1、2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和【自主预习】主题1:等比数列的前n项和 1.已知数列1,21,22,23,如何求其前64项和S64=1+21+22+23+263?提示:用2乘以等式的两边,得:2S64=21+22+23+263+264,作差得S64=264-1.2.参照1的求法,如何求等比数列an的前n项和Sn?用数学语言描述:设等比数列an的首项是a1,公比是q,前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,则qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn,由-得(1-q)Sn=a1-a1qn,当q1时,Sn=当q=1时,Sn=na1.n1a 1 q1 q，等
2、比数列的前n项和公式 Sn=_或Sn=_ 11nnaq1aa q(q1)1 q，1n1naq1a 1 q.(q1)1 q，主题2:等比数列前n项和的性质 给定等比数列an:1,2,22,23,2n,1.计算an的前n项和Sn,观察前n项和你能发现什么?提示:Sn=2n-1,Sn是由一个关于n的指数式与一个常数的和构成的.nn1a 1 q11 21 q1 22.计算S4,S8,S12,并判断S4,S8-S4,S12-S8是否构成等比数列.用数学语言描述:S4=24-1,S8=28-1,S12=212-1.41(12)1281(1 2)1 2121(12)12S8-S4=28-24=24(24-1
3、),S12-S8=212-28=28(24-1),所以 =24.故S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.84128484SSSSSSS等比数列前n项和的性质(1)当q1时,Sn=-qn+,若设A=则Sn=-Aqn+A,故Sn是由一个关于n的指数式和一个常数 的和构成的,且指数式的系数与常数项互为相反数.(2)若等比数列an的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成公比为_的等比数列.n1a(1 q)1 q1a1 q1a1 q1a,1 qqm【深度思考】结合教材P55等比数列前n项和公式的推导过程,你还能用其他方法推导吗?方法一:Sn=a1+a2+an=a1+a1q+a1q2
4、+a1qn-1(等比数列定义)=a1+q(a1+a1q+a1q2+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-a1qn-1)=a1+qSn-a1qn(方程思想),所以(1-q)Sn=a1(1-qn),因为q1,所以Sn=n1a 1 q.1 q方法二:Sn=a1+a2+an=a1+a1q+a2q+an-1q(等比数列定义)=a1+q(a1+a2+an-1)=a1+q(Sn-an)=a1+qSn-anq(方程思想),所以(1-q)Sn=a1-anq,因为q1,所以Sn=n1n1aa qa(1 q).1 q1 q方法三:q=(等比数列定义)=(比例的性质)所以q(Sn-an)=Sn-a1(方程
5、思想),(1-q)Sn=a1-anq.因为q1,所以Sn=32n12n 1aaaaaa 23n12n 1aaaaaa n1nnSaSa，n11na 1 qaa q.1 q1 q【预习小测】1.等比数列 ,的前10项和等于()1 1 12 4 8，15111 0231A.B.C.D.1 0245121 024512【解析】选C.因为数列 ，是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 1 1 12 4 8，12121010111()1 02322S.11 024122.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于()A.31 B.33 C.35 D.37【解析】选B.由S5=所以a1=所以
6、S10=(25-1)(1+25)=33.5511a 1 qa 1 211 q1 2，131，101a 1 q11 q313.(2016唐山高二检测)在等比数列an中,a1+a3+a5=21,a2+a4+a6=42,则S9=()A.255 B.256 C.511 D.512【解析】选C.依题意 =q=2,a1+a3+a5=a1+a1q2+a1q4=21,解得a1=1,故S9=511.246135aaaaaa91 21 24.在等比数列an中,q=2,n=5,Sn=62,则a1=_.【解析】因为q=2,n=5,Sn=62,所以 =62,即 =62,所以a1=2.答案:2 n1a 1 q1 q51a
7、 12125.已知Sn是等比数列an的前n项和,若S4=1,S8=3,则S12=_.【解析】由Sn为等比数列的前n项和,所以(S8-S4)2=S4(S12-S8)即(3-1)2=1(S12-3),所以S12=7.答案:7 6.已知等比数列an中,a3=-12,S3=-9,求数列an的前n项和Sn.(仿照教材P56例1的解析过程)【解析】由已知得 得 即q2+4q+4=0,所以q=-2,a3=a1q2=a1(-2)2=-12,所以a1=-3.所以Sn=(-2)n-1=(-1)n2n-1.231231aa q12Sa 1 qq9 ，221 qq3,q4nn1a 1 q3121 q12 【互动探究】
8、1.等比数列an的前n项和为Sn=an+b(a0,a1),则数列an一定是等比数列吗?提示:不一定.当n2时,an=an-an-1=an-1(a-1),因为a不等于0和1,所以从第二项起一定为等比数列,若b=-1,则该数列为等比数列,否则不是.2.一个数列an的前n项和写成Sn=Aqn+B(q1),若此数列是等比数列,则A+B=0吗?反之成立吗?提示:等于.反之也成立.因为Sn=则常数项与qn的系数互为相反数,即A+B=0.反之,若A+B=0,则数列是等比数列.n1n11a 1 qaaq,1 q1 q1 q当n=1时,a1=S1=Aq+B=A(q-1).当n2时,an=Sn-Sn-1=Aqn-
9、Aqn-1=(q-1)Aqn-1,又因为a1=A(q-1)满足an=(q-1)Aqn-1,所以an=A(q-1)qn-1,所以an是等比数列.3.在等比数列an中如何证明:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成公比为qm的等比数列?提示:Sm=a1+a2+am,S2m-Sm=am+1+am+2+a2m=qm(a1+a2+am),S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+a3m=q2m(a1+a2+am),显然Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等比数列,且新等比数列首项为Sm,公比为qm.【探究总结】知识归纳:方法总结:(1)数列an是等比数列,则Sn=Aqn-A(A0).(2)若等比数列an共
10、有2n项,则 =q.(3)如果an为公比为q的等比数列,对m,pN*有Sm+p=Sm+qmSp.SS偶奇注意事项:(1)当q1时,前n项和公式的推导可用错位相减法.(2)求等比数列an的前n项和时,要注意公比是否为1,要分情况选取合适的公式求解.【题型探究】类型一:前n项和的基本计算【典例1】(1)公比不为1的等比数列an的前n项和为 Sn,且-2a1,-a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4=()A.-5 B.0 C.5 D.7 12(2)(2016重庆高一检测)已知an是由正数组成的等比数列,Sn表示an的前n项的和.若a1=3,a2a4=144,则S10的值是()A.511 B.102
11、3 C.1533 D.3069【解题指南】(1)由-2a1,-a2,a3成等差数列,求公比q,再利用前n项和公式求解.(2)由a2a4=144及a1=3,求得q,再利用前n项和公式求解.12【解析】(1)选A.设公比为q(q1),因为-2a1,-a2,a3成等差数列且a1=1,所以-2+q2=-q,即q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(舍去),所以S4=12412155.1 23 (2)选D.在等比数列中,由a2a4=144,可得 =a2a4=144,得a3=12,又a1=3,所以q2=4,解得q=2,所以S10=23a31aa10101a 1 q3 1 23 069.1 q1 2【规律总
12、结】等比数列前n项和基本量计算的方法及注意事项(1)基本方法:在等比数列an的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,若已知其中三个,求其余两个时,可利用通项公式和求和公式,列出方程组求解.(2)注意事项:要注意整体思想的运用,如qn,都可看作一个整体.1a1 q【巩固训练】(1)等比数列an中,首项a1=8,公比 q=,那么它的前5项的和S5的值是()1231333537A.B.C.D.2222(2)(2015安徽高考)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于_.【解题指南】(1)直接利用等比数列前n项和公式 Sn=(q1)求解.
13、(2)设出公比q,先由a1+a4=9,a2a3=8求出a1和q,再由等比数列求和公式Sn=求解.n1a 1 q1 qn1a 1 q1 q【解析】(1)选A.由Sn=所以S5=(2)设公比为q,由题得 所以Sn=2n-1.答案:2n-1 n1a 1 q1 q，5181()312.12123111213aa q9a1,q2a q8，n1212【补偿训练】(2016商丘高二检测)在递增的等比数列an中,已知a1+an=34,a3an-2=64,且前n项和为Sn=42,则n=()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选A.因为a1+an=34,a1an=a3an-2=64,所以 a1=2,an=32=
14、a1qn-1,所以Sn=42,所以q=4,所以n=3.n1a 1 q1 q类型二:等比数列前n项和性质的简单应用【典例2】(1)在等比数列an中,已知Sn=48,S2n=60,则S3n=_.(2)已知等比数列an的前4项和为1,且公比q=2,求前12项的和.【解题指南】(1)由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列求S3n.(2)根据S4,S8-S4,S12-S8的关系求S12.【解析】(1)由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列得(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),即(60-48)2=48(S3n-60),所以S3n=63.答案:63(2)因为S8-S4=a5+a6+a
15、7+a8=q4S4=24=16,所以S8=17.又因为S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,所以(S8-S4)2=S4(S12-S8),即162=S12-17,所以S12=273.【延伸探究】1.(改变问法)典例(2)条件不变,求等比数列an的通项公式.【解析】由S4=1,q=2,得 即(24-1)a1=1,所以a1=.所以an=a1qn-1=2n-1.41a 1 q11 qq2，1151152.(变换条件、改变问法)典例(2)条件“前4项和为1,且公比q=2”改为“前4项和为S4,公比为q”,探究S4与S12的关系.【解析】由S12=S4+a5+a6+a7+a12=S4+q4(a1+a2
16、+a8)=S4+q4(S4+a5+a6+a7+a8)=S4+q4S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4+q8S4=S4(1+q4+q8).【规律总结】等比数列前n项和性质应用的关注点(1)在解决等比数列前n项和问题时,若条件含有奇数项和与偶数项和的时候,如果项数为偶数,可考虑利用奇数项和与偶数项和之间的关系求解.(2)当已知条件含有片段和时,要考虑性质Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等比数列.【补偿训练】各项都是正数的等比数列an,前n项和记为Sn,若S10=10,S30=70,求S40.【解析】由题意知q1,由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比为
17、q10的等比数列,则 S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10,即q20+q10-6=0,得q10=2或q10=-3(舍),所以S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10(1+2+22+23)=150.类型三:等比数列前n项和在生活中的应用【典例3】(1)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是:“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减
18、半.”如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞之和,则Sn=_尺.(2)(2016邯郸高二检测)某单位从市场上购进一辆新型轿车,购价为36万元,该单位使用轿车时,一年需养路费、保险费、汽油费、年检费等约6万元,同时该车的年折旧率为10%(即这辆车每年减少它价值的10%,当年折旧费用也为该年花费在轿车上的费用).试问:使用多少年后,该单位花在轿车上的费用就达36万元?并说明理由.【解题指南】(1)转化为两个等比数列前n项和问题求解.(2)每年的折旧费构成了一个等比数列,将问题转化为一个求和问题,再代值检验求解.【解析】(1)大老鼠每日打洞的距离是首项为1公比为 2的等比数列,小老鼠每日打洞的距离是
19、首项为1公比 为 的等比数列,故Sn=答案:2n-+1 12nnnn 111()1 21221.11 2212n 112(2)用an表示该单位第n年花费在轿车上的费用,则 a1=6+360.1,a2=6+(360.9)0.1,a3=6+(360.92)0.1,类推可得an=6+(360.9n-1)0.1,所以Sn=a1+a2+an=6n+360.1(1+0.9+0.92+0.9n-1)=6n+3.6 =6n+36(1-0.9n).令Sn=36,得0.9n=,n1 0.91 0.9n6因为1n0,即 令 =x,代入上式得:5x2-7x+20,得x1(舍),即 由此得n5,答:至少经过5年,旅游业
20、的总收入才能超过总投入.nn541 600()14 000 1()0,45n4()525n42(),55【补偿训练】某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?【解析】根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率 相同.所以,从今年起,每年的销售量组成一个等比数列an,其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000.于是得到 =30000.n5 000 1 1.11 1.1整理,得1.1n=1.6,两边取对数,得nlg1.1=lg1.6.用计算器算得n=5(年).答:大约5年可以使总销量达到30000台.lg 1.60.204lg 1.10.041