1、第三章 导数及其应用第二节 导数的应用第二课时 导数与函数的极值、最值栏目导航12课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 堂 考 点 突 破1考点一 运用导数解决函数的极值问题多维探究函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中、高档题常见的命题角度有：(1)知图判断函数极值；(2)已知函数求极值；(3)已知函数极值情况求参数值(范围)命题角度一 知图判断函数极值【例 1】(2019 届赤峰模拟)设函数 f(x)在定义域 R 上可导，其导函数为 f(x)，若函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数 f(x)有极大值
2、 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)解析 由题图可知，当 x0；当 x2 时，f(x)0；当2x1 时，f(x)0；当 1x2 时，f(x)2 时，f(x)0.由此可得函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值故选 D 答案 D命题角度二 已知函数求极值【例 2】(1)(2019 届昆明市高三诊断测试)已知函数 f(x)(x2m)ex，若函数 f(x)的图象在 x1 处切线的斜率为 3e，则 f(x)的极大值是()A4e2B4e2
3、Ce2De2解析 f(x)(x22xm)ex.由题意知，f(1)(3m)e3e，所以 m0，所以 f(x)(x22x)ex.当 x0 或 x0，f(x)是增函数；当2x0 时，f(x)0，f(x)是减函数所以当 x2 时，f(x)取得极大值，f(2)4e2.故选 A 答案 A(2)(2019 届兰州市高三诊断)已知函数 f(x)13x312(a2a2)x2a2(a2)x，aR.当 a1 时，求函数 yf(x)的单调区间；求函数 yf(x)的极值点解 当 a1 时，f(x)13x3x2x，f(x)x22x1(x1)20，函数 f(x)是 R 上的增函数，单调递增区间为(，)，无单调递减区间f(x
4、)x2(a2a2)xa2(a2)(xa2)x(a2)，当 a1 或 a2 时，a2a2，f(x)0 恒成立，函数 f(x)为 R 上的增函数，无极值点当 a2 时，a2a2，可得当 x(，a2)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增；当 x(a2，a2)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增当 xa2 时，函数 f(x)有极大值 f(a2)；当 xa2 时，函数 f(x)有极小值 f(a2)当1a2 时，a20，函数 f(x)单调递增；当 x(a2，a2)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增当 xa2 时，函数 f(x)有极小值 f(a2)；当 xa2 时，函数 f(x)有极大值 f(a2)
5、综上，当 a1 或 a2 时，函数 f(x)无极值点；当 a2 时，函数 f(x)的极大值点为 xa2，极小值点为 xa2；当1a2 时，函数 f(x)的极小值点为 xa2，极大值点为 xa2.命题角度三 已知函数极值情况求参数值(范围)【例 3】(1)(2019 届山东省、湖北省部分重点中学质检)已知函数 f(x)xln xm2x2x 有极值，则实数 m 的取值范围是()A0，1eB，1eC0，1eD，1e解析 解法一：因为 f(x)xln xm2x2x，则 f(x)ln xmx.因为函数 f(x)有极值，即 f(x)ln xmx 有变号零点，即函数 g(x)ln xx 与函数 ym 在(0
6、，)上的图象有交点(除去相切的情况)因为 g(x)1ln xx2，所以 g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，所以 g(x)maxg(e)ln ee 1e，画出函数 g(x)的大致图象，如图所示，若 g(x)ln xx 与 ym 的图象有交点(除去相切的情况)，则 m1e，故选 B解法二：当 m0 时，f(x)xln xx，f(x)ln x，当 0 x1 时，f(x)1 时，f(x)0，故 f(x)xln xx 在 x1 处取得极值，符合题意，排除 A、C；当 m1e时，f(x)xln x 12ex2x，f(x)ln x1ex，令 g(x)ln x1ex，则 g(x)1x1e，
7、当 0 x0；当 xe 时，g(x)0，此时 f(x)为增函数；当 x(2，0)时，f(x)0，此时 f(x)为减函数x2，x0 分别为函数 f(x)的极大值点与极小值点由题意得2(a，a5)或 0(a，a5)，则a2或a0，解得7a0，3a0，解得3a0)，当 a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立，即函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当 a0 时，当 x0，1a 时，f(x)0；当 x1a，时，f(x)0 时，函数有一个极大值点 x1a.考点二 利用导数研究函数的最值【例 4】已知函数 f(x)ln xx 1.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设 m0，求函数
8、f(x)在区间m，2m上的最大值解(1)因为函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)1ln xx2，由f（x）0，x0，得0 xe；由f（x）0，得 xe，所以函数 f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)(2)当2me，m0，即 0me2时，函数 f(x)在区间m，2m单调递增，所以 f(x)maxf(2m)ln（2m）2m1；当 me2m，即e2me 时，函数 f(x)在区间(m，e)上单调递增，在(e，2m)上单调递减，所以 f(x)maxf(e)ln ee 11e1；当 me 时，函数 f(x)在区间m，2m上单调递减，所以 f(x)maxf(m)ln mm 1
9、.名师点津求函数 f(x)在闭区间a，b内的最值的思路(1)若所给的闭区间a，b不含有参数，则只需对函数 f(x)求导，并求 f(x)0 在区间a，b内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(2)若所给的闭区间a，b含有参数，则需对函数 f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数 f(x)的最值提醒 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值|跟踪训练|3(2018 年全国卷)已知函数
10、 f(x)2sin xsin 2x，则 f(x)的最小值是_解析：f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，当 cos x12时，f(x)12时，f(x)0，f(x)单调递增 当 cos x12，f(x)有最小值 又 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，当 sin x 32 时，f(x)有最小值，即 f(x)min2 32 112 3 32.答案：3 324已知函数 f(x)excos xx.(1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数 f
11、(x)在区间0，2 上的最大值和最小值解：(1)因为 f(x)excos xx，所以 f(x)ex(cos xsin x)1，所以 f(0)0.又因为 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y1.(2)设 h(x)ex(cos xsin x)1，则 h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x，当 x0，2 时，h(x)0，所以 h(x)在区间0，2 上单调递减所以对任意 x0，2，有 h(x)h(0)0，即 f(x)0.所以函数 f(x)在区间0，2 上单调递减因此 f(x)在区间0，2 上的最大值为 f(0)1，最小值为 f2 2.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测2谢 谢 观 看 THANKS