1、1(2014新课标全国卷)如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形证明：(1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，所以DCBE.由已知，得CBEE，故DE.(2)设BC的中点为N，连接MN，如图，则由MB MC知，MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形2(2014郑州质检)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长
2、线交于点E，点F在BA的延长线上(1)若，1，求的值；(2)若EF2FAFB，证明：EFCD.解：(1)A，B，C，D四点共圆，EDCEBF，又AEB为公共角，ECDEAB，.2.(2)证明：EF2FAFB，又EFABFE，FAEFEB，FEAEBF，又A，B，C，D四点共圆，EDCEBF，FEAEDC，EFCD.3(2014海口调研)如图，直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB，O交直线OB于E，D，连接EC，CD.(1)求证：直线AB是O的切线；(2)若tan CED，O的半径为3，求OA的长解：(1)证明：如图，连接OC，OAOB，CACB，OCAB.OC是圆的半径，直线AB是O
3、的切线(2)由(1)知，直线AB是O的切线，BCDE，又CBDEBC，BCDBEC，BC2BDBE，tan CED，BCDBEC，设BDx，则BC2x，BC2BDBE，(2x)2x(x6)，BD2，OAOBBDOD235.4.(2014云南统检)如图，P是O的直径AB延长线上的一点，割线PCD交O于C，D两点，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，CF与AB交于点E.(1)求证：PAPBPOPE；(2)若DECF，P15，O的半径等于2，求弦CF的长解：(1)证明：如图，连接OD.AB是O的直径，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，C在O上，DOADCF，PODPCE.又DPOEPC，PDOPEC，即P
4、DPCPOPE.由割线定理，得PAPBPDPC，PAPBPOPE.(2)由已知，直径AB是弦DF的垂直平分线，EDEF，DEHFEH.DECF，DEHFEH45.由PECFEH45，P15，得DCF60.由DOADCF，得DOA60.在RtDHO中，OD2，DHODsin DOH，DEEF，CE，CFCEEF.5(2014哈师附中、东北师大附中、辽宁实验中学联合模拟)如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB(不包括端点)上一点， 直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且DAQPBC.求证：(1)；(2)ADQDBQ.证明：(1)由题知，PBCPDB，所以，同理.又因为PA
5、PB，所以，即.(2)如图，连接AB.因为BACPBCDAQ，ABCADQ，所以ABCADQ，即，故，又因为DAQPBCBDQ，所以ADQDBQ.6(2014昆明调研)如图所示，已知D为ABC的BC边上一点，O1经过点B，D，交AB于另一点E，O2经过点C，D，交AC于另一点F，O1与O2的另一交点为G.(1)求证：A，E，G，F四点共圆；(2)若AG切O2于G，求证：AEFACG.证明：(1)如图，连接GD，四边形BDGE，CDGF分别内接于O1，O2，AEGBDG，AFGCDG，又BDGCDG180，AEGAFG180，A，E，G，F四点共圆(2)A，E，G，F四点共圆，AEFAGF，AG
6、与O2相切于点G，AGFACG，AEFACG.7.如图，在圆的内接四边形ABCD中，AD为圆的直径，对角线AC与BD交于点Q，AB，DC的延长线交于点P，连接PQ并延长交AD于点E，连接EB.求证：(1)PEAD；(2)BD平分EBC.证明：(1)由已知AD为直径，所以ABDACD90，所以点Q为PAD的垂心则PE为AD边上的高，即PEAD.(2)由(1)知，PBDPED90，因而P，B，E，D四点共圆，则AEBBPC，又PCBDAB，所以AEBCPB，所以EBACBP，所以EBDCBD，即BD平分EBC.8(2014石家庄一模)已知O1和O2相交于A，B两点，过A点作O1的切线交O2于点E，
7、连接EB并延长交O1于点C，直线CA交O2于点D.(1)当点D与点A不重合时，如图(1)，证明：ED2EBEC；(2)当点D与点A重合时，如图(2)，若BC2，BE6，求O2的直径的长解：(1)证明：连接AB，在EA的延长线上取点F，如图(1)所示AE是O1的切线，切点为A，FACABC，FACDAE，ABCDAE，ABC是O2内接四边形ABED的外角，ABCADE，DAEADE，EAED.EA2EBEC，ED2EBEC.(2)当点D与点A重合时，直线CA与O2只有一个公共点，故直线CA与O2相切在EA的延长线上取点P，在CA的延长线上取点M，连接AB，如图(2)所示，由弦切角定理知，PACABC，MAEABE，又PACMAE，ABCABE18090，AC与AE分别为O1和O2的直径由切割线定理知，EA2BECE，而CB2，BE6，CE8，EA26848，AE4，O2的直径的长为4.