1、银川一中2020/2021学年度（上）高二期末考试数学（文科）试卷一、选择题（本大题共12题，共60分）1. 已知复数，（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，所以，选B.2. 两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）A. 模型3的相关指数为0.50B. 模型2的相关指数为0.80C. 模型1的相关指数为0.98D. 模型4的相关指数为0.25【答案】C【解析】【分析】利用相关指数意义判断得解.【详解】相关指数越接近1，则模型的拟合效果更好，所以模型1的相关指数为0.98时，拟合效果最好.故选C【点睛】本题主要考查相关指数
2、的意义性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，则直线直线a”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断是大前提错误.【详解】若直线平行于平面，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误.故选：A.4. 已知两定点，曲线上的点P到的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由定义可判定该曲线为双曲线，可求出，得出方程.【详解
3、】，该曲线是以为焦点的双曲线，即，则该曲线的方程为.故选：A.5. 某企业一种商品产量与单位成本数据如表：产量(万件)234单位成本(元件)3a7现根据表中所提供的数据,求得关于的线性回归方程为,则值等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知表格中的数据求得与的值,代入线性回归方程求解值.【详解】由所给数据可求得 ,代入线性回归方程为,得,解得故选:B.【点睛】本题考查线性回归方程的求法,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础题.6. 已知抛物线上一点M到焦点的距离为2，则点M到x轴的距离为（ ）A. B. 1C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】求出抛物线
4、的准线方程为，利用抛物线的定义可得点M到准线方程为的距离为，则可得答案.【详解】根据抛物线的定义可知，抛物线的准线方程为，点M到焦点的距离和到准线的距离相等，由抛物线上一点M到焦点的距离为2，所以点M到准线方程为的距离为，则点M到轴的距离为 ，故选：B.7. 若函数在上为增函数，则m的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，参变分离求出m的范围即可.【详解】已知函数在上为增函数，则在恒成立，即在恒成立，则，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一次函数的性质，属于基础题8. 在极坐标系中，点到直线的距离为（
5、）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】将点的极坐标化为直角坐标，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式可得结果.【详解】设点的直角坐标为，则，所以，由得，即，将代入得，即直线的直角坐标方程为，所以点到直线的距离为.所以在极坐标系中，点到直线的距离为.故选：D【点睛】关键点点睛：将极坐标化为直角坐标是解题关键.9. 已知是复数的共轭复数, ，则复数在复平面内对应的点的轨迹是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】A【解析】【分析】设，根据可得出关于、的方程，即可得出结论.【详解】设，则，因此复数在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选：A10.
6、已知函数在处取得极小值，则的最小值为（ ）A. 4B. 5C. 9D. 10【答案】C【解析】 由，得，则， 所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选C.11. 已知点的坐标为(5，2)，F为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，当取得最小值时，则点的坐标是( )A. (1，)B. C. D. 【答案】D【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当三点共线时等号成立，此时，故，所以，选D12. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意得出，构造函数，可知函数在区间上单调递增，可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导
7、数求得函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，当时，恒成立，即，构造函数，则，所以，函数在区间上为增函数，则对任意的恒成立，令，其中，则.，当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增.所以，函数的最小值为，.因此，实数取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13. i是虚数单位，复数_【答案】【解析】【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可.【详解】.故答案为：.14. 函数的图象在处的切线方程为，则_.【答案】【解析】【分析】根
8、据导数的几何意义可得，根据切点在且线上可得.【详解】因为切线的斜率为，所以，又切点在切线上，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题.15. 曲线C的极坐标方程为，则曲线C的直角坐标方程为_【答案】【解析】【分析】将的两边同乘，再根据得到的关系式，即为的直角坐标方程.【详解】因为，所以，且，所以，即为，故答案为：.16. 在平面几何里，有勾股定理：“设的两边AB、AC互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC 、ACD、ADB两两互相垂直，则_”【答案】+=【
9、解析】【分析】解：斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面， 故猜想为【详解】三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数f（x）ax3+bx23x在x1和x3处取得极值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在4，4内的最值.【答案】（1）a，b1（2）f（x）min，f（x）max【解析】【分析】（1）先对函数求导，由题意可得3ax2+2bx30的两个根为1和3，结合方程的根与系数关系可求，（2）由（1）可求，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值.【详解】解：（1）3ax2+2bx3，
10、由题意可得3ax2+2bx30的两个根为1和3，则，解可得a，b-1，（2）由（1），易得f（x）在，单调递增，在上单调递减，又f（4），f（1），f（3）9，f（4），所以f（x）minf（4），f（x）maxf（1）.【点睛】本题考查利用极值求函数的参数，以及利用导数求函数的最值问题，属于中档题18. 设抛物线：，为的焦点，过的直线与相交于两点.（1）设的斜率为1，求；（2）求证：是一个定值.【答案】(1)（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数
11、量积即可得出；试题解析：(1)解：由题意可知抛物线的焦点为，准线方程为，直线的方程为设，由得，由直线过焦点，则.（2）证明：设直线的方程为，由得，是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方便.19. 在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积【答案】(1),；(2)【解析】试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得， 所以，进而求得面积为.
12、试题解析：（1）因为 ，所以的极坐标方程为， 的极坐标方程为（2）将代入得得 ， 所以因为的半径为1，则的面积为考点：坐标系与参数方程.20. 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对心肺疾病入院的人进行问卷调查，得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计（1）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽人，其中男性抽多少人？（2）在上述抽取的人中选人，求恰好有名女性的概率；（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量，你有多大把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供
13、参考：参考公式：，其中.【答案】（1）4人；（2）；（3）有把握认为心肺疾病与性别有关【解析】【分析】（）根据分层抽样定义，每个个体被抽中的概率相等，即可求得抽到男性人数；（）根据古典概型概率计算，列出所有可能，即可求得恰有1个女生的概率；（）根据独立性检验的公式求，求得后与表中临界值比较，即可判断是否有把握【详解】（）在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽4人； （）设4男分为：A、B、C、D；2女分为：M、N，则6人中抽出2人的所有抽法：AB、AC、AD、AM、AN、BC、BD、BM、BN、CD、CM、CN、DM、DN、MN共15种抽法，其中恰好有1个女生的抽法有8种所以恰好有1个女生的概
14、率为 . （）由列联表得 ，查临界值表知：有 把握认为心肺疾病与性别有关.【点睛】本题考查了简单抽样方法，古典概率的求法及独立性检验方法的应用，属于基础题21. 一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：转速x（转/秒）1614128每小时生产缺损零件数y（件）11985（1）作出散点图；（2）如果y与x线性相关，求出回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺损的零件最多为10个，机器的转速应控制在什么范围内？（结果保留整数）附：线性回归方程中，其中为样本平均值【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）机器的运转速度应控制
15、在15转/秒内.【解析】【分析】（1）根据表中数据直接画出即可；（2）根据表中数据分布求出，即可求出，得出回归方程；（3）令即可求出.【详解】（1）根据表中的数据画出散点图如右图：（2）由题中数据可得，（3）令，解得，故机器的运转速度应控制在15转/秒内22. 已知函数，,令.（）求函数的单调区间；（）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】（）增区间为 ，减区间为（）整数的最小值为2.【解析】【分析】（1）先求出函数定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间，导数小于零得到减区间（2）关于的不等式恒成立，即为 恒成立，令，求导数，求得单调区间，讨论m的符号，由最大值小于等于0，通过分析
16、即可得到m的最小值.【详解】（1）由题意得函数的定义域为，当时恒成立，在上是增函数.当时，由，解得；由，解得 函数的增区间为，减区间为（2）法一：令 .所以当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为.所以关于的不等式不能恒成立.当时， .令得，所以当时，；当时，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，因为，又因为在上是减函数，所以当时，.所以整数的最小值为2. 法二：由恒成立知恒成立，令，则，令，因为，则为增函数.故存，使，即，当时，为增函数，当时，为减函数.所以，而，所以，所以整数的最小值为2.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来求解的方法，属于难题.
