1、2020-2021学年四川省南充高级中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1命题“若”，则tana1“的否命题是（）A“若“，则tana1”B“若“，则tana1”C“若，则tana1”D“若tana1，则”2函数f（x）ln2+cosx的导数为（）ABsinxCsinxD3若直线3x+y+a0过圆x2+y2+2x4y0的圆心，则a的值为（）A1B1C3D34球的体积是，则此球的表面积是（）AB16CD5如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b分别为2，6，则输出的a等于（）A4B0C2D14
2、6“k1”是“函数f（x）kxlnx在区间1，+）单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数，则其和等于9的概率是（）ABCD8设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（）ABCD9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD10已知函数f（x）（xR）满足f（1
3、）1，且f（x）的导数f（x），则不等式f（x2）的解集为（）A（，1）B（1，+）C（，11，+）D（1，1）11已知离心率为2的双曲线C：的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），直线与双曲线C在第一象限的交点为P，PF1F2的角平分线与PF2交于点Q，若|PF2|PQ|，则的值是（）ABCD12已知a0，bR，且exa（x1）+b对xR恒成立，则a2b的最大值为（）ABCD二、填空题：本题共4个小题，每个小题5分，共20分。13相关变量的样本数据如表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y10x+a，则a x1234y2030304014若命题“xR，x2
4、+ax+10”是真命题，则实数a的取值范围为 15如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为 16已知f（x）kexx2（kR），下列结论正确的是 当k1时，f（x）0恒成立；若f（x）在R上单调，则；当k2时，f（x）的零点为x0且；若f（x）有三个零点，则实数k的取值范围为三、解答题：本题6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17设命题p：实数x满足（xa）（x3a）0，其中a0，命题q：实数x满足42x8（1）若a1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取
5、值范围18已知函数（1）求函数f（x）的图象在点x0处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值19“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图（1）根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从8，10
6、和10，12组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求10，12小组中至少有1人发言的概率？20如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M为PD的中点，PA底面ABCD，PAAD4，AB2（1）求证：AM平面MCD；（2）求点M到平面PAC的距离21已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆上一点，且满足+t（O为坐标原点），当|AB|时，求实数t的取值范围22已知函数
7、h（x）alnx+x2（a+2）x，g（x）（a1）lnx+（1+a）x24x（1）讨论h（x）的单调性；（2）设函数f（x）h（x）g（x），若对任意x0，恒有f（x）0，求a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1命题“若”，则tana1“的否命题是（）A“若“，则tana1”B“若“，则tana1”C“若，则tana1”D“若tana1，则”解：命题“若”，则tana1“的否命题是“若“，则tana1”故选：A2函数f（x）ln2+cosx的导数为（）ABsinxCsinxD解：f（x）0sinxsinx故选：B3若直线3x+y+a0过圆x2+y2+2x4y0
8、的圆心，则a的值为（）A1B1C3D3解：圆x2+y2+2x4y0的圆心为（1，2），代入直线3x+y+a0得：3+2+a0，a1，故选：B4球的体积是，则此球的表面积是（）AB16CD解：根据题意，设球的半径为R，若球的体积是，则有V，解可得R2，则其表面积S4R216，故选：B5如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b分别为2，6，则输出的a等于（）A4B0C2D14解：若输入a，b分别为2，6，因为ab，执行左支，26，执行右支，b624，返回进入第二次循环，a2，b4，再执行一次，得到a2，b2，此时ab，执行右支，得到a2，故
9、选：C6“k1”是“函数f（x）kxlnx在区间1，+）单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：f（x）k，函数f（x）kxlnx在区间1，+）单调递增，f（x）0在区间1，+）上恒成立k，而y在区间1，+）上单调递减，k1故“k1”是“函数f（x）kxlnx在1，+）单调递增“充分不必要条件故选：A7洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数，则其和等于9的概率是（）ABC
10、D解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数n4520，其和等于9包含的基本事件有：（7，2），（3，6），（5，4），（1，8），共4个，其和等于9的概率p故选：A8设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（）ABCD解：由y22px，得2p3，p，则F（，0）过A，B的直线方程为y（x），即xy+联立 ，得4y212y90设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y23，y1y2SOABSOAF+SOFB|y1y2|故选：D9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD解：该几何体为三棱柱与三棱
11、锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S121，高为1；故其体积V1111；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S121，高为1；故其体积V211；故该几何体的体积VV1+V2；故选：A10已知函数f（x）（xR）满足f（1）1，且f（x）的导数f（x），则不等式f（x2）的解集为（）A（，1）B（1，+）C（，11，+）D（1，1）解：根据题意，设g（x）f（x），其导数g（x）f（x）0，则函数g（x）在R上为增函数，又由f（1）1，则g（1）f（1），不等式f（x2）f（x2）g（x2）g（1），又由g（x）在R上为增函数，则x21，解可得：1x1，即不等式的解集为（1
12、，1）；故选：D11已知离心率为2的双曲线C：的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），直线与双曲线C在第一象限的交点为P，PF1F2的角平分线与PF2交于点Q，若|PF2|PQ|，则的值是（）ABCD解：直线；所以其过左焦点，且PF1F230；如图：PF1F2的角平分线与PF2交于点Q，且|PF2|PQ|，|PF1|2c；离心率为2c2a|PF2|PF1|2a；cosPF1F2；故选：B12已知a0，bR，且exa（x1）+b对xR恒成立，则a2b的最大值为（）ABCD解：设f（x）exa（x1）b，可得f（x）exa，当a0时，f（x）0，f（x）递增，f（x）无最小值；当a0时，x
13、lna时，f（x）0，f（x）递增；xlna时，f（x）0，f（x）递减，可得xlna处，f（x）取得最小值2aalnab，由exa（x1）+b对xR恒成立，可得b2aalna，则a2b2a3a3lna，设g（a）2a3a3lna，g（a）6a2（3a2lna+a2）5a23a2lnaa2（53lna），当ae时，g（a）0，g（a）递减；当0ae时，g（a）0，g（a）递增，可得ae处，g（a）取得最大值2e5e5e5即有a2b的最大值为e5故选：B二、填空题：本题共4个小题，每个小题5分，共20分。13相关变量的样本数据如表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y
14、10x+a，则a5x1234y20303040解：，把样本点的中心的坐标（2.5，30）代入y10x+a，得30102.5+a，即a5故答案为：514若命题“xR，x2+ax+10”是真命题，则实数a的取值范围为2，2解：因为命题“xR，x2+ax+10”是真命题， 所以不等式x2+ax+10在xR上恒成立 由函数yx2+ax+1的图象是一条开口向上的抛物线可知， 判别式0即a2402a2， 所以实数a的取值范围是2，2故答案为：2，215如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为2解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则
15、h2+r2R23；所以圆柱的体积为Vr2h（3h2）h（3hh3）；则V（h）（33h2），令V（h）0，解得h1；所以h（0，1）时，V（h）0，V（h）单调递增；h（1，）时，V（h）0，V（h）单调递减；所以h1时，V（h）取得最大值为V（1）2故答案为：216已知f（x）kexx2（kR），下列结论正确的是 当k1时，f（x）0恒成立；若f（x）在R上单调，则；当k2时，f（x）的零点为x0且；若f（x）有三个零点，则实数k的取值范围为解：当k1时，f（x）exx2，f（1）10，故错误；f（x）kexx2，则f（x）kex2x，若f（x）在R上单调递增，则f（x）0，即k恒成立，令g
16、（x），则g（x）0，得x1，即g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）单调递减，所以g（x）maxg（1），故k；若f（x）在R上单调递减，则f（x）0，即k恒成立，当x时，g（x）无最小值，故k不恒成立，即f（x）不会单调递减，综上：若f（x）在R上单调，则；故正确；当k2时，f（x）2exx2，f（x）2（exx），令g（x）exx，则g（x）ex1，令g（x）0，解得：x0，故g（x）在（，0）递减，在（0，+）递增，故g（x）g（0）1，故f（x）在R上单调递增，f（1）10，f（）0，由函数零点存在性定理知，存在x0（1，），使得f（x0）0，故正确；f（x）有3个零点等价于方程
17、kexx20有3个根，即方程k有3个根，令F（x），F（x），故F（x）在（，0）递减，在（0，2）递增，在（2，+）递减，而F（0）0，F（2），大致图像如图示：故k的取值范围是（0，），故正确；故答案为：三、解答题：本题6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17设命题p：实数x满足（xa）（x3a）0，其中a0，命题q：实数x满足42x8（1）若a1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：（1）命题p：实数x满足（xa）（x3a）0，其中a0，解得ax3a命题q中：实数x满足 42x8可得2x3若a1，则p中：1x3，p
18、且q为真，解得2x3，故所求x2，3）（2）若p是q的充分不必要条件，则q是p 的充分不必要条件，解得1a2，a的取值范围是（1，2）18已知函数（1）求函数f（x）的图象在点x0处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值解：（1），f（x）x22x3，从而f（0）1，f（0）3，因此，函数f（x）点x0处的切线方程为：y3x+1（2）令f（x）x22x30，得x1或x3则当x变化时，f（x）与f（x）的变化情况如下表x（，1）1（1，3）3（3，+）f（x）+00+f（x）递增递减8递增函数f（x）的单调递增区间是（，1），（3，+），函数f（x）的单调递减区间是（1，3）；当x1时，f（x）
19、取得极大值，极大值为；当x3时，f（x）取得极小值，极小值为819“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图（1）根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从8，10和10，12组中抽取50人了解
20、情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求10，12小组中至少有1人发言的概率？解：（1）设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为，中位数为y，+0.255+0.37+0.159+0.111+0.05136.8，设抽查人员利用“学习强国”的中位数为y0.05+0.1+0.25+0.15（y6）0.5，解得y，即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为（2）8，10组的人数为20000.15300人，设抽取的人数为a，10，12组的人数为20000.1200人，设抽取的人数为b，则，解得a30，b20，所以在8
21、，10和10，12两组中分别抽取30人和20人，在抽取5人，两组分别抽取3人和2人，将8，10组中被抽取的工作人员标记为a，b，c，将10，12中的标记为A，B则抽取的情况如下：a，b，a，c，a，A，a，B，b，c，b，A，b，B，c，A，c，B，A，B共10种情况，其中在10，12中至少抽取1人有7种，则P20如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M为PD的中点，PA底面ABCD，PAAD4，AB2（1）求证：AM平面MCD；（2）求点M到平面PAC的距离【解答】（1）证明：PA平面ABCD，PACD四边形ABCD是矩形，ADCD，又PAADA，CD平面PAD，又AM平面PAD，
22、CDAMPAAD，M为PD的中点，AMMD，又CDMDD，AM平面MCD（2）解：M是PD的中点，VMPACVDPACVPACD4，又AC2，SPAC4，设点M到平面PAC的距离为d，则VMPACSPACd，解得：即M到平面PAC的距离是21已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆上一点，且满足+t（O为坐标原点），当|AB|时，求实数t的取值范围解：（1）椭圆C：+1（ab0）的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，e，又a2b2+c2，解得a2，
23、b1，c，椭圆方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），设AB：yk（x3），联立，得（1+4k2）x224k2x+36k240，242k416（9k21）（1+4k2）0，解得，x1x2，（x1+x2，y1+y2）t（x，y），x，由点P在椭圆上得，36k2t2（1+4k2），又曲|AB|，（1+k2）（x1x2）23，（1+k2）（x1+x2）24x1x23，（1+k2）3，（8k21）（16k2+13）0，8k210，由36k2t2（1+4k2），得，3t24，2t或22已知函数h（x）alnx+x2（a+2）x，g（x）（a1）lnx+（1+a）x24x（1）讨论
24、h（x）的单调性；（2）设函数f（x）h（x）g（x），若对任意x0，恒有f（x）0，求a的取值范围解：（1），当a0时，h（x）0x1，h（x）00x1h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当a2时，h（x）在（0，+）上单调递增；当0a2时，h（x）00x或x1，h（x）0x1，h（x）在（0，），（1，+）上单调递增，在上单调递减；当a2时，h（x）00x1或x，h（x）01x，h（x）在（0，1），（，+）上单调递增，在上单调递减；（2）f（x）h（x）g（x）lnxax2（a2）x，若a0，则f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上递增，f（1）22a0，与已知f（x）0不符合，舍去；当a0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，x0时，恒有f（x）0，只需，即设（a）lna+，a0，则（a）0，（a）在（0，+）上单调递减又（1）0，使得（a）0的a1，+）故a的取值范围是1，+）