1、第五章 平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考情分析核心素养 平面向量的相关概念，平面向量的线性运算，共线向量定理及其应用仍是 2021 年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为 5 分.1.数学运算2.直观想象 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1向量
2、的有关概念(1)向量：既有大小又有 1 _的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 2_(2)零向量：长度为 3 _的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于 4 _的向量方向模01个单位(4)平行向量：方向相同或 5 _的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向 6 _的向量(6)相反向量：长度相等且方向 7 _的向量相反相同相反2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：ab 8 _；结 合 律：(a b)c 9_baa(bc)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算aba(b
3、)向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数 与向量a 的积的运算|a|10 _，当 0时，a 与 a 的 方 向 11_；当|b|，则 abC若 ab，则 abD若|a|0，则 a0解析：选 C 对于 A，当|a|b|，即向量 a，b 的模相等时，方向不一定相同，则 ab 不一定成立，故 A 不正确；对于 B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故 B 不正确；C 显然正确；对于 D，若|a|0，则 a0，故 D 不正确，故选 C2给出下列命题：(1)若|a|b|，则 ab；(2)若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；(3)若
4、 ab，bc，则 ac；(4)两向量 a，b 相等的充要条件是|a|b|且 ab.其中正确命题的序号是_解析：(1)不正确两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|b|推不出 ab.(2)正确若ABDC，则|AB|DC|且ABDC.又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 是平行四边形 反之，若四边形 ABCD 是平行四边形，则 ABDC 且 AB与DC 方向相同，因此ABDC.(3)正确ab，a，b 的长度相等且方向相同 bc，b，c 的长度相等且方向相同 a，c 的长度相等且方向相同，ac.(4)不正确当 ab，但方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故|a
5、|b|，ab不是 ab 的充要条件 答案：(2)(3)3给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；a0(为实数)，则 必为零；，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中错误命题的个数为()A0B1C2D3解析：选 D 错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；错误，当 a0时，不论 为何值，a0；错误，当 0 时，ab0，此时 a 与 b 可以是任意向量，故错误的命题有 3 个，故选 D名师点津向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长
6、度(5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任意向量共线考点一 平面向量的线性运算多维探究命题角度一 用已知向量表示未知向量【例 1】(1)(2019 届吉林大学附属中学摸底)在梯形 ABCD 中，AB3DC，则BC等于()A13AB23ADB23AB43ADC23ABADD23ABAD(2)如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，ABa，ACb，则AD 等于()Aa12bB12abCa12bD12ab解析(1)如图，在线段 AB 上取点 E，使 BEDC，连接 DE，则四边形 BCDE 为平行四边形，则DC EB，BCED AD AE，又AB3DC，AE
7、ABEBAB13AB23AB，即BCAD 23AB.故选 D(2)连接 CD(图略)，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得 CDAB 且CD 12AB12a，所以AD ACCD b12a.答案(1)D(2)D命题角度二 根据向量线性运算求参数【例 2】如图，在ABC 中，N 为线段 AC 上靠近点 A 的三等分点，点 P 在线段BN 上，且APm 211 AB 211BC，则实数 m 的值为()A1B13C 911D 511解析 由题意，得APm 211 AB 211BCm 211 AB 211(ACAB)mAB 211AC.设BPBN(01)，则APABBPABBN AB(AN AB)(1)
8、ABAN.由题意，得AN13AC，所以AP(1)AB13AC，则m1，21113，解得 611，m 511，故选 D 答案 D名师点津向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解考点二 共线向量定理及其应用变式探究【例 3】设向量 a 与 b 不共线(1)若ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，求证：A，B，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线解(1)
9、证明：ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，BD BCCD 2a8b3(ab)5(ab)5AB，AB，BD 共线又它们有公共点 B，A，B，D 三点共线(2)kab 与 akb 共线，存在实数，使 kab(akb)，即(k)a(k1)b.又 a，b 是两个不共线的非零向量，k0，k10.k210.k1.|变式探究|1若将本例(1)中“BC2a8b”改为“BCamb”，则 m 为何值时，A，B，D三点共线？解：BD BCCD(amb)3(ab)4a(m3)b，若 A，B，D 三点共线，则存在实数，使BD AB，即 4a(m3)b(ab)，4，m3，解得 m7.故当 m7 时，A，B，D 三点
10、共线2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则 k 为何值？解：因为 kab 与 akb 反向共线，所以存在实数，使 kab(akb)(0)，即 kabakb，所以k，k1，所以 k1.又 0，k，所以 k1.故当 k1 时，两向量反向共线名师点津利用共线向量定理解题的策略(1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线例 A，B，C 三点共线AB，AC共线(3)若 a 与 b 不共线且 ab，则 0.(4)OA OB OC(，为实
11、数)，若 A，B，C 三点共线，则 1.|跟踪训练|1已知向量 i 与 j 不共线，且ABimj，AD nij，若 A，B，D 三点共线，则实数 m，n 应该满足的条件是()Amn1Bmn1Cmn1Dmn1解析：选 C 由 A，B，D 三点共线可设 ABAD(R)，于是有 imj(nij)nij.又 i，j 不共线，因此n1，m，即有 mn1.2在ABC 中，N 是 AC 边上一点且AN12NC，P 是 BN 上一点，若APmAB29AC，则实数 m 的值是_解析：因为AN12NC，所以AN13AC，所以APmAB29ACmAB23AN.因为 P 是BN 上一点，所以 B，P，N 三点共线，所
12、以 m231，所以 m13.答案：13考点 平面向量线性运算的创新应用【例】(2019 届洛阳市第二次联考)在ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且BD 2DC，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)若AO xAB(1x)AC，则 x 的取值范围是()A(0，1)B23，1C0，13D13，23解析 解法一：由题意，得AO xAB(1x)ACx(ABAC)AC，即AO ACx(ABAC)，CO xCB，|CO|CB|x.BD 2DC，BC3DC，则 0 x13，x 的取值范围是0，13，故选 C解法二：由题意，可设BO BC，23，1，则AO ABBO ABBC(1)ABACxAB
13、(1x)AC，则 x10，13，故选 C 答案 C名师点津与平面向量线性运算有关的范围问题：一是可利用数形分析，二是可建立目标函数转化为求值域|跟踪训练|(2019 届安徽、江南十校联考)已知扇形 OAB 的中心角为AOB90，半径为 2，C 是其弧上一点，若OC OA OB，则 的最大值为_解析：因为AOB90，扇形 OAB 的半径为 2，C 为其弧上一点，所以以 O 为坐标原点，OA，OB 所在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系 xOy，如图所示，则 A(2，0)，B(0，2)因为OC OA OB，所以OC(2，2)，且|OC|2，则(2)2(2)24，即 221，故 22212，当且仅当 22 时，等号成立故 的最大值为12.答案：12点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS