1、2020年南阳春期六校第二次联考高二年级数学试题（理科）考生注意：1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4. 本卷命题范围：北师大版选修2-2（50%），选修2-3第一章、第二章（50%）.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的
2、四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 若函数，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43. 根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为，则在下雨条件下刮东风的概率为（ ）A. B. C. D. 4. 已知随机变量服从二项分布，则（ ）A. 11B. 12C. 18D. 365. 5人排成一排，其中甲、乙相邻，且甲，乙均不与丙相邻的排法共有（ ）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种6. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（
3、 ）A. 1B. C. D. -17. 设，则（ ）A. B. C. D. 28. 已知函数，则的极大值点为（ ）A. B. C. D. 9. 盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（ ）A. 恰有1个是坏的B. 4个全是好的C. 恰有2个是好的D. 至多有2个是坏的10. 我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配23艘驱逐舰，12艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（ ）A . 30B. 60C. 90D. 12011. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，该同学站在这
4、三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则的值为（ ）A. B. C. D. 12. 已知函数，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数，且，则_.14. 已知随机变量服从正态分布，若，则_.15. 的展开式中含项的系数为_.（用数字作答）16. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是_.三、解答题：共70分.解答
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设复数.（1）若为纯虚数，求；（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.18. 设函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）若在上单调递减，求的取值范围.19.（1）求的展开式的常数项；（2）若的展开式的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和.20. 已知函数，数列的前项和为，且满足.（1）求，的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.21. 探月工程“嫦娥四号”探测器于2018年12月8日成功发射，实现了人类首次月球背面软着陆.以嫦娥四号任务圆满成功为标志，我国探月工程四期和深空探测工程全面拉开序幕.
6、根据部署，我国探月工程到2020年前将实现“绕、落、回”三步走目标.为了实现目标，各科研团队进行积极的备战工作.某科研团队现正准备攻克甲、乙、丙三项新技术，甲、乙、丙三项新技术独立被攻克的概率分别为，若甲、乙、丙三项新技术被攻克，分别可获得科研经费60万，40万，20万.若其中某项新技术未被攻克，则该项新技术没有对应的科研经费.（1）求该科研团队获得60万科研经费的概率；（2）记该科研团队获得的科研经费为随机变量，求的分布列与数学期望.22. 已知函数.（1）求的解析式及单调区间；（2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值.2020年南阳春期六校第二次联考高二年级数学试题（理科）参考答案、提示
7、及评分细则一、选择题1-5：ACBAB6-10：DABCD11-12：CD1. A 复数的共轭复数为，对应的点是，位于第一象限.2. C ，则.3. B 记某地四月份某日刮东风为事件，某地四月份某日下雨为事件，则所求概率为.故选B.4. A 因为，所以.5. B 甲、乙相邻有种排法，再与丙以外的两人全排列有种排法，最后丙插入不与甲、乙相邻的两个空档，所以排法共有种.6. D ，所以.7. A 令，则原式化为，令，得，所以.8. B ，令，得.当时，；当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，的极大值点为.9. C 对于选项A，概率为.对于选项B，概率为，对于选项C，概率为.对于选项D，包括没有坏
8、的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是，故D选项不正确.故选C.10. D 5艘驱逐舰分为两组，一组2艘，另一组3艘，有种方法；3艘核潜艇分为两组，一组1艘，另一组2艘，有种方法.分到两艘航母共有种不同方法.11. C 在甲、乙、丙处投中分别记为事件，恰好投中两次为事件，发生，故恰好投中两次的概率，解得.12. D 设，因为，所以.记，则在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，整理得且在上恒成立.因为，所以函数在上单调递增，故有.因为，所以，即.二、填空题13. -6 14. 0.4 15. 16. 0.24513. -6 ，.14. 0.4 因为，所以.15
9、. 的展开式的通项，令，.16. 0.245 甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以获胜包含的情况有：前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：，前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：，前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：，前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：，则甲队以获胜的概率为：.三、解答题17. 解析：（1）若为纯虚数，则，所以，故，.（2）若在复平面内对应的点在第四象限，则，得.18. 解：（1），则，解得.经检验，当时，在处取得极值.（2）由题意可知，对恒成
10、立，则对恒成立.当时，即的取值范围为.19. 解：（1）因为的通项是，所以常数项是.（2）的通项为，则第6项与第7项分别为和，它们的系数分别为和.因为第6项与第7项的系数互为相反数，所以，则.因为的各项系数的绝对值之和与的各项系数之和相等，令，得的各项系数的绝对值之和为.20. 解：（1）由，即，所以，由得，-，得.当时，；当时，；当时，.（2）由（1）猜想.下面用数学归纳法证明：当时，由（1）可知猜想成立；假设时猜想成立，即，此时，当时，整理得，所以当时猜想成立.综上所述：对任意，成立.21. 解：（1）记“该甲、乙、丙三项新技术被攻克”分别为事件，则，该科研团队获得60万科研经费的概率为.（2）所有可能的取值为0，20，40，60，80，100，120，.所以随机变量的分布列为020406080100120所以（万）.22. 解：（1），令，得.令，得.则，且在上单调递增，且当时，；当时，则，且单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为，所以.令，则，易知在上单调递增.又，则存在唯一的，使得，且当时，；当时，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以.又，即，则.因为，所以.因为存在实数，使得成立，所以，又，则整数的最小值为0.
