1、第四章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解任意角的概念.2.了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.任意角三角函数的定义及应用是 2021 年高考考查的热点，题型将是选择题或填空题，分值为 5 分.1.数学运算2.数学建模 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着 1 _从一个位置旋转到另一个位置所成的图形端点(2)角的分类按旋转方向 正角按 2 _方向旋转而成
2、的角负角按 3 _方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上逆时针顺时针(3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S 4_2弧度制(1)定义：长度等于 5 _的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角弧度记作 rad.|k360，kZ半径长(2)公式角 的弧度数公式|6 _ 角度与弧度的换算1 7 _ rad0.017 45 rad，1 rad180 5718 弧长公式l 8 _ 扇形面积公式S 9 _12|r2lr180|r12lr3.任意角的三角函
3、数三角函数正弦余弦正切定义设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么10 _叫做的正弦，记作 sin 11 _叫做 的余弦，记作 cos 12 _叫做 的正切，记作 tan yxyx三角函数正弦余弦正切各象限符号 13 _ 14 _ 15 _ 16 _ 17 _ 18 _ 19 _ 20 _ 21 _ 22 _ 23 _ 24 _ 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 正正正正负负负负正负正负三角函数正弦余弦正切三角函数线 有向线段 25 _为正弦线，有向线段 26 _为余弦线，有向线段 27 _为正切线 MPOMAT常用结论(1)若 0，2，则 tan sin.(2)角度制
4、与弧度制可利用 180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等()(5)若 0，2，则 tan sin.()(6)若 为第一象限角，则 sin cos 1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、走进教材2(必修 4P12 例 2 改编)已知角 的终边过点 P(8m，3)，且 cos 45，则 m 的值为()A12
5、B12C 32D 32答案：A3(必修 4P4 例 1 改编)在7200范围内，所有与角 45终边相同的角 构成的集合为_答案：675，315三、易错自纠4下列说法正确的是()A三角形的内角必是第一、二象限角B第一象限角必是锐角C不相等的角终边一定不相同D若 2k(kZ)，则 和 终边相同答案：D5若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(00 时，r5a，sin 35，cos 45；当 a0 时，r5a，sin 35，cos 45.故 sin cos 15或15.答案：15课 堂 考 点 突 破2考点一 象限角与终边相同的角|题组突破|1若角 是第二象限角，则2是()A第一象限
6、角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角解析：选 C 是第二象限角，22k2k，kZ，4k22k，kZ.当 k 为偶数时，2是第一象限角；当 k 为奇数时，2是第三象限角 2是第一或第三象限角故选 C2集合k4k2，kZ 中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选 C 当 k2n(nZ)时，2n42n2(nZ)，此时 的终边和42的终边一样；当 k2n1(nZ)时，2n42n2(nZ)，此时 的终边和 42的终边一样，结合选项知选 C3与2 010终边相同的最小正角是_解析：因为2 010(6)360150，所以 150与2 010终边相同，又终边相同的两个角相差 360的整数倍，
7、所以在 0360中只有 150与2 010终边相同，故与2 010终边相同的最小正角是 150.答案：150名师点津1判断象限角的 2 种方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为 k360(00)，弧长为 l，则由扇形面积公式可得，212|r2124r2，解得 r1，所以 l|r4，所以所求扇形的周长为 2rl6.名师点津有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时
8、，要合理地利用圆心角所在的三角形考点 三角函数的定义多维探究三角函数的定义是考查热点，常见的命题角度有：(1)利用三角函数的定义求值；(2)判断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线比较大小或解不等式命题角度一 利用三角函数的定义求值【例 1】(1)(2019 届南昌二中模拟)已知角 终边上一点 P 的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则 sin 等于()Asin 2Bsin 2Ccos 2Dcos 2(2)(2019 届许昌调研)设 是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且 cos 15x，则 tan _解析(1)因为 r（2sin 2）2（2cos 2）22，由任意角的三角函数的
9、定义，得 sin yrcos 2.(2)因为 是第二象限角，所以 cos 15x0，即 x0.又 cos 15xxx216，解得 x3，所以 tan 4x43.答案(1)D(2)43名师点津定义法求三角函数值的三种情况(1)已知角 终边上一点 P 的坐标，可求角 的三角函数值先求 P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解(2)已知角 的某三角函数值，可求角 终边上一点 P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值(3)已知角 的终边所在的直线方程或角 的大小，根据三角函数的定义可求角 终边上某特定点的坐标命题角度二 判断三角函数值的符号【例 2】(1)sin 2cos 3tan 4
10、 的值()A小于 0B大于 0C等于 0D不存在(2)若 sin tan 0，且cos tan 0，则角 是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析(1)因为22340，cos 30.所以 sin 2cos 3tan 40，故选 A(2)由 sin tan 0，可知 sin，tan 异号，则 为第二象限角或第三象限角由cos tan 0，可知 cos，tan 异号，则 为第三象限角或第四象限角综上可知，为第三象限角.答案(1)A(2)C名师点津三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin，cos，tan)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的
11、交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况命题角度三 利用三角函数线比较大小或解不等式【例 3】sin 1，cos 1，tan 1 的大小关系是()Asin 1cos 1tan 1 Btan 1sin 1cos 1Ccos 1tan 1sin 1 Dcos 1sin 14 rad，因为 OM 22MPAT，所以 cos 1sin 1tan 1.故选 D 答案 D名师点津利用单位圆解三角不等式(组)或比较大小的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置(2)根据不等式(组)定出角的范围(3)求交集，找单位圆中公共的部分(4)写出角的表达式|跟踪训练|1已知角 的始边与 x 轴的非负半轴重合，
12、顶点在坐标原点，角 终边上的一点 P到原点的距离为 2，若 4，则点 P 的坐标为()A(1，2)B(2，1)C(2，2)D(1，1)解析：选 D 设点 P 的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得sin4 y2，cos4 x2，即x 2cos41，y 2sin41.故点 P 的坐标为(1，1)2满足 cos 12的角 的集合为_解析：作直线 x12交单位圆于 C，D 两点，连接 OC，OD，则OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 终边的范围，故满足条件的角 的集合为 2k232k43，kZ.答案：2k232k43，kZ考点 以三角函数定义为背景的创新题【例】如图所示，质点 P 在
13、半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0(2，2)，角速度为 1，那么点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为()解析 因为 P0(2，2)，所以P0Ox4.因为角速度为 1，所以按逆时针旋转时间 t 后，得POP0t，所以POxt4.由三角函数定义，知点 P 的纵坐标为 2sint4，因此 d2sint4.令 t0，则 d2sin4 2.当 t4时，d0，故选 C 答案 C名师点津紧扣三角函数定义，利用时间 t 的特殊值判断结果|跟踪训练|已知 A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点 O)上任意一点，将射线 OA 绕 O 点逆时针旋转 30，交单位圆于点 B(xB，yB)，则 xAyB 的取值范围是()A2，2B 2，2 C1，1D12，12解析：选 C 设由 x 轴正方向逆时针转到射线 OA 的角为，根据三角函数的定义得xAcos，yBsin(30)，所以 xAyBcos sin(30)32 sin 12cos sin(150)1，1点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS