1、专题（03）运动图象 追及相遇问题考点一 1xt图象与vt图象的比较xt图象vt图象图象举例意义倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动特别处两条图线的交点表示相遇图线与时间轴所围面积表示位移运动情况甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动位移0t1时间内甲、乙位移相等0t2时间内丁的位移大于丙的位移平均速度0t1时间内甲、乙平均速度相等0t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度2.三点说明(1)xt图象与vt图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹(2)分析图象要充分利用图
2、象与其所对应的物理量的函数关系(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点题型1位移时间图象【典例1】(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示下列说法正确的是()A在t1时刻两车速度相等B从0到t1时间内，两车走过的路程相等C从t1到t2时间内，两车走过的路程相等D在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等【答案】CD【解析】xt图象的斜率表示速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，A项错误；由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离
3、，B项错误；t1和t2时刻两图线都相交，表明两车在两个时刻均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等，在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，该时刻两车速度相等，C、D项正确【变式1】a、b、c三个物体在同一条直线上运动，它们的位移时间图象如图所示，其中a是一条顶点坐标为(0,10)的抛物线，下列说法正确的是 ()Ab、c两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同B在05 s内，a、b两个物体间的距离逐渐变大C物体c的速度越来越大D物体a的加速度为0.4 m/s2【答案】B【解析】xt图象的斜率表示速度，b和c为直线，斜率恒定，b、c做匀速直线运动，但斜率正负不同，即速度方向
4、不同，A、C错误；t0时刻，a、b在同一位置，a的切线的斜率为正，即速度为正，b的斜率为负，即速度为负，所以两者反向运动，故两物体间的距离越来越大，B正确；因为a是一条抛物线，即满足xx0kt2，可知物体a做匀加速直线运动，因为抛物线经过(0,10)点和(5,20)点，故x100.4t2，所以a0.4，a0.8 m/s2，D错误【提 分 笔 记】应用xt图象解题的六个关键点轴线斜率交点面积截距xt图象纵轴位 移横轴时 间运动物体的位移与时间的关系过某点直线(或切线)的斜率表示该时刻的瞬时速度两线交点表示两物体相 遇无实际意义在纵轴上的截距表示t0时的位移题型2速度时间图象【典例2】甲、乙两物体
5、从同一地点开始沿同一方向运动，其速度随时间的变化关系如图所示图中t2，两段曲线均为四分之一圆弧，则下列说法正确的是()A两物体在t1时刻加速度相同B两物体在t2时刻运动方向均改变C两物体在t3时刻相距最远，t4时刻相遇D0t4时间内甲物体的平均速度大于乙物体的平均速度【答案】C【解析】 因两段曲线均为四分之一圆弧，由题图知在t1时刻曲线的切线斜率的绝对值与直线斜率相等，即两者加速度大小相等，但方向相反，A项错误；两物体均做单方向的直线运动，B项错误；甲先做匀加速运动再做匀减速运动，乙先做加速度减小的减速运动，再做加速度减小的加速运动，在t3时刻，两物体相距最远，两物体在0t4时间内图线与t轴所
6、围面积相等，即两物体在t4时刻相遇，在0t4时间内的平均速度相同，C项正确，D项错误【变式2】(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示已知两车在t2时刻并排行驶下列说法正确的是()A两车在t1时刻也并排行驶B在t1时刻甲车在后，乙车在前C甲车的加速度大小先增大后减小D乙车的加速度大小先减小后增大【答案】BD【解析】t1t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；由题图图象的斜率知，甲、乙两车的加速度均先减小后增大，C项错误，D项正确【提 分 笔 记】应用vt图象解题的六个关键点轴线斜率交
7、点面积截距vt图象纵轴速 度横轴时 间运动物体的速度与时间的关系过某点直线(或切线)的斜率表示该时刻的加速度两线交点表示两物体该时刻速度相同图线和t轴所围面积表示物体运动的位移在纵轴上的截 距表示t0时的速 度题型3加速度时间图象【典例3】某同学在开展研究性学习的过程中，利用加速度传感器研究某一物体以初速度2 m/s做直线运动的加速度a随时间t变化的规律，并在计算机上得到了前4 s 内物体加速度随时间变化的关系图象，如图所示以物体的初速度方向为正方向，则下列说法正确的是()A物体在1 s末速度方向改变B物体在3 s末速度方向改变C前4 s内物体的最大速度出现在第3 s末，大小为3.5 m/sD
8、物体在第2 s末与第4 s末的速度大小相等，方向也相同【答案】D【解析】分析物体的运动情况：在03 s内物体沿正方向做加速运动，在34 s内沿正方向做减速运动，故在第3 s末物体的速度最大，1 s末、3 s末速度方向都没有改变，故A、B错误；at图象的“面积”大小等于速度变化量，则在前3 s内物体速度的变化量v3.5 m/s，所以3 s末的速度vv0v2 m/s3.5 m/s5.5 m/s，故C错误；由图象可知，前2 s内和前4 s内的at图象的“面积”相等，则速度变化量相等，所以物体在第2 s末与第4 s末的速度大小相等，方向也相同，故D正确【变式3】(多选)宇航员的训练、竞技体育的指导、汽
9、车的设计等多种工作都用到急动度的概念加速度对时间的变化率称为急动度，其方向与加速度的变化方向相同一质点从静止开始做直线运动，其加速度随时间的变化关系如图下列说法正确的是()At1 s时急动度是0.5 m/s3Bt3 s时的急动度和t5 s时的急动度等大反向C24 s内的质点做减速运动D06 s内质点速度方向不变【答案】AD【解析】根据题意可知急动度是指加速度变化的快慢，由图象可知斜率表示急动度，t1 s时急动度是0.5 m/s3，选项A正确；t3 s时和t5 s时图线的斜率相同，所以急动度大小及方向相同，选项B错误；根据速度与加速度的方向关系可知，24 s内的质点做加速度减小的加速运动，选项C
10、错误；根据图象面积的物理意义可知6 s末质点的速度大于零，质点一直朝同一方向运动，选项D正确【提 分 笔 记】应用at图象解题的六个关键点轴线斜率交点面积截距at图象纵轴加速度横轴时 间运动物体的加速度与时间的关系过某点直线(或切线)的斜率表示该时刻加速度的变化率两线交点表示两物体该时刻加速度相 同图线和t轴所围面积表示物体的速度变化量在纵轴上的截距表示t0时的加速度题型4运动学图象的综合应用【典例4】在地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A后，又以初速度v0从同一地点竖直上抛另一物体B.若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔t必须满足的条件是(不计空气阻力)()A.t B.tC.t
11、D.t【答案】D【解析】依据xv0tgt2作出xt图象，如图所示显然，两条图线相交表示A、B相遇由图线可直接看出，当t满足关系式t时，A、B可在空中相遇，选项D正确【提 分 笔 记】解决此类问题要根据物体运动规律的公式做出正确的图象，利用图象的交点的意义读取图象信息，再通过分析推理打开解题思路考点二 1分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”(1)一个临界条件：速度相等它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口2能否追上的判断方法物体B追赶物体A：开
12、始时，两个物体相距x0，到vAvB时，若xAx0xB，则不能追上3特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动4三种方法(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离(2)函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)0，若方程f(t)0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)0存在正实数解，说明这两个物体能相遇(3)图象法若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说
13、明两物体相遇若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积题型1速度小者追速度大者【典例5】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以v6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？【答案】2 s6 m【解析】解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为x，则有v自at所以t2 sxv自tat26 m.解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则xv自tat2代入已知数据得x6tt2由二
14、次函数求极值的条件知：t2 s时，x有最大值6 m所以经过t2 s后，两车相距最远，为x6 m.解法三(图象法)：自行车和汽车的vt图象如图所示由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有t1 s2 s，x m6 m.【变式4】如图所示，A、B两物体相距s7 m，物体A以vA4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度vB10 m/s，只在滑动摩擦力作用下向右做匀减速运动，B与水平地面的动摩擦因数0.2，g取10 m/s2，那么物体A追上物体B所用的时间为()A7 s B8 sC9 sD10 s【答案】B【解析】做匀减速运动，其加速度大小
15、为ag2 m/s2，减速到零用时t5 s，其位移xBvBt25 m，此时A的位移xAvAt20 m，由位移关系可知，B停下时A并未追上，若要A追上B，则有sxBvAt，得t8 s，选项B正确，A、C、D错误【提 分 笔 记】掌握“三种分析方法”(1)分析法应用运动学公式，抓住一个条件、两个关系，列出两物体运动的时间、位移、速度及其关系方程，再求解(2)极值法设相遇时间为t，根据条件列出方程，得到关于t的一元二次方程，再利用数学求极值的方法求解(3)图象法在同一坐标系中画出两物体的运动图象位移图象的交点表示相遇，速度图象抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系题型2速度大者追速度小者【典例6】A、
16、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA10 m/s，B车在后，其速度vB30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x085 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？【答案】不会相撞5 m【解析】解法一：设B车刹车过程的加速度大小为aB，由v2v2ax可得023022(aB)180解得aB2.5 m/s2设经过时间t两车相撞，则有：vBtaBt2x0vAt即30t2.5t28510t整理得t216t680由162468xB，所以不会相
17、撞且两车最近距离xxAx0xB5 m.【变式5】在平直的高速公路行车道上，有五辆间距为100 m的货车以90 km/h的速度匀速行驶，在第五辆车后200 m处的相邻车道上，有一小型客车的行驶速度也为90 km/h.该小型客车司机为了超过前面的货车，先使客车做匀加速运动，当客车速度达到108 km/h时，保持速度不变从客车开始加速到刚好超过这五辆货车，所用时间为125 s，忽略货车的长度，求：(1)客车加速的时间；(2)客车加速时加速度的大小【答案】(1)10 s(2)0.5 m/s2【解析】(1)货车的速度及客车的初速度相同，设为v0，客车加速后速度为v30 m/s，设客车追的过程总时间为t，加速阶段时间为t1，加速阶段位移为x1，匀速阶段位移为x2x1t1，x2v(tt1)货车在此过程位移xv0t由几何关系x1x2x(51)100 m200 m解得t110 s.(2)客车加速时加速度a解得a0.5 m/s2.【提 分 笔 记】巧解追及相遇问题常用方法临界条件法抓住两物体速度相等时的位移之间的关系这个临界条件，根据相遇的时间关系、速度关系和位移关系，列式计算出结果判别式法设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若0，即方程有两个解，说明可以相遇两次；若0，即方程有一个解，说明刚好可以追上或相遇；若0，即方程无解，说明追不上