1、 试卷类型：A广州市2013届高三年级调研测试 数 学（文 科） 2013.1本试卷共4页，21小题， 满分150分考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求
2、作答的答案无效.4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数i（i为虚数单位）的模等于 A B C D2已知集合，集合，则 A B C D3已知函数, 则的值是 A B C D 4已知等差数列的前n项和为，若，则的值为 A B C D5已知e为自然对数的底数，函数e的单调递增区间是 A . B C D 6设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是A BC D7
3、如图1，程序结束输出的值是 A B C D8已知函数，R，则是A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为的偶函数 9在区间和分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为 A B C D 10在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是A. B. C. D. 二填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（1113题）11已知是奇函数, , , 则的值是 .12已知向量，都是单位向量，且，则的值为 .13设，定义为的导数，即，N，若的内角满足，则的值是 .（二）选做题（1415题，考生
4、只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题） 如图2，已知是的一条弦，点为上一点，交于，若，则的长是 . 15（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆的参数方程为为参数), 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为, 则直线截圆所得的弦长是 .三解答题： 本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值.17（本小题满分12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是
5、83. （1）求和的值； （2）计算甲班7位学生成绩的方差； （3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考公式：方差，其中.18(本小题满分14分) 已知四棱锥的正视图是一个底边长为、腰长为的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥的侧视图和俯视图.（1）求证：；（2）求四棱锥的侧面的面积. 19（本小题满分14分）已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20.（本小题满分14分） 已知是二次函数，不等式的解集是，且在点处的切线与直线平行.（1）求的解析式；（2）是否存在N，使得方程在区间内有两
6、个不等的实数根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合, 椭圆与抛物线在第一象限的交点为,.(1)求椭圆的方程；(苏元高考吧：)(2) 若过点的直线与椭圆相交于、两点，求使成立的动点的轨迹方程；(3) 若点满足条件（2），点是圆上的动点，求的最大值.2013届广州市高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步
7、出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共10小题，每小题5分，满分50分.题号12345678910答案ADBCADCCBC二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分其中1415题是选做题，考生只能选做一题11 12. 13. 14. 15. 三、解答题：本大
8、题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)（1） 解： 1分 . 3分由 4分解得Z. 5分的单调递增区间是Z. 6分（2）解：由（1）可知，得. 8分 9分 10分 11分. 12分17（本小题满分12分）(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：甲班学生的平均分是85， . 1分 . 2分 乙班学生成绩的中位数是83， . 3分（2
9、）解：甲班7位学生成绩的方差为. 5分（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为， 6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为. 7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况： . 9分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况： . 11分 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件，则.答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为.12分18（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）
10、证明：依题意，可知点在平面上的正射影是线段的中点，连接， 则平面. 2分 平面， . 3分 ，平面，平面， 平面. 5分 平面， . 6分（2）解：依题意，在等腰三角形中， 在Rt中， 7分 过作，垂足为，连接，平面，平面，. 8分平面，平面，平面. 9分平面，. 10分依题意得. 11分在Rt中， ， 12分的面积为.四棱锥的侧面的面积为. 14分19（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：是公比为的等比数列，. 1分. 从而，. 3分是和的等比中项，解得或. 4分
11、当时，不是等比数列， 5分. 6分当时，. 7分符合， . 8分（2）解：， . 9分 . 10分得 11分 12分 . 13分 . 14分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)（1）解法1：是二次函数，不等式的解集是， 可设，. 1分 . 2分 函数在点处的切线与直线平行， . 3分 ，解得. 4分 . 5分 解法2：设，不等式的解集是，方程的两根为. . 2分. 又函数在点处的切线与直线平行， . . 3分由,解得,. 4分. 5分 （2）解：由（1
12、）知，方程等价于方程. 6分 设，则. 7分 当时，函数在上单调递减； 8分 当时，函数在上单调递增. 9分 ， 12分 方程在区间，内分别有唯一实数根，在区间 内没有实数根. 13分 存在唯一的自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根. 14分21.（本小题满分14分） (本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法1：抛物线的焦点的坐标为，准线为， 设点的坐标为，依据抛物线的定义，由，得， 解得. 1分 点在抛物线上，且在第一象限， ，解得. 点的坐标为. 2分
13、 点在椭圆上， . 3分又，且， 4分解得. 椭圆的方程为. 5分解法2: 抛物线的焦点的坐标为，设点的坐标为,. , . 1分 点在抛物线上, . 解得,.点的坐标为. 2分 点在椭圆上， . 3分又，且， 4分解得. 椭圆的方程为. 5分(2)解法1：设点、， 则. . ,. 6分、在椭圆上， 上面两式相减得. 把式代入式得. 当时，得. 7分设的中点为，则的坐标为. 、四点共线，, 即. 8分把式代入式，得，化简得. 9分 当时，可得点的坐标为，经检验，点在曲线上. 动点的轨迹方程为. 10分解法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由消去，得. 设点、， 则, .6分 . . ,. , . 7分得， 8分把代入化简得. (*) 9分当直线的斜率不存在时，设直线的方程为,依题意, 可得点的坐标为，经检验，点在曲线上. 动点的轨迹方程为. 10分(3)解: 由(2)知点的坐标满足,即, 由,得,解得. 11分 圆的圆心为,半径, . 12分 当时, 13分 此时,. 14分