1、第六章 数 列第三节 等比数列及其前n项和栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.等比数列的基本运算，等比数列的判断与证明，等比数列的性质与应用仍是 2021 年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为 512 分.1.数学运算2.逻辑推理 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1等比数列的有关概念(1)定义文字语言：从 1 _起，每一项与它的前一项的 2 _都等于 3 _一个常数符号语言：4 _(nN*，q 为非零常数)第2项
2、比同an1an q(2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么 5 _叫做 a 与 b 的等比中项即：G 是 a 与 b 的等比中项a，G，b 成等比数列G2 6 _Gab2等比数列的有关公式(1)通项公式：an 7 _(2)前 n 项和公式a1qn13等比数列的性质(1)通项公式的推广：anamqnm(m，nN*)(2)对任意的正整数 m，n，p，q，若 mnpq，则 11 _ 12 _特别地，若 mn2p，则 amana2p.(3)若等比数列前 n 项和为 Sn，则 Sm，S2mSm，S3mS2m 仍成等比数列，即(S2mSm)2 13 _(mN*，公比 q1)(4)数列an是等比数
3、列，则数列pan(p0，p 是常数)也是 14 _数列(5)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为 15 _amanapaqSm(S3mS2m)等比qk常用结论 1若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，1an，a2n，anbn，anbn仍是等比数列 2一个等比数列各项的 k 次幂仍组成一个等比数列，新公比是原公比的 k 次幂 3an为等比数列，若 a1a2anTn，则 Tn，T2nTn，T3nT2n，成等比数列 4当 q0 且 q1 时，Snkkqn(k0)是an成等比数列的充要条件，这时 k a11q.5有穷
4、等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方 基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列()(2)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2ac.()(3)满足 an1qan(nN*，q 为常数)的数列an为等比数列()(4)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(5)等比数列中不存在数值为 0 的项()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修 5P53A1(2)改编)已知an是等比数列，a22，
5、a514，则公比 q 等于()A12B2C2D12答案：D3(必修 5P54A8 改编)在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_答案：27，81三、易错自纠4已知数列an的前 n 项和为 Snan1(a 是不为 0 的实数)，则an()A一定是等比数列B一定是等差数列C是等差数列或是等比数列D既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：选 C 当 a1 时，an的各项都为 0，则这个数列是等差数列，但不是等比数列；当 a1 时，由 Snan1 知，an是等比数列，但不是等差数列，故选 C5设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S23，S415，则 S6
6、()A31B32C63D64解析：选 C 由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即 1223(S615)，解得 S663.6设an是公比为正数的等比数列，Sn 为an的前 n 项和，若 a11，a516，则数列an的前 7 项和为_解析：设等比数列an的公比为 q(q0)，由 a5a1q416，a11，得 q416，解得 q2，所以 S7a1（1q7）1q1（127）12127.答案：127课 堂 考 点 突 破2考点一 等比数列基本量的计算|题组突破|1(2019 年全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且 a53a34a1，则 a3()A16B8C4D
7、2解析：选 C 设等比数列an的公比为 q，由 a53a34a1 得 q43q24，得 q24，又数列an的各项均为正数，所以 q2.又 a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15，所以 a11，所以 a3a1q24.2(2019 年全国卷)记 Sn 为等比数列an的前 n 项和若 a113，a24a6，则 S5_解析：解法一：设等比数列an的公比为 q，因为 a24a6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1.又 a113，所以 q3，所以 S5a1（1q5）1q13（135）131213.解法二：设等比数列an的公比为 q，因为 a24a6，所以 a2a6a6，所以 a21
8、.又 a113，所以 q3，所以 S5a1（1q5）1q13（135）131213.答案：12133(2019 年全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216.(1)求an的通项公式；(2)设 bnlog2an，求数列bn的前 n 项和解：(1)设等比数列an的公比为 q，由题设得 2q24q16，即 q22q80，解得q2(舍去)或 q4.因此an的通项公式为 an24n122n1.(2)由(1)得，bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前 n 项和 Sn132n1n（12n1）2n2.名师点津等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一
9、类基本问题，等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解(2)等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q1 时，an的前 n 项和Snna1；当 q1 时，an的前 n 项和 Sna1（1qn）1qa1anq1q.考点二 等比数列性质的应用|题组突破|4(2019 届福州市质检)等比数列an的各项均为正实数，其前 n 项和为 Sn.若 a34，a2a664，则 S5()A32B31C64D63解析：选 B 解法一：设首项为 a1，公比为 q，因为 an0，所以 q0，由条件得a1q24，a1qa1q564，解得a11，q2，
10、所以 S512512 31，故选 B解法二：设首项为 a1，公比为 q，因为 an0，所以 q0，由 a2a6a2464，得 a48，又 a34，所以 q2，a11，所以 S512512 31，故选 B5(2020 届贵阳摸底)若等比数列an的各项均为正数，a5a6a4a718，则 log3a1log3a2log3a10()A12B10C8D2log35解析：选 B 由等比数列的性质知，a5a6a4a72a5a618，所以 a5a69，所以 log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log39510.故选 B6(2020 届陕西摸底)在等比数列an中，若 an0，a2a4
11、1，a1a2a37，则公比 q()A14B12C2D4解析：选 B 解法一：由题意得 q0，a10，因为a2a41，a1a2a37，所以a1qa1q31，a1a1qa1q27，解得a14，q12，故选 B解法二：由等比数列的性质得 a23a2a41，结合 an0，得 a31.由 a1a2a37，得a3q2a3q a37，则 1q21q6，结合 q0，得 q12，故选 B名师点津等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类(1)通项公式的变形(2)等比中项的变形(3)前 n 项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口考点 等比数列的判定与证明【例】(
12、2019 届广州市调研测试)设 Sn 为数列an的前 n 项和，已知 a37，an2an1a22(n2)(1)证明：数列an1为等比数列；(2)求数列an的通项公式，并判断 n，an，Sn 是否成等差数列？解(1)证明：a37，a33a22，a23，an2an11，a11.又 an1an112an12an11 2(n2)，且 a112，数列an1是首项为 2，公比为 2 的等比数列(2)由(1)知，an12n，an2n1，Sn2（12n）12n2n1n2，nSn2ann(2n1n2)2(2n1)0，nSn2an，即 n，an，Sn 成等差数列名师点津等比数列的判定方法(1)定义法：若an1an
13、 q(q 为非零常数)或 anan1q(q 为非零常数且 n2)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中 an0 且 a2n1anan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成 ancqn1(c，q 均为不为 0 的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前 n 项和公式法：若数列an的前 n 项和 Snkqnk(k 为常数且 k0，q0，1)，则an是等比数列提醒(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可|跟踪训练|(2020 届大
14、同调研)在数列an中，a13，an2an1n2(n2，且 nN*)(1)求 a2 和 a3 的值；(2)证明：数列ann是等比数列，并求an的通项公式；(3)求数列an的前 n 项和 Sn.解：(1)a13，an2an1n2，a22a1226，a32a23213.(2)证明：an2an1n2，n2，ann2(an1n1)，n2.又 a114，ann是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，ann42n12n1，an2n1n.(3)由(2)得 an2n1n，Sn2212322n(n1)2n1n2212n12 n2n22n2n2n82.考点 数学文化中等比数列的应用问题【例】(2019 届南宁二中、
15、柳州高中第二次联考)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还意思是：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，则此人第五天走的路程为()A48 里B24 里C12 里D6 里解析 由题意知，该人每天走的路程数构成公比为12的等比数列，记为an，设其前 n 项和为 Sn，由 S6378，得a11126112378，解得 a1192，所以 a5192 12412(里)，故选 C 答案 C名师点津求解等比数列应用问题的关键是建立等比数
16、列模型|跟踪训练|(2019 届安徽池州模拟)在增删算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”意思是：某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程，则下列说法错误的是()A此人第二天走了九十六里路B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C此人第三天走的路程占全程的18D此人后三天共走了四十二里路解析：选 C 记每天走的路程里数为 an(n1，2，3，6)，由题意知an是公比为12的等比数列，由 S6378，得a11 126112378，解得 a1192，所以 a21921296，故 A 正确；此人第一天走的路程比后五天走的路程多 192(378192)6(里)，故 B 正确；a31921448，4837818，故 C 不正确；前 3 天走的路程为 1929648336(里)，则后 3 天走的路程为 37833642(里)，故 D 正确故选 C点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS