1、2016-2017学年新疆昌吉州奇台一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、单项选择题1.复数的共轭复数是（）AiBiC1D12复数m（3+i）（2+i）在复平面内对应的点在第四象限，则m的取值范围是（）A.B.C.D3二项式的展开式中的常数项为（）A120B120C160D1604计算： =（）ABCD5有3个旅游团分别从奇台县江布拉克、古城公园、靖宁公园、恐龙沟、魔鬼城5个风景点中选择一处游览，不同的选法有（）A15B243C125D606曲线在点M（，0）处的切线方程为（）Ay=By=Cy=Dy=7已知数列an的前n项和为Sn，a1=，满足Sn+2=an（n2），则Sn=（）ABCD8某学
2、校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（）A60B90C150D1209用数学归纳法证明1+2+3+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）Ak2+1B（k+1）2CD（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）210已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（e）+lnx，则f（e）=（）A1B1Ce1De11用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，29的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同
3、的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种123456789A18B36C72D10812定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意xR都有f（x），则不等式f（x2）的解集为（）A（1，2）B（0，1）C（1，+）D（1，1）一、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）13设函数f（x）=x3+log2x， = 14（x ）dx= 15设函数f（x）=x（1+x）n，则+2+3+4+n+（n+1）= 16已知实数a，b满足2a25lnab=0，cR，则的最小值为 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分其中17题10分、18、19、20、21、22每题各12分，计
4、60分）17（10分）设函数f（x）=2x33（a+1）x2+6ax+8，其中aR已知f（x）在x=3处取得极值（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在3，4上的最大值与最小值18（12分）向上抛掷两个质地均匀的骰子记向上点数之和为X（1）求P（X=4）（2）求X的分布列19（12分）证明当x1时，ex1ln（x+1）20（12分）设f（x）=a（x5）2+6lnx，其中aR，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴相交于点（0，6）（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值21（12分）如图，直线y=kx分抛物线y=xx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值22
5、（12分）已知函数f（x）=ex，xR（）求函数f（x）在x=1处的切线方程；（）若m0，讨论函数g（x）=f（x）m（x1）2零点的个数2016-2017学年新疆昌吉州奇台一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题1.复数的共轭复数是（）AiBiC1D1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解： =i=+i复数=（+i）（+i）=1，其共轭复数是1故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2复数m（3+i）（2+i）在复平面内对应的点在第四象限，则m的取值范围是
6、（）A.B.C.D【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义、不等式的解法即可得出【解答】解：m（3+i）（2+i）=（3m2）+（m1）i在复平面内对应的点（3m2，m1）在第四象限，则，解得故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3二项式的展开式中的常数项为（）A120B120C160D160【考点】DA：二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1=26r（1）r=（1）r26r令 62r=0，解得
7、 r=3，故展开式中的常数项为23=160，故选D【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题4计算： =（）ABCD【考点】67：定积分【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解： =（x2+）|=（9+）（1+1）=，故选：A【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题5有3个旅游团分别从奇台县江布拉克、古城公园、靖宁公园、恐龙沟、魔鬼城5个风景点中选择一处游览，不同的选法有（）A15B243C125D60【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分析可得每个旅游团都有5种选择方法，根据乘法原理，计算即可得答案【
8、解答】解：根据题意，每个旅游团从5个风景点中选择一处游览，即每个旅游团都有5种选择方法，又由一共有3个旅游团，则一共有555=125种选择方法；故选：C【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意是旅游团选择的风景点可以重复6曲线在点M（，0）处的切线方程为（）Ay=By=Cy=Dy=【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程【解答】解：曲线的导数为y=，可得曲线在点M（，0）处的切线斜率为：k=，即有曲线在点M（，0）处的切线方程为y=（x），即为y=x+1故选：B【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，
9、正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于中档题7已知数列an的前n项和为Sn，a1=，满足Sn+2=an（n2），则Sn=（）ABCD【考点】8H：数列递推式【分析】Sn+2=an（n2），+2=an（n2），Snan=Sn1，可得Sn=，由a1=，即S1=，可得S2=，同理可得：S3=，猜想：Sn=利用数学归纳法来证明：即可得出【解答】解：Sn+2=an（n2），Snan=Sn1，Sn=，a1=，即S1=，S2=，同理可得：S3=，猜想：Sn=下面用数学归纳法来证明：当n=1时，显然成立；假设当n=k时，有Sk=，则Sk+1=因此n=k+1时，猜想成立综上可得：nN*，Sn=成立故选：B【
10、点评】本题考查了数列递推关系、数学归纳法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（）A60B90C150D120【考点】D3：计数原理的应用【分析】先分组5个尖子生分为（2，2，1），再分配即可【解答】解：5个尖子生分为（2，2，1），故其分组的方法有=15种，再分配给3名教师，共有15A33=90种，故选：B【点评】本题主要考查分组分配问题，关键是掌握分组的方法，属基本题9用数学归纳法证明1+2+3+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的
11、基础上加上（）Ak2+1B（k+1）2CD（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2【考点】RG：数学归纳法【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+k2+k2+1+k2+2+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2故选D【点评】此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选
12、择填空中出现，属于基础题目10已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（e）+lnx，则f（e）=（）A1B1Ce1De【考点】63：导数的运算【分析】首先对等式两边求导得到关于f（e）的等式解之【解答】解：由关系式f（x）=2xf（e）+lnx，两边求导得f（x）=2f（x）+，令x=e得f（e）=2f（e）+e1，所以f（e）=e1；故选：C【点评】本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f（x）的等式，对x取e求值11用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，29的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的
13、小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种123456789A18B36C72D108【考点】D3：计数原理的应用【分析】分析图形中的3，5，7，有3种可能，当3，5，7，为其中一种颜色时，共6种可能，即可得出结论【解答】解：首先看图形中的3，5，7，有3种可能，当3，5，7，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能，共6种可能4，8及9，与2，6及1，一样有6种可能并且与2，6，1，颜色无关当3，5，7换其他的颜色时也是相同的情况符合条件的所有涂法共有366=108种，故选：D【点评】本题是一个排列组合的应用，考查分别计数原理，考查分类原理，是
14、一个限制元素比较多的题目，解题时注意分类，做到不重不漏，属于中档题12定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意xR都有f（x），则不等式f（x2）的解集为（）A（1，2）B（0，1）C（1，+）D（1，1）【考点】63：导数的运算；7E：其他不等式的解法【分析】所求解的不等式是抽象不等式，是与函数有关的不等式，函数的单调性和不等关系最密切由f（x），构造单调递减函数h（x）=f（x），利用其单减性求解【解答】解：f（x），f（x）0，设h（x）=f（x），则h（x）=f（x）0，h（x）是R上的减函数，且h（1）=f（1）=1=不等式f（x2），即为f（x2）x2，即h（x2）h（1
15、），得x21，解得1x1，原不等式的解集为（1，1）故选：D【点评】本题考查抽象不等式求解，关键是利用函数的单调性，根据已知条件和所要解的不等式，找到合适的函数作载体是关键一、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）13设函数f（x）=x3+log2x， =3+【考点】6F：极限及其运算【分析】根据题意，函数=f（1），对f（x）求导即可【解答】解：函数f（x）=x3+log2x，f（x）=3x2+，=f（1）=3+故答案为：3+【点评】本题考查了导数的定义与计算问题，是基础题14（x ）dx=【考点】67：定积分【分析】函数的图象是以（1，0）为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线y=x，
16、则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分【解答】解：如图， =故答案为【点评】本题考查了定积分，考查了微积分基本定理，解答此题的关键是正确画出图形，是中低档题型15设函数f（x）=x（1+x）n，则+2+3+4+n+（n+1）=（n+2）2n1【考点】DC：二项式定理的应用【分析】由，得+2+3+4+n+（n+1）=+（）=+n（）=2n+n2n1即可【解答】解：+2+3+4+n+（n+1）=+（）=+n（）=2n+n2n1=（n+2）2n1故答案为：（n+2）2n1【点评】本题考查了的应用，即二项式展开式系数之和的应用，属于中档题16已知实数a，b满足2a25lnab=0，cR，则的最小值为
17、【考点】4H：对数的运算性质【分析】分别设y=f（x）=2x25lnx（x0），y=x，则表示曲线上y=f（x）的点到直线y=x的距离，则的最小值表示为和直线y=x平行的曲线的切线的之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线间的距离公式即可求出答案【解答】解：分别设y=f（x）=2x25lnx（x0），y=x，则表示曲线上y=f（x）的点到直线y=x的距离，则的最小值表示为和直线y=x平行的曲线的切线的之间的距离，f（x）=2x25lnx，f（x）=4x，f（a）=4a=1，解得a=1，f（1）=2=b，曲线过点（1，2）的切线方程为y2=（x1），即x+y3=0，直线x+y3=0与直线y+x
18、=0的距离d=，的最小值为，故答案为：【点评】本题考查了导数的几何意义和平行线之间的距离公式，关键是构造曲线和直线，属于中档题三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分其中17题10分、18、19、20、21、22每题各12分，计60分）17（10分）（2017春奇台县校级期中）设函数f（x）=2x33（a+1）x2+6ax+8，其中aR已知f（x）在x=3处取得极值（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在3，4上的最大值与最小值【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，计算f（3）=0，求出a的值，从而求出函数
19、的解析式即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可【解答】解：（1）f（x）=6x26（a+1）x+6a，由f（x）在x=3处取得极值，得f（3）=5418（a+1）+6a=0，解得：a=3，故f（x）=2x312x2+18x+8；（2）由（1）f（x）=6x224x+18=6（x1）（x3），令f（x）0，解得：x3或x1，令f（x）0，解得：1x3，故f（x）在（，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+）递增；故f（x）max=16，f（x）min=100【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题18（12分）（2017
20、春奇台县校级期中）向上抛掷两个质地均匀的骰子记向上点数之和为X（1）求P（X=4）（2）求X的分布列【考点】CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（1）抛掷两颗质地均匀骰子的可能结果有66=36（种），计算向上的点数之和X为4的概率值；（2）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列【解答】解：（1）抛掷两颗质地均匀骰子，基本事件数为66=36（种）；向上的点数之和X为4的结果有：（1，3），（2，2），（3，1）共3种，所以，所求事件的概率为P（X=4）=；（2）由题意知X的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12；且P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）
21、=，P（X=5）=，P（X=6）=，P（X=7）=，P（X=8）=，P（X=9）=，P（X=10）=，P（X=11）=，P（X=12）=；X的分布列为：X2345 6 78 9101112P 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列问题，解题时要注意等可能事件概率公式的合理运用19（12分）（2017春奇台县校级期中）证明当x1时，ex1ln（x+1）【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】令f（x）=ex1ln（x+1），f（0）=0f（x）=ex，在（1，+）上单调递增f（0）=0，可得函数f（x）在x=0时取得极小值即最小值即可证明【解答】证明：令f（x）=ex1ln（x+
22、1），f（0）=110=0f（x）=ex，在（1，+）上单调递增，f（0）=0，1x0时，f（x）0；，0x时，f（x）0函数f（x）在x=0时取得极小值即最小值f（x）f（0）=0当x1时，ex1ln（x+1）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）（2013重庆）设f（x）=a（x5）2+6lnx，其中aR，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴相交于点（0，6）（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条
23、件；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数f（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值【解答】解：（1）因f（x）=a（x5）2+6lnx，故f（x）=2a（x5）+，（x0），令x=1，得f（1）=16a，f（1）=68a，曲线y=f（x）在点（1，f（1
24、）处的切线方程为y16a=（68a）（x1），由切线与y轴相交于点（0，6）616a=8a6，a=（2）由（I）得f（x）=（x5）2+6lnx，（x0），f（x）=（x5）+=，令f（x）=0，得x=2或x=3，当0x2或x3时，f（x）0，故f（x）在（0，2），（3，+）上为增函数，当2x3时，f（x）0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转
25、化思想属于中档题21（12分）（2016春邯郸期中）如图，直线y=kx分抛物线y=xx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值【考点】6G：定积分在求面积中的应用【分析】先由得，根据直线y=kx分抛物线y=xx2与x轴所围成图形为面积相等的两个部分得01k（xx2）kxdx=01（xx2）dx下面利用定积分的计算公式即可求得k值【解答】解：由得（0k1）由题设得01k（xx2）kxdx=01（xx2）dx即01k（xx2）kxdx=（）|01=（1k）3=k=1直线方程为y=（1）x故k的值为：【点评】研究平面图形的面积的一般步骤是：（1）画草图；（2）解方程组，求出交点坐标；（3）确定被
26、积函数及上、下限；（4）进行计算22（12分）（2016延庆县一模）已知函数f（x）=ex，xR（）求函数f（x）在x=1处的切线方程；（）若m0，讨论函数g（x）=f（x）m（x1）2零点的个数【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；52：函数零点的判定定理【分析】（）求得f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（）由题意可得m=，令h（x）=，求得导数和单调区间、极值，由图象讨论m的范围，即可得到所求零点的个数【解答】解：（）函数f（x）=ex的导数为f（x）=ex，函数f（x）在x=1处的切线斜率为k=e，切点为（1，e），可得函数f（x）在x=1处的切线方程为ye=e（x1），即为y=ex；（）若m0，f（x）m（x1）2=0，可得m=，令h（x）=，可得h（x）=，当x3或x1时，h（x）0，h（x）递增；当1x3时，h（x）0，h（x）递减即有x=3处取得极小值，且为；当0m时，有1个交点，即为1个零点；当m=时，有2个交点，即为2个零点；当m时，有3个交点，即为3个零点【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想的运用，注意运用参数分离和构造函数，判断单调性和极值，考查运算能力，属于中档题
