1、专题5.3 平面向量的数量积及其应用【考情分析】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。【重点知识梳理】知识点一 向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是0180或ab，90ab 知识点二 平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数
2、量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积知识点三 向量数量积的运算律交换律abba分配律(ab)cacbc数乘结合律(a)b(ab)a(b)知识点四 平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2| 知识点五 必备结论1平面向量数量积运算
3、的常用公式：(1)(ab)(ab)a2b2；(2) (ab)2a22abb2.2有关向量夹角的两个结论：(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立)(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab0，反之不成立(因为a与b夹角为时不成立)【典型题分析】高频考点一 平面向量的数量积【例1】【2020全国卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】如图，的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，【变式探究
4、】(2019全国卷)已知(2，3)，(3，t)，|1，则()A3 B2C2 D3【答案】C【解析】因为(1，t3)，所以|1，解得t3，所以(1，0)，所以21302，故选C.【举一反三】 (2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4B.3C2 D0【答案】B【解析】a(2ab)2a2ab2|a|2ab.|a|1，ab1，原式21213.【方法技巧】求非零向量a，b的数量积的方法技巧直接法若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算几何法根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知
5、的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解坐标法若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解【变式探究】 (2018天津卷)在如图的平面图形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，则的值为()A.15 B.9 C.6 D.0【答案】C【解析】连接OA.在ABC中，333()3()3()，3()3(2)3(21cos 12012)3(2)6.高频考点二 求平面向量的模【例2】【2020全国卷】设为单位向量，且，则_.【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以，解得：，所以，【方法技巧】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|
6、及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【变式探究】(2019全国卷)已知向量a(2,3)，b(3,2)，则|ab|()A. B2 C5 D50【答案】A【解析】法一：a(2,3)，b(3,2)，ab(1,1)，|ab|，故选A.法二：a(2,3)，b(3,2)，|a|213，|b|213，ab12，则|ab|.故选A.高频考点三 求向量的夹角【例3】
7、【2020全国III卷】已知向量a，b满足，则A B C D 【答案】D【解析】，.，因此，.【举一反三】(2019高考全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c_【解析】法一：|a|b|1，ab0，aca(2ab)2a2ab2，|c|2ab|3.cosa，c.法二：不妨设a(1，0)，b(0，1)，则c2(1，0)(0，1)(2，)，cosa，c.【答案】 【方法技巧】求向量的夹角，有两种方法：(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ab及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos 求得(2)公式法：若已知a(x1，y1)与b(x2，y2)，则c
8、osa，b，a，b0，【变式探究】(2019全国卷) 已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B.C. D.【答案】B【解析】法一：因为(ab)b，所以(ab)bab|b|20，又因为|a|2|b|，所以2|b|2cosa，b|b|20，即cosa，b，又知a，b0，所以a，b，故选B.法二：如图，令a，b，则ab，因为(ab)b，所以OBA90，又|a|2|b|，所以AOB，即a，b.故选B.高频考点四 平面向量的垂直【例4】【2020全国卷】设向量，若，则 .【答案】5【解析】由可得，又因为，所以，即，【方法技巧】平面向量的垂直问题，有两个类型：(1)
9、利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数【变式探究】(2018北京卷)设向量a(1，0)，b(1，m).若a(mab)，则m_.【解析】(1)a(1，0)，b(1，m)，a21，ab1，由a(mab)得a(mab)0，即ma2ab0.m(1)0，m1.【答案】1高频考点五 平面向量的应用【例5】【2020江苏卷】在ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若
10、（m为常数），则CD的长度是 【答案】【解析】三点共线，可设，即，若且，则三点共线，即，,，设，则，.根据余弦定理可得，解得，的长度为.当时， ，重合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.【方法技巧】用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知，模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法【变式探究】（2020河南师范大学附中模拟）平行四边形ABCD中，AB4，AD2，4，点P在边CD上，则的取值范围是()A1,8B1，)C0,8 D1,0【答案】A【解析】由题意得|cosBAD4，解得BAD.以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(4,0)，C(5，)，D(1，)，因为点P在边CD上，所以不妨设点P的坐标为(a，)(1a5)，则(a，)(4a，)a24a3(a2)21，则当a2时，取得最小值1；当a5时，取得最大值8，故选A。
