1、第三章 导数及其应用第二节 导数的应用第四课时 利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题栏目导航12课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 堂 考 点 突 破1考点一 不等式恒成立问题【例 1】(2020 届四川五校联考)已知函数 f(x)aln xx2(a2)x.(1)当 a4 时，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)当 a0 时，对于任意的 x1，)，不等式 f(x)1a2 恒成立，求实数 a 的取值范围解(1)当 a4 时，f(x)4ln xx26x，f(x)4x2x6（2x4）（x1）x.令 f(x)（2x4）（x1）x0，解得 x2 或 0 x1.f(x)的单调递增区间为(0
2、，1，2，)(2)令 g(x)f(x)a21(x1)，则 g(x)f(x)ax2x(a2)（2xa）（x1）x(x1)当 0a21，即 0a2 时，g(x)0(当且仅当 x1 时取等号)g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)a2a2(a2)(a1)1，即 a2 时，g(x)在1，a2 上单调递减，在a2，上单调递增g(x)minga2 aln a23a24 a1，令 h(x)xlnx23x24 x1(x2)，则 h(x)lnx232x.当 x2 时，h(x)0，h(x)在(2，)上单调递增，h(x)h(2)0.g(x)ga2 0 恒成立，满足题意综上所述，实数 a 的取值范围为(2
3、，)名师点津(1)利用分离参数法来确定不等式 f(x，)0(xD，为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：将参数与变量分离，化为 f1()f2(x)或 f1()f2(x)的形式；求 f2(x)在 xD 时的最大值或最小值；解不等式 f1()f2(x)max 或 f1()f2(x)min，得到 的取值范围(2)不等式恒成立问题的基本类型类型 1：任意 x，使得 f(x)0，只需 f(x)min0；类型 2：任意 x，使得 f(x)0，只需 f(x)maxk，只需 f(x)mink；类型 4：任意 x，使得 f(x)k，只需 f(x)maxg(x)，只需 h(x)minf(x)g(x)min
4、0；类型 6：任意 x，使得 f(x)g(x)，只需 h(x)maxf(x)g(x)max0.|跟踪训练|1已知函数 f(x)axxln x(aR)(1)若函数 f(x)在区间e，)上为增函数，求 a 的取值范围；(2)当 a1 且 kZ 时，不等式 k(x1)f(x)在 x(1，)上恒成立，求 k 的最大值解：(1)f(x)定义域为(0，)，f(x)aln x1，由题意，知 f(x)0 在e，)上恒成立，即 ln xa10 在e，)上恒成立，即 a(ln x1)在e，)上恒成立，而(ln x1)max(ln e1)2，a2，即 a 的取值范围为2，)(2)当 a1 时，f(x)xxln x，
5、x(1，)，原不等式可化为 kf（x）x1，即 k1 恒成立令 g(x)xxln xx1，则 g(x)xln x2（x1）2.令 h(x)xln x2(x1)，则 h(x)11xx1x 0，h(x)在(1，)上单调递增h(3)1ln 30，存在 x0(3，4)使 h(x0)0，即 g(x0)0.即当 1xx0 时，h(x)0，即 g(x)x0 时，h(x)0，即 g(x)0.g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增由 h(x0)x0ln x020，得 ln x0 x02，g(x)ming(x0)x0（1ln x0）x01x0（1x02）x01x0(3，4)，k0)(1)若函数
6、f(x)在(1，)上是减函数，求实数 a 的最小值；(2)若x1，x2e，e2，使 f(x1)f(x2)a 成立，求实数 a 的取值范围解(1)因为 f(x)在(1，)上为减函数，所以 f(x)ln x1（ln x）2a0 在(1，)上恒成立所以当 x(1，)时，f(x)max0.又 f(x)ln x1（ln x）2a1ln x12214a，故当 1ln x12，即 xe2 时，f(x)max14a，所以14a0，故 a14，所以 a 的最小值为14.(2)“若x1，x2e，e2，使 f(x1)f(x2)a 成立”等价于当 xe，e2时，有 f(x)minf(x)maxa，当 xe，e2时，有
7、 f(x)max14a，即 f(x)maxa14，问题等价于：“当 xe，e2时，有 f(x)min14”当 a14时，f(x)在e，e2上为减函数，则 f(x)minf(e2)e22ae214，故 a12 14e2.当 0a14时，由于 f(x)1ln x12214a 在e，e2上为增函数，故 f(x)的值域为f(e)，f(e2)，即a，14a.由 f(x)的单调性和值域知，存在唯一 x0(e，e2)，使 f(x0)0，且满足：当 x(e，x0)时，f(x)0，f(x)为增函数所以 f(x)minf(x0)x0ln x0ax014，x0(e，e2)所以 a 1ln x0 14x0 1ln e
8、2 14e121414，与 0a14矛盾，舍去综上，实数 a 的取值范围为 a12 14e2.名师点津存在型不等式成立主要是转化为最值问题，如存在 x1，x2a，b使 f(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)max，转化为最值问题求解|跟踪训练|2(2019 届贵州适应性考试)已知函数 f(x)axex(aR)，g(x)ln xx.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)x0(0，)，使不等式 f(x)g(x)ex 成立，求 a 的取值范围解：(1)因为 f(x)aex，xR.当 a0 时，f(x)0 时，令 f(x)0 得 xln a.由 f(x)0，得 f(x)的单调递增区间为(，ln a)；由 f(x)0，得 f(x)的单调递减区间为(ln a，)(2)因为x0(0，)，使不等式 f(x)g(x)ex，则 axln xx，即 aln xx2.令 h(x)ln xx2，则问题转化为 ah(x)max，因为 h(x)12ln xx3，令 h(x)0，则 x e.当 x 在区间(0，)内变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)h(x)0h(x)单调递增极大值 12e单调递减由上表可知，当 x e时，函数 h(x)有极大值，即最大值为 12e.所以 a 12e.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测2谢 谢 观 看 THANKS