1、第三章 导数及其应用第二节 导数的应用第五课时 利用导数解决函数的零点问题栏目导航12课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 堂 考 点 突 破1考点一 利用最值（极值）研究函数零点问题【例 1】已知函数 f(x)12ax2(1a)xln x(aR)(1)当 a0 时，求函数 f(x)的单调递减区间；(2)当 a0 时，设函数 g(x)xf(x)k(x2)2.若函数 g(x)在区间12，上有两个零点，求实数 k 的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax1a1x（ax1）（x1）x(a0)，当 a(0，1)时，1a1.由 f(x)1a或 0 x1.所以 f(x)的单调递
2、减区间为(0，1)，1a，；当 a1 时，恒有 f(x)0，所以 f(x)的单调递减区间为(0，)；当 a(1，)时，1a1.由 f(x)1 或 0 x1a.所以 f(x)的单调递减区间为0，1a，(1，)综上，当 a(0，1)时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，1a，；当 a1 时，f(x)的单调递减区间为(0，)；当 a(1，)时，f(x)的单调递减区间为0，1a，(1，)(2)g(x)x2xln xk(x2)2 在 x12，上有两个零点，即关于 x 的方程 kx2xln x2x2在 x12，上有两个不相等的实数根令函数 h(x)x2xln x2x2，x12，则 h(x)x23x2ln
3、 x4（x2）2，令函数 p(x)x23x2ln x4，x12，则 p(x)（2x1）（x2）x在12，上恒有 p(x)0，故 p(x)在12，上单调递增因为 p(1)0，所以当 x12，1 时，有 p(x)0，即 h(x)0，即 h(x)0，所以 h(x)单调递增因为 h12 910ln 25，h(1)1，且当 x时，h(x)，所以 k 的取值范围为1，910ln 25.名师点津利用函数的极值(最值)判断函数零点的个数，主要是借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者利用零点个数求参数范围考点二 利用数形结合法研究函数的零点问题【例 2
4、】已知 f(x)ax2(aR)，g(x)2ln x.(1)讨论函数 F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程 f(x)g(x)在区间 2，e上有两个不相等的解，求 a 的取值范围解(1)F(x)ax22ln x，其定义域为(0，)，F(x)2ax2x2（ax21）x(x0)当 a0 时，由 ax210，得 x 1a；由 ax210，得 0 x0 时，F(x)在区间1a，上单调递增，在区间0，1a 上单调递减当 a0 时，F(x)0 恒成立故当 a0 时，F(x)在(0，)上单调递减(2)原式等价于方程 a2ln xx2 在区间 2，e上有两个不相等的解令(x)2ln xx2，由(x)2x
5、（12ln x）x4易知，(x)在(2，e)上为增函数，在(e，e)上为减函数，则(x)max(e)1e.而(e)2e2，(2)ln 22.由(e)(2)2e2 ln 22 4e2ln 22e2 ln e4ln 2e22e2ln 81ln 272e20，所以(e)(2)所以(x)min(e)，由图可知，当(x)a 有两个不相等的解时，需ln 22 a0)，当 a0 恒成立，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，由 f(x)ax1ax2 0，得 x1a，由 f(x)ax1ax2 0，得 0 x1a，函数 f(x)在1a，上单调递增，在0，1a 上单调递减综上所述，当 a0 时，函数
6、f(x)在1a，上单调递增，在0，1a 上单调递减(2)当 x1e，e 时，函数 g(x)(ln x1)exxm 的零点个数，等价于方程(ln x1)exxm 的根的个数令 h(x)(ln x1)exx，则 h(x)1xln x1 ex1.由(1)知，当 a1 时，f(x)ln x1x1 在1e，1 上单调递减，在(1，e)上单调递增，当 x1e，e 时，f(x)f(1)0.1xln x10 在 x1e，e 上恒成立h(x)1xln x1 ex1010，h(x)(ln x1)exx 在 x1e，e 上单调递增，h(x)minh1e 2e1e1e，h(x)maxh(e)e.当 me 时，函数 g
7、(x)没有零点；当2e1e1eme 时，函数 g(x)有一个零点名师点津(1)涉及函数的零点(方程的根)个数时，主要利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与 0 的关系，从而求得参数的取值范围(2)解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法|跟踪训练|已知函数 f(x)xln x，g(x)(x2ax3)ex(a 为实数)(1)当 a4 时，求函数 yg(x)在 x0 处的切线方程；(2)如果关于 x 的方程 g(x)2exf(x)在区间1e，e 上有两个不等实根，求实数 a
8、 的取值范围解：(1)当 a4 时，g(x)(x24x3)ex，g(0)3，g(x)(x22x1)ex，g(0)1，所以所求的切线方程为 y3x0，即 yx3.(2)由 g(x)2exf(x)，得 2xln xx2ax3，即 ax2ln x3x.令 h(x)x2ln x3x(x0)，所以 h(x)12x3x2（x3）（x1）x2，所以 x 在1e，e 上变化时，h(x)，h(x)的变化如下：x1e，11(1，e)h(x)0h(x)单调递减极小值单调递增又 h1e 1e3e2，h(1)4，h(e)3ee2，且 h(e)h1e 42e2e0.所以实数 a 的取值范围为 4ae23e，即 a 的取值范围为4，e23e.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测2谢 谢 观 看 THANKS