1、2020-2021学年度第一学期高二期末考试数学（理科)试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 一个命题与它们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）A. 真命题与假命题的个数不同B. 真命题的个数一定是偶数C. 真命题的个数一定是奇数D. 真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数【答案】B【解析】【分析】根据互为逆否命题的真假性是一致的，得到原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，真命题是成对出现的【详解】解：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题，原命题与逆否命题具有相同的真假性，
2、否命题与逆命题具有相同的真假性，真命题是成对出现的，真命题的个数一定是一个偶数故选：B【点睛】本题考查命题的四种形式，是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，是一个比较简单的问题，若出现是一个送分题目2. 若命题“”为假，则（ ）A. 为假B. 假C. 真D. 不能判断、的真假【答案】D【解析】【分析】由已知条件判断、的真假，由此可判断各选项中命题的真假.【详解】由于“”为假，则、中一真一假或、均为假命题，因此，不能判断、的真假，故选：D.3. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】直接由可得结论.【详
3、解】 “”是“”的必要不充分条件.故选:B4. 下列命题：至少有一个x使x22x10成立；对任意的x都有x22x10成立；对任意的x都有x22x10不成立；存在x使x22x10成立其中是全称命题的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个【答案】B【解析】【详解】试题分析：和中用的是存在量词“至少有一个”“ 存在”，属特称命题；和用的是全程量词“任意的”，属全程命题，所以B正确考点：全程命题，特称命题5. 双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求出、的值，由此可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线的标准方程为，则，因此，
4、该双曲线的渐近线方程为.故选：B.6. 已知|=1，|=，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）A. 60B. 30C. 135D. 【答案】D【解析】【详解】因(-)与垂直，所以(-). |=1，.设与的夹角为，则所以，故选D.点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.7. 若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为，焦距为，则椭圆的方程（ ）A.
5、 B. C. 或D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】求得、的值，由此可得出所求椭圆的方程.【详解】由题意可得，解得，由于椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程为或.故选：C.8. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由圆锥曲线方程可求得抛物线焦点和双曲线渐近线方程，由点到直线距离公式可求得结果.【详解】由可知抛物线焦点坐标为；由可知双曲线渐近线方程为，即；到的距离.故选：B.9. 已知空间向量、，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的加法和减法法则可判断各选项的正误.详解】对于A选项，
6、A选项错误；对于B选项，B选项错误；对于C选项，C选项正确；对于D选项，D选项错误.故选：C.10. 设，且，则等于（ ）A. -4B. 9C. -9D. 【答案】B【解析】【分析】由，根据向量平行（共线）充要条件得：存在实数使，进而构造方程求出的值，进而求出，值.【详解】由于则存在实数使即解得 则故故选：B【点睛】知识点点睛：向量平行（共线）的充要条件得：存在实数使.11. 设平面内两向量(1,2,1)，(1,1,2)，则下列向量中是平面的法向量的是()A. (1，2,5)B. (1,1，1)C. (1,1,1)D. (1，1，1)【答案】B【解析】【分析】利用非零向量即可找出平面的法向量【
7、详解】（1，1，1）（1，2，1）=1+21=0，（1，1，1）（1，1，2）=1+12=0，向量（1，11）是此平面的法向量故选B【点睛】正确理解平面的法向量是解题的关键12. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式，根据已知条件可得出集合间包含关系，由此可求得实数的取值范围.【详解】解不等式可得.因为“”是“”的充分不必要条件，则，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（
8、2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 抛物线的焦点到准线的距离是 _.【答案】【解析】【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可求得结果.【详解】抛物线的标准方程为，则，可得.因此，抛物线的焦点到准线的距离是.故答案为：.14. 在正方体中，点分别是的中点，则和所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，设棱长为，根据异面直线所成角的空间向量求法可求得结果.【详解】以为原点可建立如下图所示
9、的空间直角坐标系设正方体棱长为，则，即异面直线与所成角的余弦值为故答案为：【点睛】本题考查空间向量法求解异面直线所成角的问题，易错点是忽略异面直线所成角的范围为，造成求解余弦值时符号错误.15. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为_.【答案】或【解析】【分析】由双曲线方程的特点可得，解不等式即可求解.【详解】若方程表示双曲线，则，解得：或，故答案为：或.16. 已知三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么_【答案】【解析】【详解】【分析】三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，其长轴长为.、为椭圆的左
10、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出、的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）利用椭圆的定义可得出的周长.【详解】（1）由于椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，设所求椭圆的标准方程为，焦距为，由已知条件可得，解得，因此，椭圆的标准方程为；（2）由椭圆的定义可得，因此，的周长为.18. 已知（1）若,求实数m的值： （2）若m=2，求的值.【答案】（1）2；（2）9【解析】【分析】（1）根据向量运算的坐标表示计算；（2）由数量积的坐标表示计算【详解】（1）由题意，所以，解得；（2），所以19. 如图
11、所示，在四面体中，平面，求二面角的余弦值.【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，说明二面角的平面角为，设，计算出即可得解.【详解】取的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，设，平面，平面，则为等边三角形，为的中点，所以，平面，平面，平面，平面，所以，二面角的平面角为，则为等腰直角三角形，平面，平面，所以，.因此，二面角的余弦值为.【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：定义法；垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二
12、面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.20. 已知曲线的方程为，直线过定点，斜率为.（1）若曲线与直线只有一个公共点，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求直线的方程.【答案】（1）或或；（2）或或.【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论，写出直线的方程，根据已知条件可求得实数的值；（2）将（1）中的值代入直线的方程即可得解.【详解】（1）当时，直线的方程为，联立，解得，此时，直线与曲线有且只有一个交点；当时，直线的方程为，联立，消去并整理可得，整理可得，解得或；（2）当时，直线的方程为；当时，直线的方程为，即；当时，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或或.【点睛
13、】思路点睛：利用直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值范围，步骤如下：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，消去一个元（或），得到关于另外一个元的一元二次方程.若，则直线与圆锥曲线有两个交点，直线与圆锥曲线相交；若，则直线与圆锥曲线有且仅有一个交点，直线与圆锥曲线相切；若，则直线与圆锥曲线没有交点，直线与圆锥曲线相离.21. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点求证：(1)ACBC1；(2)AC1平面CDB1.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）由勾股定理可证得为直角三角形即可证得，由直棱柱可知面，可证得，根据线面
14、垂直的判定定理可证得面，从而可得（2）设与的交点为，连结，由中位线可证得，根据线面平行的判定定理可证得平面试题解析：证明：（1）证明：，为直角三角形且，即又三棱柱为直棱柱，面，面， ，面，面， （2）设与的交点为，连结，是的中点，是的中点，面，面，平面考点：1线线垂直，线面垂直；2线面平行22. 在直角坐标系中，点到两点、的距离之和等于，设点的轨迹为，直线与交于、两点（1）求曲线的方程；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）本题可根据椭圆的定义求出点的轨迹；（2）本题首先可设、，然后联立椭圆与直线方程，通过韦达定理得出、，最后通过得出，代入、的值并计算，即可得出结果.【详解】（1）因为点到两点、的距离之和等于，所以结合椭圆定义易知，点的轨迹是以点、为焦点且的椭圆，则，点的轨迹.（2）设，联立，整理得，则，因为，所以，即，整理得，则，整理得，解得.【点睛】关键点点睛：本题考查根据椭圆定义求动点轨迹以及直线与抛物线相关问题的求解，椭圆的定义为动点到两个定点的距离为一个固定的常数，考查韦达定理的应用，考查计算能力，是难题.