1、第五章 平面向量第三节 平面向量的数量积及应用举例栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.考情分析核心素养 平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是 2021 年高考考查的热点，题型仍将是
2、选择题与填空题，分值为 5 分.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为，则数量 1 _叫做 a 与 b 的数量积，记作 ab投影2 _叫做向量 a 在 b 方向上的投影，3 _叫做向量 b在 a 方向上的投影几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 4 _的乘积|a|b|cos|a|cos|b|cos|b|cos2.向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量 a 和b，作OA a，OB b，则 5 _就是 a 与 b的夹角设 是 a 与 b 的夹角，则 的取值范围是 6 _若 0，则 a 与 b
3、 7_；若 180，则 a 与 b 8 _；若 90，则a与b 9 _ AOB0180同向反向垂直常用结论 两个向量 a，b 的夹角为锐角ab0 且 a，b 不共线；两个向量 a，b 的夹角为钝角ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，n0，则由ABAC2ABAD，得(n，0)(m2，m)2(n，0)(m，m)，所以 n(m2)2nm，化简得 m2.故AD AC(m，m)(m2，m)2m22m12.答案：12名师点津求非零向量 a，b 的数量积的 3 种方法直接法若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算
4、几何法根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量 a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解坐标法若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出 a，b 的坐标，通过坐标运算求解考点 平面向量数量积的应用多维探究常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直命题角度一 平面向量的模【例 1】(1)(2019 届昆明调研)已知向量 a(1，2)，b(1，3)，则|2ab|()A 2B2C 10D10(2)(2019 届长春质检)已知平面内三个不共线向量 a，b，c 两两夹角相等，且|a|b|1，|c|3，则|abc|_解析(1
5、)a(1，2)，2a(2，4)b(1，3)，2ab(3，1)，|2ab|10，故选 C(2)由平面内三个不共线向量 a，b，c 两两夹角相等，可得夹角均为23，所以|abc|2a2b2c22ab2bc2ac119211cos 23 213cos 23 213cos 23 4，所以|abc|2.答案(1)C(2)2命题角度二 平面向量的夹角【例 2】(1)(2019 年全国卷)已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则a 与 b 的夹角为()A6B3C23D56(2)(2019 年全国卷)已知 a，b 为单位向量，且 ab0，若 c2a 5b，则 cosa，c_解析(1)设 a
6、与 b 的夹角为，(ab)b，(ab)b0，abb2，|a|b|cos|b|2.又|a|2|b|，cos 12.0，3.故选 B(2)由题意可设 a(1，0)，b(0，1)，则 c(2，5)，所以 cosa，c21 4523.答案(1)B(2)23命题角度三 平面向量的垂直【例 3】(1)若平面四边形 ABCD 满足ABCD 0，(ABAD)AC0，则该四边形一定是()A直角梯形B矩形C菱形D正方形(2)(2020 届四川五校联考)已知 a(2，1)，b(，1)，若 ab，则 _解析(1)由ABCD 0 得平面四边形 ABCD 是平行四边形，由(ABAD)AC0得DB AC0，故平行四边形的对
7、角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选 C(2)因为 ab，所以 ab0，即 2(1)10，解得 12.答案(1)C(2)12名师点津平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ab|a|b|，要注意 0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是 abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2 或|a|aa.|ab|（ab）2 a22abb2.若 a(x，y)，则|a|x2y2.|跟踪训练|1(2019 年全国卷)已知向量 a(2，3)，b(3，2)，则|ab|()A 2B2C5 2D50解析：选 A 依题意得 ab(1
8、，1)，|ab|（1）212 2，故选 A2(2019 年北京卷)已知向量 a(4，3)，b(6，m)，且 ab，则 m_解析：因为 ab，所以 ab0，即463m0，解得 m8.答案：83(2019 年全国卷)已知向量 a(2，2)，b(8，6)，则 cosa，b_解析：cosa，b ab|a|b|2（8）262 210 210.答案：210考点 平面向量数量积的最值、范围问题平面向量的数量积常与最值、范围问题相结合创新考点该类题目能力要求较高，难度大，有一定的综合性【例】(1)(2019 届武汉调研)设 A，B，C 是半径为 1 的圆 O 上的三点，且OA OB，则(OC OA)(OC O
9、B)的最大值是()A1 2B1 2C 21D1(2)如图，在平面四边形 ABCD 中，|BABC|BABC|，BC2AD，BE2AE，|BE|BC|2，若 F 为线段 DE 上的动点，则BFCF的最小值为()A1B2C4D3解析(1)如图，作出OD，使得OA OB OD.OA OB，OA OB 0，(OCOA)(OC OB)OC 2OA OC OB OC OA OB 1(OA OB)OC1OD OC.由图可知，当点 C 在 OD 的反向延长线与圆 O 的交点处时，OD OC 取得最小值，最小值为 2，此时(OC OA)(OC OB)取得最大值，最大值为 1 2，故选 A(2)由|BABC|BA
10、BC|，得 ABBC由BC2AD，得 BCAD，则 ADAB又BE2AE，|BE|BC|2，所以 AB3，BCBE2，ADAE1.以 B 为坐标原点，BC，BA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0，3)，C(2，0)，B(0，0)，D(1，3)，E(0，2)，所以 DE 所在的直线方程为 yx2.设 F(x，y)(0 x1)，则BF(x，y)，CF(x2，y)，所以BFCF x(x2)y2x22x(x2)22x22x4.因为 0 x1，所以当 x0 时，BFCF取得最小值 4.故选 C 答案(1)A(2)C名师点津平面向量中有关最值、范围问题的 2 种解题
11、思路(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决|跟踪训练|在等腰直角ABC 中，ABC90，ABBC2，M，N 为 AC 边上的两个动点(M，N 不与 A，C 重合)，且满足|MN|2，则BM BN的取值范围为_解析：不妨设点 M 靠近点 A，点 N 靠近点 C，以等腰直角三角形 ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段 AC 的方程为 xy20(0 x2)由题意可设 M(a，2a)，N(a1，1a)(由题意可知 0a1)，BM(a，2a)，BN(a1，1a)，BM BNa(a1)(2a)(1a)2a22a22a12232.0a1，BM BN32，2.答案：32，2点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS