1、重点高中2020-2021学年度下期高二第一次考试数学（理科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1“余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数”，以上推理A结论正确B小前提不正确C大前提不正确D全部正确2用反证法证明命题“设实数a、b、c满足，则a、b、c中至少有一个数不小于”时假设的内容是 Aa、b、c都不小于Ba、b、c都小于Ca、b、c至多有一个小于Da、b、c至多有两个小于3以下推理为归纳推理的是 A幂函数在（0，+）是单调函数，是幂函数，故在（0，+）是单调函数B平行于同一条直线的两直线平行，已知，则C由“正三角形的
2、内切圆切于三边的中点”，得“正四面体的内切球切于四个面的中心”D由112，1+322，1+3+532，得（n）4已知函数，则ABeC1D15已知函数，则A1B0CD6函数的图象如图所示，则阴影部分的面积是 A BC D7已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是A BC D 8将正奇数数列1，3，5，7，9，依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：，称为第1组，为第2组，依次类推，则原数列中 的2021位于分组序列中A第404组B第405组 C第808组 D第809组9已知偶函数的导函数为，且满足当时，则使得成立的x的取值范围为A B C D10已知函数在(1,2)内不是单调函数，则实数a
3、的取值范围是A B C D11已知函数满足，当时，若，则a，b，c的大小关系是AB C D12设函数，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的最大值为A B C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13函数在处有极值，则a的值是 14已知函数 ，则 15甲、乙、丙三人参加知识竞赛赛后，他们三个人预测名次的谈话如下：甲：“我第二名，丙第一名”；乙：“我第二名，丙第三名”；丙：“我第二名，甲第三名”；最后公布结果时，发现每个人的预测都只猜对了一半，则这次竞赛第一名的是_16已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是 三、解答题：本题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或
4、演算步骤17（本小题满分10分）已知函数，（1）分别求，的值；（2）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明18（本小题满分12分）已知数列，（1）计算；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明19（本小题满分12分）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求f(x)的单调区间20（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的极值；（2）求函数在2,1上的最大值和最小值21（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x5时，|ta|a5，不合题意当4a5时，和点a在数轴上的位置有关系，关键点是点
5、，如图当4a，t4,5时，(|ta|a)max5，符合题意；当5，不合题意综上，a的取值范围是.17. 解：（1）；同理5分（2） 由此猜想7分证明：10分18解：（1）4分（2）6分证明：当n=1时，结论成立假设当()时，结论成立，即8分当时，当时结论成立11分由知对于任意的+结论都成立12分19解：（1），3分因此， 所以，曲线在点处的切线方程为，即；6分（2） ，即，即，解得或；8分解不等式，得，即，解得10分因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为12分20解：（1）函数的定义域为R ，1分时，时，3分所以函数的极小值点，5分无极大值6分（2）令 得列表如下：x-2-10减增e由上
6、表可知 函数在上的最大值为,最小值为12分21解：(1)x5时，y11，1011，a24分(2)由(1)知该商品每日的销售量y10(x6)2，商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)210(x3)(x6)2，3x66分f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，令f(x)0，得x4当3x0，函数f(x)在(3，4)上递增；8分当4x6时，f(x)0，函数f(x)在(4，6)上递减10分当x4时，函数f(x)取得最大值f(4)42当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大12分22（1），1分当时，在递减；3分当时，若，则，在递增，5分若，则，在递减；6分（2）设，则，构造函数，即在递减7分，9分设，又设，则，在递增，11分，在递减，即的取值范围是12分法二，设，则，构造函数，即在递减7分，令，则8分当时，在上单调递减，所以，于是；9分当时，在上单调递增，所以，于是；10分当时，在上单调递增，在单调递减，所以，于是.11分综上，的取值范围是12分