 时，x2ax3a0 恒成立，a24(3
13、a)0，即 a24a120，解得6a2，实数 a 的取值范围是6，2(2)对于任意 x2，2，f(x)a 恒成立，即 x2ax3a0 对任意 x2，2恒成立，令 g(x)x2ax3a，则有a24(3a)0 或0，a20，a22，g（2）7a0，解得6a2，解得 a，解得7a1.设 aR，若关于 x 的不等式 f(x)x2a 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是()A4716，2B4716，3916C2 3，2 D2 3，3916解析 作出函数 f(x)的大致图象如图，若不等式f(x)x2a 在 R 上恒成立，则 yf(x)的图象恒在 yx2a 图象的上方(含交点)，当 yx2a 与 yx
14、2x在x1 相切时，a2；当 yx2a 与 yx2x3 在 x1相切时，x2x3x2a，x212x3a0 有两个相等的根，则 1224(3a)0，解得 a4716，由图象可得 a 的取值范围是4716，2.答案 A名师点津解决不等式恒成立问题可结合图形求解|跟踪训练|(2019 年天津卷)已知 aR，设函数 f(x)x22ax2a，x1，xaln x，x1.若关于 x 的不等式f(x)0 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为()A0，1B0，2C0，eD1，e解析：选 C 当 x1 时，此时 f(x)x22ax2a(xa)2a22a0 恒成立，二次函数 f(x)图象的对称轴为直线 xa，所以当 a1 时，f(x)minf(1)10 恒成立；当 a1 时，f(x)minf(a)2aa20，解得 0a2，0a1 时，此时 f(x)xaln x0 恒成立，即 a xln x恒成立 设 g(x)xln x，则 g(x)ln x1（ln x）2.令 g(x)0，得 xe，且当 1xe 时，g(x)e 时，g(x)0，g(x)ming(e)e，ae.综上，a 的取值范围是 0ae，即0，e故选 C点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS