1、第四章 三角函数、解三角形第六节 正弦定理和余弦定理栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.利用正、余弦定理解三角形，判断三角形的形状，尤其是正、余弦定理的综合问题仍将是 2021 年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为 5 分.1.数学运算2.逻辑推理 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1正、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外
2、接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asin A 1 _ 2 _2Ra2 3 _；b2 4 _；c2 5 _bsin Bcsin Cb2c22bccosAc2a22accosBa2b22abcosC定理正弦定理余弦定理常见变形(1)a2Rsin A，b 6 _，c 7 _；(2)sin A a2R，sin B 8_，sin C c2R；(3)abc 9 _；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A 10 _；cos B 11 _；cos C 12 _2RsinB2RsinCb2Rsin AsinBsinCb2c2a22bcc2a2b22aca
3、2b2c22ab常用结论 三角形中的常用结论(1)ABC，AB22C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)在ABC 中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan CA，B，C2.2三角形的面积SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R 12(abc)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在ABC 中，已知 a，b 和角 B，能用正弦定理求角 A；已知 a，b 和角 C，能用余弦定理求边 c.()(2)
4、在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形()(3)在ABC 中，sin Asin B 的充分不必要条件是 AB()(4)在ABC 中，“a2b2c2”是“ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件()(5)在ABC 的角 A，B，C，边长 a，b，c 中，已知任意三个可求其他三个()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修 5P10A4 改编)在ABC 中，AB5，AC3，BC7，则BAC()A6B3C23D56答案：C3(必修 5P10B2 改编)在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_答案：等腰或直角三角形三、易错自纠4在ABC 中，若 a1
5、8，b24，A45，则此三角形有()A无解B两解C一解D解的个数不确定解析：选 B asin A bsin B，sin Bbasin A2418sin 452 23.又ab，B 有两个解，即此三角形有两解故选 B5ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 C60，b 6，c3，则A_解析：由正弦定理，得 sin Bbsin Cc 6sin 603 22，因为 0B180，所以 B45或 135.因为 bc，所以 BC，故 B45，所以 A180604575.答案：756在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cos 2Asin A，bc2，则ABC 的面积为
6、_解析：由 cos 2Asin A，得 12sin2Asin A，解得 sin A12(负值舍去)，由 bc2，可得ABC 的面积 S12bcsin A1221212.答案：12课 堂 考 点 突 破2考点一 利用正、余弦定理解三角形【例 1】(1)(2019 年全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知bsin Aacos B0，则 B_解析 解法一：依题意与正弦定理得，sin Bsin Asin Acos B0，即 sin Bcos B，则 tan B1.又 0B，所以 B34.解法二：由正弦定理得，bsin Aasin B，又 bsin Aacos B0，所以 a
7、sin Bacos B0，即 sin Bcos B，则 tan B1.又 0B，所以 B34.答案 34(2)(2019 年全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C求 A；若 2ab2c，求 sin C解 由已知得，sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得，b2c2a2bc.由余弦定理得，cos Ab2c2a22bc12.因为 0A180，所以 A60.由知，B120C，由题设及正弦定理得，2sin Asin(120C)2sin C，即 62 32 cos C12sin C2sin C，可
8、得 cos(C60)22.由于 0C1，矛盾无解；若 0sin A1，可能有两解，也可能只有一解需要比较两个边的大小，用“大边对大角”来确定 A 是两解或者一解|跟踪训练|1(2019 届河北“五个一名校联盟”模拟)已知 a，b，c 分别是ABC 的内角 A，B，C 所对的边，且 c2，C3，若 sin Csin(BA)2sin 2A，则 A_解析：在ABC 中，由 sin Csin(BA)2sin 2A 可得，sin(AB)sin(BA)2sin 2A，即 sin Acos Bcos Asin Bcos Asin Bsin Acos B4sin Acos A，cos Asin B2sin A
9、cos A，即 cos A(sin B2sin A)0，即 cos A0 或 sin B2sin A，当 cos A0 时，A2；当 sin B2sin A 时，根据正弦定理得 b2a，由余弦定理 c2b2a22abcos C，结合 c2，C3，得 a2b2ab4，a2 33，b4 33，b2a2c2，B2，A6.综上可得，A2或6.答案：2或62(2019 年北京卷)在ABC 中，a3，bc2，cos B12.(1)求 b，c 的值；(2)求 sin(BC)的值解：(1)由余弦定理 b2a2c22accos B，得b232c223c12.因为 bc2，所以(c2)232c223c12，解得
10、c5.所以 b7.(2)由 cos B12得，sin B 32.由正弦定理得，sin Ccbsin B5 314.由题意得，在ABC 中，B 是钝角，所以C 为锐角所以 cos C 1sin2C1114.所以 sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C4 37.考点二 与三角形面积有关的问题【例 2】(2019 届武汉调研)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且2bcos C2ac.(1)求 B；(2)若 b2，ac 5，求ABC 的面积解(1)由正弦定理，知 2sin Bcos C2sin Asin C，由 ABC，得 2sin Bcos C2sin(BC)s
11、in C2(sin Bcos Ccos Bsin C)sin C，即 2cos Bsin Csin C0.因为 sin C0，所以 cos B12.因为 0B，所以 B23.(2)由余弦定理 b2a2c22accos B，可知 b2(ac)22ac2accos B，因为 b2，ac 5，所以 22(5)22ac2accos 23，得 ac1.所以 SABC12acsin B121 32 34.名师点津(1)对于面积公式 S12absin C12acsin B12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化|跟踪训练|3(2
12、019 年全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 b6，a2c，B3，则ABC 的面积为_解析：解法一：因为 a2c，b6，B3，所以由余弦定理 b2a2c22accos B，得 62(2c)2c222cccos 3，得 c2 3，所以 a4 3，所以ABC 的面积 S12acsin B124 32 3sin 36 3.解法二：因为 a2c，b6，B3，所以由余弦定理 b2a2c22accos B，得 62(2c)2c222cccos 3，得 c2 3，所以 a4 3，所以 a2b2c2，所以 A2，所以ABC 的面积 S122 366 3.答案：6 34(2019
13、届辽宁五校联考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sin(AC)2sin Acos(AB)，且 sin2Asin2Bsin2C 2sin Asin B0.(1)求证：a，b，2a 成等比数列；(2)若ABC 的面积是 2，求 c.解：(1)ABC，sin(AC)2sin Acos(AB)，sin B2sin Acos C，在ABC 中，由正弦定理得，b2acos C，sin2Asin2Bsin2C 2sin Asin B0，由正弦定理可得，a2b2c2 2ab0，cos Ca2b2c22ab 22.又0c，C34，b 2a，则 b22a2a2a，a，b，2a 成等
14、比数列(2)ABC 的面积 S12absin C 24 ab2，则 ab4 2，由(1)知，b 2a，联立两式解得 a2，b2 2，c2a2b22abcos C48222 2 22 20，c2 5.考点三 平面图形中的计算问题【例 3】(2019 届佛山质检)如图所示，在平面四边形 ABCD 中，ABC34，ABAD，AB1.(1)若 AC 5，求ABC 的面积；(2)若ADC6，CD4，求 sin CAD解(1)在ABC 中，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcos ABC，即 51BC2 2BC，解得 BC 2(负值舍去)，所以ABC 的面积 SABC12ABBCsin ABC12
15、1 2 22 12.(2)设CAD，在ACD 中，由正弦定理得，ACsin ADCCDsin CAD，即 ACsin 64sin，在ABC 中，BAC2，BCA34 2 4，由正弦定理得ACsin ABCABsin BCA，即 ACsin 341sin4，两式相除，得sin 34sin 64sin4sin，即 422 sin 22 cos 2sin，整理得 sin 2cos.又 sin2cos21，故 sin 2 55，即 sin CAD2 55.名师点津平面图形中计算问题的解题关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理
16、建立已知和所求的关系|跟踪训练|5(2019届洛阳市第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，ABC 为锐角，ADBD，AC 平分BAD，BC2 3，BD3 6，BCD 的面积 S3（2 3）2.(1)求 CD；(2)求ABC解：(1)在BCD 中，S12BDBCsinCBD3（2 3）2，BC2 3，BD3 6，sin CBD12.ABC 为锐角，CBD30.在BCD 中，由余弦定理得，CD2BC2BD22BCBDcos CBD(2 3)2(3 6)222 3(3 6)32 9，CD3.(2)在BCD 中，由正弦定理得BCsin BDCCDsin CBD，即2 3sin BDC3sin 30
17、，解得 sin BDC 33.BCBD，BDC 为锐角，cos BDC 63.在ACD 中，由正弦定理得ACsin ADCCDsin CAD，即ACcos BDC3sin CAD.在ABC 中，由正弦定理得ACsin ABCBCsin BAC，即ACsin ABC2 3sin BAC.AC 平分BAD，CADBAC由得sin ABCcos BDC 32 3，解得 sin ABC 22.ABC 为锐角，ABC45.考点 解三角形的创新交汇综合问题【例】(2020 届陕西摸底)在ABC 中，已知内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m(3，2sin B)，n2cos2B21，cos
18、2B，mn，B 为锐角(1)求角 B 的大小；(2)若 b2，求ABC 的面积的最大值解(1)因为 m(3，2sin B)，n2cos2B21，cos 2B，mn，所以 3cos 2B2sin B2cos2 B21 0，所以 3cos 2Bsin 2B0，所以 2sin2B3 0.又 B 为锐角，所以 B3.(2)由(1)知 B3，在ABC 中，b2，由正弦定理 asin Acsin C bsin B，得 a 43sin A，c 43sin C又 ACB23，所以 SABC12acsin B12 43sin A 43sin23 A 32 43sin A32 cos A12sin A 4332
19、sin Acos A12sin2A 4334 sin 2A1cos 2A4 4334 sin 2Acos 2A4 13 23sin2A6 13，当且仅当 2A62，即 A3时，ABC 的面积有最大值，为 3.名师点津涉及三角形中的最值、范围问题多与基本不等式求最值及三角函数的有界性交汇，求解时注意交汇知识应用的条件|跟踪训练|(2020 届贵阳摸底)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2bcos Bacos Cccos A.(1)求角 B 的大小；(2)若 b2，求ABC 面积的最大值解：(1)2bcos Bacos Cccos A，由正弦定理得 2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A，2sin Bcos Bsin(AC)sin(AC)sin B，又 sin B0，2cos B1，cos B12.又 B(0，)，B3.(2)b2，B3，由余弦定理得 4b2a2c22accos Ba2c2ac2acacac，即 ac4(当且仅当 ac2 时“”成立)，SABC12acsin B 34 ac 34 4 3，当且仅当 ac2 时，ABC 的面积取得最大值 3.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS