1、提能专训(十四)点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1(2014湖南十三校联考)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A与相交，且交线平行于l B与相交，且交线垂直于lC，且l D，且l答案A解析m，n，且m，n为异面直线，与一定相交又lm，ln，l，l，l平行于平面与的交线故A正确2(2014河南六市联考)m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()若m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线；已知，互相垂直，m，n互相垂直，若m，则n；m，n在平面内的射影互相垂直，则m，n互相垂
2、直A B C D答案A解析由空间中直线与平面的位置关系的性质，可知错误，正确，故选A.3(2014福建质检)如图，AB是O的直径，VA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()AMNAB BMN与BC所成的角为45COC平面VAC D平面VAC平面VBC答案D解析依题意，得BCAC，VA平面ABC，BC平面ABC，VABC，ACVAA，BC平面VAC，又BC平面VBC，平面VAC平面VBC.4(2014厦门5月适应性考试)如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是()ADC1D1P
3、 B平面D1A1P平面A1APCAPD1的最大值为90 DAPPD1的最小值为答案C解析因为DC1平面A1BCD1，D1P平面A1BCD1，所以DC1D1P，所以A是正确的；因为D1A1平面ABB1A1，D1A1平面D1A1P，所以平面D1A1P平面ABB1A1，即平面D1A1P平面A1AP，所以B是正确的；当0A1P时，APD1为钝角，所以C是错误的；将平面AA1B与平面A1BCD1沿A1B展开成平面图形，线段AD1的长即为APPD1的最小值，解三角形易得AD1，所以D是正确的故选C.5(2014济南期末考试)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若，m，则m；若m，n
4、，且mn，则；若m，m，则；若m，n，且mn，则.其中正确命题的序号是()A B C D答案B解析当，m时，有m，m，m等多种可能情况，所以不正确；当m，n，且mn时，由平面垂直的判定定理知，所以正确；因为m，m，所以，正确；若m，n，且mn，则或，相交，不正确故选B.6(2014北京海淀区模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，BDACO，M是线段D1O上的动点，过点M作平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为()A. B.C. D1答案B解析连接B1D1，AN，则N在B1D1上设MNx.在正方体ABCDA1B1C1D1中可求得sinB1D
5、1O，则在RtD1MN中，D1Nx.又由正方体的性质知AD1N，于是在AD1N中，由余弦定理，得|AN|，所以当x时，|AN|取得最小值，故选B.7(2014河南联考)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是()A. B.C. D，答案B解析如图所示，取B1C1的中点N，BB1的中点M，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN平面AEF，所以点P位于线段MN上，且有A1MA1N，MN，所以当点P位于点M或N处时，A1P最大，当P位于MN的中点O时，A1P最小，此时A
6、1O，所以A1OA1PA1M，即A1P，所以线段A1P长度的取值范围是，故选B.8(2014南昌模拟)在三棱锥CABD中(如图)，ABD与CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB4，二面角ABDC的大小为60，并给出下面结论：ACBD；ADCO；AOC为正三角形；cos ADC；四面体ABCD的外接球的表面积为32.其中真命题是()A B C D答案D解析由题意知，BCCDADAB，且BCCD，BAAD.因为O是斜边BD的中点，所以OCBD，OABD，且OCOABD，所以AOC是二面角ABDC的一个平面角，所以AOC60，所以AOC是正三角形，即正确而OCOAO，所以BD平面AO
7、C，所以BDAC，即正确若ADCO，则由COBD可得CO平面ABD，所以COOA，这与AOC60矛盾，所以不正确因为ABCDAD4，AC2，所以cos ADC，所以不正确因为OBOCOAOD，所以O是四面体ABCD的外接球的球心，外接球的表面积为4(2)232，即正确综上所述，真命题是.9(2014北京西城区期末)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面，记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y，设BPx，则当x1,5时，函数yf(x)的值域为()A2，6 B2，18 C3，18 D3，6答案D解析当点P从点B向D1运动时，截面的周
8、长y越来越大，当截面经过平面AB1C时，周长最大，当点P继续移动时，在截面AB1C到截面A1DC1之间，截面周长不变，当点P继续移动时，截面周长越来越小，所以截面周长的最大值就是AB1C的周长因为正方体的棱长为2，所以AC2，即周长为6.当x1时，截面的周长最小，如图，设EFG的边长为，BF2BE2EF2，又BFBE，所以BE，连接EP交FG于点M，连接BM，因为P是等边三角形EFG的中心，所以FM，所以EM2EF2FM22，因为EPEM，所以EP.又BP2EP2BE2，即1222，得y3，所以值域为3，6(或由平面AB1C平面FEG，BP1可知E，F，G分别是BB1，AB，BC的中点，则EF
9、G的周长为AB1C的一半，即3)10在ABC中，C90，B30，AC1，M为AB的中点，将ACM沿CM折起，使A，B间的距离为，如图所示，则M到平面ABC的距离为()A. B. C1 D.答案A解析由题意知MBMAMC1，所以点M在底面的投影为底面三角形的外心，又AB，AC1，BC，所以底面三角形的外心为斜边BC的中点设BC的中点为D，连接MD，则MD为M到平面ABC的距离，在MBD中，MBC30，MDBC，所以MDMB，故选A.二、填空题11(2014长春调研)已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12，则该三棱柱的体积为_答案3解
10、析设外接球半径为R，上、下底面中心设为M，N(其中上底面为ABC)，由题意，外接球球心为MN的中点，设为O，连接OA，AM，则OAR，由4R212得ROA，又易得AM，由勾股定理可知OM1，所以MN2，即棱柱的高h2，所以该三棱柱的体积为()223.12(2014上海徐汇、金山、松江二模)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_答案解析由于ACA1C1，所以BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角在BA1C1中，A1B，A1C11，BC1，cos BA1C1.13(2014吉林高中毕业班复习检测)下列命题中正确的是_
11、(填上你认为正确的所有命题的序号)空间中三个平面，若，则；若a，b，c为三条两两异面的直线，则存在无数条直线与a，b，c都相交；球O与棱长为a的正四面体各面都相切，则该球的表面积为a2；三棱锥PABC中，PABC，PBAC，则PCAB.答案解析中也可以；过其中一条直线作平面，与其他两条直线相交，只要连接两个交点的直线不与平面中的那条直线平行，便会相交这样的情况有无数种；中可得球的半径为ra；中由PABC，PBAC得点P在底面ABC的投影为ABC的垂心，故PCAB.三、解答题14(2014郑州质检)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1，AA1，D为AA1的中点，BD与AB
12、1交于点O，CO侧面ABB1A1.(1)证明：BCAB1；(2)若OCOA，求三棱锥C1ABC的体积解：(1)证明：AB1，AA1，D为AA1的中点，AD，BD，AB1.易知AODB1OB.，ODBD，AOAB1.AO2OD2AD2，AB1BD.又CO平面ABB1A1，COAB1.又COBDO.AB1平面CBD.又BC平面CBD，BCAB1.(2)OCOA，且A1C1平面ABC，VC1ABCVA1ABCVCABA1SABA1OC1.15(2014安徽六校教育研究会联考)等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足(如图)将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1D
13、EB为直二面角，连接A1B，A1C(如图)(1)求证：A1D平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60？若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为等边ABC的边长为3，且，所以AD1，AE2.在ADE中，DAE60，由余弦定理，得DE.因为AD2DE2AE2，所以ADDE.折叠后有A1DDE，因为二面角A1DEB是直二面角，所以平面A1DE平面BCED，又平面A1DE平面BCEDDE，A1D平面A1DE，A1DDE，所以A1D平面BCED.(2)假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60，如图，作PHBD于
14、点H，连接A1H，A1P，由(1)知，A1D平面BCED，而PH平面BCED，所以A1DPH，又A1DBDD，所以PH平面A1BD，所以PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，设PBx(0x3)，则BH，PHx，在RtPA1H中，PA1H60，所以A1Hx，在RtA1DH中，A1D1，DH2x，由A1D2DH2A1H2，得1222，解得x，满足0x3，符合题意，所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60，此时PB.16(2014潍坊联考)如图，在几何体ABCA1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且ABBC，E为AB1中点，ABAA
15、1BB12CC1.求证(1)CE平面A1B1C1；(2)平面AB1C1平面A1BC.证明：(1)由题知AA1平面ABC，BB1平面ABC，CC1平面ABC，AA1BB1CC1.如图，取A1B1中点F，连接EF，FC1.E为AB1中点，EF綊A1A，又AA12CC1，CC1綊AA1，EE綊CC1，四边形EFC1C为平行四边形，CEC1F，又CE平面A1B1C1，C1F平面A1B1C1，CE平面A1B1C1.(2)BB1平面ABC，BB1BC，又ABBC，ABBB1B，BC平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，BCAB1，AA1BB1AB，AA1BB1，四边形AA1B1B为正方形，AB1A1B
16、，A1BBCB，AB1平面A1BC，AB1平面AB1C1，平面AB1C1平面A1BC17(2014天津五区县联考)如图，底面为直角梯形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，E为A1B1的中点，且ABE为等腰直角三角形，ABCD，ABBC，AB2CD2BC.(1)求证：ABDE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3)线段EA上是否存在点F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，请说明理由解：(1)证明：取AB中点O，连接EO，DO.因为EBEA，所以EOAB.因为四边形ABCD为直角梯形，AB2CD2BC，ABBC，所以四边形OBCD为正方形，所以ABOD.
17、又EO，OD为平面EOD内的两条相交直线，所以AB平面EOD.因为ED平面EOD，所以ABED.(2)因为AA1平面ABCD，且EOAA1，所以EO平面ABCD，所以EOOD.由OD，OA，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为EAB为等腰直角三角形，所以OAOBODOE，设OB1，则O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0，1,0)，C(1，1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)所以(1，1，1)，平面ABE的一个法向量为(1,0,0)设直线EC与平面ABE所成的角为，所以sin |cos，|，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.(3)存在点F，且时，有EC平面FBD.证明如下：因为，F，所以，(1,1,0)设平面FBD的法向量为(a，b，c)，则有所以取a1，得(1，1,2)因为(1，1，1)(1，1,2)0，即；又因为EC平面FBD，所以EC平面FBD.因此当点F满足时，有EC平面FBD.