1、2019-2020学年第二学期高二年级期中数学考试试卷一、单选题（共12题，每题5分）1. 设全集，集合，则集合等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合，然后求解和即可【详解】因为，所以，从而或故选：D.2. 设，则（）A. 0B. 1C. D. 3【答案】B【解析】【分析】先将分母实数化，然后直接求其模【详解】【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题3. 某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）为A. 18B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数
2、据求解几何体的体积即可.【详解】由题意可知几何体是底面为正三角形的三棱柱，底面边长为2，高为3,所以几何体体积为，故选：C.【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及空间想象能力4. 下列命题是真命题的为（ ）A. 若，则B. 若，则C 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】逐一判断即可.【详解】若，则，故A正确若，则，故B错误当时不成立，故C错误当时，满足，但，故D错误故选：A【点睛】本题考查的是不等式和方程的知识，较简单.5. 如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】从所给算法流程可以看出当时
3、仍在运算，当时运算就结束了【详解】由题意可知由加到需要进行即当时运算就结束了故选C.【点睛】本题考查了算法流程图的识读和理解，能够读懂流程图并能进行判定.6. 已知实数满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. 2C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值【详解】作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，如下图表示：由，得，由此可知要取最大值，则直线在轴上的截距最大作直线，将此直线向上平移经过点C时，取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故选：C【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解
4、能力，数形结合思想，应用意识，属于中档题7. 已知M(-2,0),N(2,0)，|PM|-|PN|=4，则动点P的轨迹是（ ）A. 一条射线B. 双曲线C. 双曲线左支D. 双曲线右支【答案】A【解析】【详解】因为|PM|-|PN|=4=|MN|，所以点P轨迹为一条射线，选A.8. 为了解某市高三男生的体重情况，随机抽查了该市100名高三男生的体重（单位：kg），得到的频率分布直方图如图所示，则这100名男生中体重在（阴影部分）内的人数是（ ）A. 20B. 30C. 40D. 50【答案】C【解析】【分析】先求得阴影部分的频率，由此求得这100名男生中体重在（阴影部分）内的人数.【详解】依题
5、意，阴影部分的频率为，故这100名男生中体重在（阴影部分）内的人数为人.故选：C【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算频率和频数，属于基础题.9. 若直线与曲线（，为自然对数的底数）相切，则（ ）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】C【解析】【分析】设出切点，写出切线方程，根据切线方程过点，即可求得切点坐标；再由切点在曲线上，即可求得参数值.【详解】设切点坐标为，则切线方程为，又因为切线为过代入得，将代入中得，故选：.【点睛】本题考查由切线的斜率求参数值，属基础题.10. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既非
6、充分也非必要条件【答案】B【解析】分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果.详解：若，则，又，所以；若，当时，直线与平面的位置关系不确定，无法得到.综上，“”是“”充分不必要条件.本题选择B选项.点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 已知函数的图象的一条对称轴为，其中为常数，且，给出下述四个结论：函数的最小正周期为；将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称；函数在区间，上单调递增；函数在区间上有个零点其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的一条对称轴是，且，算
7、出，进而求出最小正周期，即可判断；写出将函数的图象向左平移个单位后的式子，即可判断；当时，进而判断；由，得，解得，由，得，进而判断.【详解】解：当时，又因为，所以，函数的最小正周期，正确；将函数的图象向左平移，得，显然的图象不关于原点对称，错误；当时，所以在区间上单调递增，正确；由，得，解得，由，得，因为，所以，所以函数在区间上有个零点，正确故选：C.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查计算能力，属于中档题.12. 已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数即可求解.【
8、详解】根据可知，令由知为增函数，所以恒成立，分离参数得，而当时，在时有最大值为，故.故选：D【点睛】关键点点睛：本题由条件恒成立，转化为恒成立是解题的关键，再根据此式知函数为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题.二、填空题（共4题，每题5分）13. 已知向量，满足，若， 则_【答案】5【解析】【分析】直接计算即可得到答案.【详解】；，且，；故答案为：514. 世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”.那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三
9、代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大_.【答案】0.915【解析】【分析】求出小明与第一代、第二代、第三代传播者接触的概率， 代入概率公式求解即可.【详解】设事件A，B，C为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D为小明被感染，则由已知得：p(A)=0.5，p(B)=0.3，p(C)=0.2，p(D|A)=0.95，p(D|B)=0.90，p(D|C)=0.85，从而，小明被感染的概率由概率公式可得：
10、p(D)=p(D|A)p(A)+p(D|B)p(B)+p(D|C)p(C)=0.950.5+0.900.3+0.850.2=0.915故答案为：0.915【点睛】本题考查随机事件的概率，条件概率的概念及概率公式，属于基础题.15. 已知函数设函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先将方程 变形为,根据数形结合思想,与必须有两个交点,即可求出的范围.【详解】函数有4个不同的零点，即为有4个不等实根，作出的图象，可得时，与的图象有4个交点.故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键在于把问题转化为即为有4个不等实根和根据分段函数作出的图像，难度属于中档题16. 已知抛物线
11、的焦点为，为抛物线上的动点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设点在准线上射影为，由抛物线的定义把问题转化为求的最小值，同时可推断出当D，P，A三点共线时，最小，答案可得【详解】设点A在准线上的射影为D，在抛物线内部，由抛物线的定义可知，抛物线，要求的最小值，即求的最小值，只有当D，P，A三点共线时，最小，且最小值为（准线方程为）.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线知识的应用，解题关键是根据抛物线的定义将求的最小值的问题转化为求的最小值的问题，考查逻辑思维能力和转化能力，属于中档题.三、解答题（共6题，70分）17. 已知公差不为零的等差数列中，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2
12、）设，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等比中项可得，根据等差数列的通项公式可得基本量，从而可得数列的通项公式；（2）根据等比数列和等差数列的前项和公式分组求和可得答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，成等比数列所以，所以，即，解得或（舍），所以.（2）,。【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列的基本量的计算，考查了等差、等比数列的前项和公式，考查了分组求和，属于中档题.18. 分别为的内角的对边.已知.（1）若，求；（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将，化角为边，即可求
13、出，再利用正弦定理即可求出；（2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大，结合（1）中条件，即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长【详解】（1）由，得，即.因为，所以.由，得.（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立.因为的面积.所以当时，的面积取得最大值，此时，则，所以的周长为.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力19. 如图在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的大小.【答案】(1)见解析(2)
14、见解析（3）【解析】试题分析：（1）为平行四边形，连结，为中点，为中点，由三角形中位线定理可得,利用线面平行的判定定理可得结论；（2）利用面面垂直的性质可得，三角形为等腰直角三角形，可得；从而可得面，根据面面垂直的判定定理可得结果 ；（3）直线与平面所成角即为直线与平面所成角即，又，故所求角为.试题解析：（1）证明：为平行四边形，连结，为中点，为中点，在中且平面，平面，平面.（2）证明：因为面面，平面面，为正方形，平面，所以平面，又，所以是等腰直角三角形，且即，且、面，面，又面，面面.（3）直线与平面所成角即为直线与平面所成角即，又，故所求角为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线
15、和平面成的角的定义及求法、面面垂直的判定与性质，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的.20. 已知函数.（1）求函数在上的最大值；（2）证明：当时，.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数得到单调性，确定，进而可得结果；（2）将所证不等式转化为证明，构造函数，利用导数可证得，从而得到结论
16、.【详解】（1），当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，.（2）要证，只需证，只需证：.令，则， 当时，在上恒成立，在上单调递增，即当时，恒成立，则原命题得证，当时，.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，解题关键是能够通过分析法将所证不等式进行等价转化，从而构造新函数，利用导数求得新函数的最值使得结论得证.21. 已知椭圆的左，右焦点分别为，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若，四边形ABCD内接于椭圆E，记直线AD，BC的斜率分别为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】分析】（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知
17、，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，求出，即可得答案；（2）根据题意可知，因为，所以可设直线CD的方程为.将斜率用C,D的横坐标进行表示，再整体消元，即可得答案；【详解】（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值.所以，所以，故椭圆E的标准方程为.（2）根据题意可知，因为，所以可设直线CD的方程为.由，消去y可得，所以，即.直线AD的斜率，直线BC的斜率，所以，故为定值.【点睛】利用待定系数法求椭圆的方程；设出点的坐标和直线方程，再将斜率用直线方程中的某个变量进行表示，最后利用整体消元是求解定值问题的常见思路.22. 已知.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间（2）求出，它是二次函数，由其最小值即可得的范围【详解】(1)，令，则，同理由得，在单调递减，在单调递增(2)，由于，当x = 1时，【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，解题时一般由得增区间，由得减区间不等式恒成立问题，要注意转化为求函数的最值：不等式恒成立，恒成立