1、提能专训(十三)空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1(2014南阳模拟)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()答案C解析由题中侧视图知，有一侧棱垂直底面，有一侧看不到，应画为虚线，因此应选C.2(2014江西师大附中模拟)已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为()A. B. C1 D.答案B解析由题中主视图和俯视图知，该三棱锥如图所示，其侧视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形故它的面积为1.3(2014凉山二诊)如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角
2、三角形，其直角边均为1，则该几何体的表面积是()A1 B22 C. D2答案D解析由题中三视图知，该几何体是四棱锥，如图所示，其底面是边长为1的正方形，高为1，且高为1的侧棱垂直底面如图，其表面积S12.4(2014山西四校四联)已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是()A6 B12 C18 D24答案C解析此三棱柱为正三棱柱，体积为的球体半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2，底面正三角形中心到三角形边的距离为1，故可得到三角形的高是3，三角形边长是2，所以三棱柱的表面积为2(2)232218.5(2014绵阳二诊)一
3、个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为()A8 B8 C8 D8答案A解析由三视图可知，该零件的下部是一个棱长为2的正方体，上部是一个半径为1的球的，所以其体积V238，故选A.6(2014南充一模)一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是()A2 B2 C. D2答案D解析由题中三视图可知，该四面体为DBD1C1，由直观图可知，面积最大的面为BDC1.在正三角形BDC1中，BD2，所以面积S(2)22，故选D.7(2014唐山统考)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，ABAC，侧面BCC1B1
4、是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A2 B1 C. D.答案C解析由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，BAC90，ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理A1B1C1的外心M是B1C1的中点设正方形BCC1B1的边长为x，在RtOMC1中，OM，MC1，OC1R1(R为球的半径)，221，即x，则ABAC1，S矩形ABB1A11.8(2014南昌一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为()A1 B. C. D.答案D解析由题中三视图可知，该几何体为三棱锥，设此三棱锥的高为x，则主视图中的长为，所以所求体积Vx，当且仅当x，即x时
5、取等号，所以该几何体的体积的最大值为.9(2014湖南六校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为()A4 B12 C2 D4答案A解析由题中三视图可知，该几何体是一个底面为等腰直角三角形，腰为2，有一侧棱垂直于底面的三棱锥，且此侧棱长为2，此三棱锥恰为棱长为2的正方体切割而成，三棱锥的四个顶点恰为此正方体的顶点，故正方体的外接球就是此三棱锥的外接球，半径R为正方体的体对角线长的，R，所以其外接球的体积为VR34.10(2014石家庄调研)已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若点O到该截面的距离是球半径的一半，且ABBC2，B120，则球O的表面积为()A. B. C
6、4 D.答案A解析AC2，设ABC所在截面圆半径为r，则2r4，即r2，d，而d2r2R2，即24R2，解得R2，所以S球4R24.二、填空题11(2014长春二模)用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋(视为球体)放在其上(如图)，则鸡蛋中心(球心)与蛋托底面的距离为_答案解析由题意可知蛋托的高为，且折起的三个小三角形顶点连线构成边长为1的等边三角形，鸡蛋中心到此等边三角形所在平面的距离d，所以鸡蛋中心与蛋托底面的距离为.12(2014陕西质检)已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为_答案解析由题
7、中三视图知，该几何体为组合体，上面为三棱锥，下面为直三棱柱，共同底面为等腰直角三角形且腰长为2，三棱锥和三棱柱的高都为2，则体积V222222.13(2014石家庄一模)在三棱锥PABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3,4,5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为_答案50解析侧棱PA，PB，PC两两垂直，过点P和Q的所有球中，表面积最小的球是以PQ为体对角线，长、宽、高分别是4,3,5的长方体的外接球，此球的表面积是50.14(2014南京、盐城一模)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，侧
8、棱PA底面ABCD，PA2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为_答案解析显然PA平面BCE，底面BCE的面积为12sin 120，所以VPBCE2.15(2014安徽模拟)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AB，CD上，若EF2，现有以下五种说法：四面体PEFQ的体积与点P，Q的位置无关；EFQ的面积为定值；四面体PEFQ的体积与点P的位置有关，与点Q的位置无关；四面体PEFQ的体积为正方体体积的；点P到平面EFQ的距离随着P的变化而变化其中正确的序号是_答案解析由题意，EFQ的高始终为定值，即矩形A1B1CD的宽4，又EF2，故其面积为定值244，故正确；又AB平面A1B1CD，故点P到EFQ的距离为定值，故错误；连接B1C与BC1交于点O，则OB即为点P到EFQ的距离，为2，四面体PEFQ的体积为定值42，故正确，错误；体积之比为，故正确16(2014德州二模)一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是_答案8解析观察题中三视图可知，该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体，圆锥底面半径为2，四棱锥底面边长分别为3,4，它们的高均为2，所以该几何体体积为2224328.
