1、第六章 数 列第一节 数列的概念与简单表示法栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.数列通项公式的求解，前 n 项和 Sn 与数列的项 an 之间的关系的应用，数列的性质与应用仍是 2021 年高考考查的热点，题型以选择题与填空题为主，分值为 5 分，有时也会出现在解答题中，分值为 36分.1.数学运算2.逻辑推理 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1数列的有关概念概念含义数列按照 1 _排列的一列数数列的项数列中的 2 _数列
2、的通项数列an的第 n 项 an 通项公式数列an的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系能用公式 3 _表示，这个公式叫做数列的通项公式前 n 项和数列an中，Sn 4 _叫做数列的前 n 项和一定顺序每一个数anf(n)a1a2an2.数列的表示方法列表法列表格表示 n 与 an 的对应关系图象法把点 5 _画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用 6 _表示的方法递推公式使用初始值 a1 和 an 与 an1 的关系式或 a1，a2 和 an1，an，an1 的关系式等表示数列的方法(n，an)公式3.an 与 Sn 的关系若数列an的前 n 项和为 Sn，则 an 7 _，
3、n1，8 _，n2.S1SnSn1常用结论 在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1，而是直接把数列的通项公式写成 anSnSn1 的形式，但它只适用于 n2 的情形4数列的分类常用结论 1数列是一种特殊的函数，数列的单调性、周期性在求值时常常用到.2在数列an中，若 an 最大，则anan1，anan1；若 an 最小，则anan1，anan1.基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)所有数列的第 n 项都能使用公式表达()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(4)
4、1，1，1，1，不能构成一个数列()(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(6)如果数列an的前 n 项和为 Sn，则对nN*，都有 an1Sn1Sn.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、走进教材2(必修 5P33A4 改编)在数列an中，a11，an1（1）nan1(n2)，则 a5 等于()A32B53C85D23答案：D3(必修 5P33A5 改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 an_答案：5n4三、易错自纠4已知数列an的通项公式为 ann28n15，则()A3 不是数列an中的项B3 只是数列an中的第 2 项C3 只是数列an
5、中的第 6 项D3 是数列an中的第 2 项或第 6 项解析：选 D 令 an3，即 n28n153，解得 n2 或 n6，故 3 是数列an中的第 2 项或第 6 项5已知数列an的前 n 项和为 Sn32n，则数列an的通项公式为_解析：当 n1 时，a1S1325；当 n2 时，anSnSn132n(32n1)2n2n12n1.因为当 n1 时，不符合 an2n1，所以数列an的通项公式为 an5，n1，2n1，n2.答案：an5，n1，2n1，n26已知数列an的前 n 项和 Sn2n2n，则 an_解析：当 n2 时，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n1.当 n1 时，a
6、1S13411，也满足上式，故 an4n1.答案：4n1课 堂 考 点 突 破2考点 利用an与Sn的关系求通项公式an|题组突破|1已知数列an的前 n 项和为 Snn22n2，则数列an的通项公式为()Aan2n3Ban2n3Can1，n1，2n3，n2Dan1，n1，2n3，n2解析：选 C 当 n1 时，a1S11；当 n2 时，anSnSn12n3.由于当 n1时，a1 的值不适合 n2 的解析式，故选 C2已知数列an的前 n 项和 Sn2an1，则满足ann 2 的正整数 n 的集合为()A1，2，3B2，3，4C1，2，3，4D1，2，3，4，5解析：选 C 因为 Sn2an1
7、，所以当 n2 时，Sn12an11，两式相减得 an2an2an1，整理得 an2an1.又 a12a11，所以 a11，故 an2n1.又ann 2，即 2n12n，所以有 n1，2，3，43(2019 届潍坊模拟)已知数列an的前 n 项和 Sn13an23，则an的通项公式 an_解析：当 n1 时，a1S113a123，a11；当 n2 时，anSnSn113an13an1，anan112.数列an为首项 a11，公比 q12的等比数列，故 an12n1.答案：12n1名师点津已知 Sn 求 an 的 3 个步骤(1)先利用 a1S1 求出 a1.(2)用n1替换Sn中的n得到一个新
8、的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时 an 的表达式(3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 an 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写考点 由数列的递推关系求通项公式多维探究命题角度一 形如 an1anf(n)，求 an【例 1】(2019 届郑州模拟)设数列an满足 a11，且 an1ann1(nN*)，则数列an的通项公式为_解析 由题意得 a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得 ana123n（n1）（2n）2n2n22.a11，ann2n2(n2)当 n1 时也满足此式，ann
9、2n2.答案 ann2n2名师点津对于形如 an1anf(n)的递推关系的递推数列，即数列相邻两项之差是一个关于 n的函数式，可以直接对等式两边求和进行解答，也可写为 an(an1an2)(a2a1)a1 的形式命题角度二 形如an1an f(n)，求 an【例 2】在数列an中，a11，ann1n an1(n2，nN*)，则数列an的通项公式为_解析 ann1n an1(n2)，an1n2n1an2，an2n3n2an3，a212a1.以上各式相乘得，ana11223n1n a1n 1n.当 n1 时，a11，符合上式，an1n.答案 an1n名师点津对于形如an1an f(n)的递推关系的
10、递推数列，即数列相邻两项之商是一个关于 n 的函数式，可以直接对等式两边求积解答，也可写为 an anan1an1an2a2a1a1 的形式命题角度三 形如 an1panq(p0 且 p1，q0)，求 an【例 3】(2019 届青岛模拟)已知数列an满足 a11，an13an2(nN*)，则数列an的通项公式为_解析 an13an2，an113(an1)，an11an1 3，又a112.数列an1是以 2 为首项，3 为公比的等比数列 an123n1，an23n11.答案 an23n11名师点津对于形如 an1panq(p0 且 p1，q0)的递推关系的递推数列，即数列相邻的次数都是一次，尾
11、巴上有一个常数，求此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化为 an1kp(ank)求解命题角度四 形如 an1AanBanC(A，B，C 为常数)，求 an【例 4】已知在数列an中，a11，an1 2anan2(nN*)，则数列an的通项公式an_解析 因为 an1 2anan2，a11，所以 an0，所以 1an1 1an12，即 1an1 1an12.又a11，所以 1a11，所以1an 是以 1 为首项，12为公差的等差数列所以 1an1(n1)12n212.所以 an 2n1.答案 2n1名师点津形如 an1AanBanC(A，B，C 为常数)的数列，将其变形为 1an1CA1
12、anBA.若 AC，则1an 是等差数列，且公差为BA，可直接用公式求通项；若 AC，则采用待定系数法，构造新数列求解|跟踪训练|1(累加法)已知在数列an中，a13，an1an1n（n1），则通项公式 an_解析：原递推公式可化为 an1an1n 1n1，则当 n2 时，a2a1112，a3a21213，a4a31314，an1an2 1n2 1n1，anan1 1n11n，累计相加得，ana111n，故 an41n.又当 n1 时，也符合上式，an41n.答案：41n2(累乘法)已知 a12，an12nan，则数列an的通项公式 an_解析：an12nan，an1an 2n.当 n2 时，
13、an anan1an1an2a2a1a12n12n2222n2n22.又 a12 也符合上式，an2n2n22.答案：2n2n223(待定系数法)已知数列an中，a13，且点 Pn(an，an1)(nN*)在直线 4xy10 上，则数列an的通项公式为_解析：因为点 Pn(an，an1)(nN*)在直线 4xy10 上，所以 4anan110.所以 an1134an13.因为 a13，所以 a113103.故数列an13 是首项为103，公比为 4 的等比数列所以 an13103 4n1.故数列an的通项公式为 an103 4n113.答案：an103 4n1134(取倒数法)已知数列an满足
14、 a11，an1 anan2(nN*)，若 bn1(n2)1an1(nN*)，b132，且数列bn是递增数列，则实数 的取值范围是_解析：由 an1 anan2，得 1an11 2an，所以 1an1121an1，故1an1 是首项为 1a112，公比为 2 的等比数列，所以 1an12n.因为 bn1(n2)1an1(n2)2n，b132，且数列bn是递增数列，所以32（12）2，（n12）2n1（n2）2n，n2，解得45，n12，n2，所以 a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为 a52，最小项为 a40.(2)an11a2（n1）112n2a2，已知对任意的
15、 nN*，都有 ana6 成立，结合函数 f(x)112x2a2的单调性，可知 52a2 6，即10a8.名师点津数列an的最大(小)项的求法(1)函数法：借助数列的单调性或图象来解决(2)利用不等式组an1an，anan1(n2)找到数列的最大项；利用不等式组an1an，anan1(n2)找到数列的最小项|跟踪训练|已知数列an满足 an12a n1（nan1，则实数 a 的取值范围是()A0，12B12，712C12，1D712，1解析：选 B 因为 anan1 恒成立，又当 n6 时，an为等比数列，所以 0a1.若0a12，则当 n6 时，不满足题意；若12aan1，当 nan1 对任意的 nN*恒成立，所以 a6a5，即 a12a 51，解得a 712，所以12a 712，故选 B点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS