1、2020-2021学年广东省揭阳市高二（下）期末数学质检试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知集合Px|12x2，Qx1，则PQ（）A（0，）B（）C（1，）D（0，1）2设复数a+bi（a，bR）则a+b（）A1B2C1D23设xR，向量（x，1），（1，2），且，则|+|（）ABC2D104设a，b，cR，且ab，则（）AacbcBacbcCa2b2Da3b35已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2+c2bc，则A（）A30B45C60D756若函数f（x）2x+a2x2a的零点在区间（0，1）上，则a的取值范围是（）A（，）B（，1）C（，+
2、）D（1，+）7函数ycos2x的图象向右平移（0）个单位后，与函数ysin（2x）的图象重合，则（）ABCD8过双曲线的左焦点F（c，0）（c0）作圆x2+y2a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若（O是坐标原点），则双曲线的离心率为（）ABCD二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9已知函数f（x）sinxcosx+cos2x则下列满足函数的是（）A周期是B单调增区间C为对称轴D（，）10设F是抛物线y24x的焦点，过F且斜为的直线与抛物线的一个交点为A
3、半径为|FA|的圆F交抛物线的准线于B，C两点，且B在C的上方，B关于点F的对称点为D以下结论正确的是（）A线段CD的长为8BA，C，F三点共线CCDF为等边三角形D四边形ABCD为矩形11下列命题为真命题的是（）A若ab，则2abB若ab0，则1C若a0，b0，则D若ab，则ac2bc212已知函数f（x）|x22ax+b|，（xR），给出下列命题正确是有（）AaR，使f（x）为偶函数B若f（0）f（2），则f（x）的图象关于x1对称C若a2b0，则f（x）在区间a，+）上是增函数D若a2b20，则函数h（x）f（x）2有2个零点三、填空题（每题5分共20分）13已知实数x，y满足，若目标函
4、数zxy的最大值为a，最小值为b，则a+b 14三张卡片上分别写有数字1、2、3，将它们排成一行，恰好排成顺序为“321”的概率为 15的展开式中含x项的系数为 16已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若BAC30，BCAA11，则该球的表面积等于 四.解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如表：上一年的出险次数012345次以上（含5次）下一年保费倍率85%100%125%150%1
5、75%200%连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出险次数的频数分布如下（并用相应频率估计车辆每年出险次数的概率）：一年中出险次数012345次以上（含5次）频数5003801001541（1）求某车在两年中出险次数不超过2次的概率；（2）经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，估计其回归直线方程为：120x+1600（其中x（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）李先生2016 年1月购买一辆价值20万元的新车根据以上信息，试估计该车辆在2017 年1月续保时应缴交的保费，并分析车险新政是否
6、总体上减轻了车主负担（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）18已知函数f（x）2sin（x+）（0），且f（）2（1）求的值；（2）若f（）+f（），（0，），求f（2）19已知数列an满足a11，且an2an1+2n（n2，nN*）（1）求证数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项和Bn20如图，在底面为梯形的四棱锥SABCD中，已知ADBC，ASC60，SASCSD2（1）求证：ACSD；（2）求三棱锥BSAD的体积21已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、N两点（）求椭圆C的方程；（）若直线l与圆O：相切
7、，证明：MON为定值22已知函数f（x）lnx（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）求证：x（1，2），不等式恒成立参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知集合Px|12x2，Qx1，则PQ（）A（0，）B（）C（1，）D（0，1）解：集合Px|12x2x|0x1，Qx1x|0x，PQ（0，）故选：A2设复数a+bi（a，bR）则a+b（）A1B2C1D2解：，a+b1，故选：A3设xR，向量（x，1），（1，2），且，则|+|（）ABC2D10解：因为xR，向量（x，1），（1，2），且，所以x20，所以（2，1），所以（3，1），所以|+|，故选：B4设a，b，
8、cR，且ab，则（）AacbcBacbcCa2b2Da3b3解：A当c0时，不成立；B根据不等式性质，则不成立；C取a1，b2，则a2b2不成立；D根据幂函数yx3为增函数，可得成立故选：D5已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2+c2bc，则A（）A30B45C60D75解：a2b2+c2bc，可得：bcb2+c2a2，cosA，A（0，180），A60故选：C6若函数f（x）2x+a2x2a的零点在区间（0，1）上，则a的取值范围是（）A（，）B（，1）C（，+）D（1，+）解：函数f（x）2x+a2x2a在（0，+）上为增函数，且零点在区间（0，1）上，解得a，故
9、选：C7函数ycos2x的图象向右平移（0）个单位后，与函数ysin（2x）的图象重合，则（）ABCD解：函数ycos2x的图象向右平移（0）个单位后，可得ycos2（x）cos（2x2）sin（2x2+）的图象，根据所得图象与函数ysin（2x）的图象重合，则2+2k，kZ，求得，故选：C8过双曲线的左焦点F（c，0）（c0）作圆x2+y2a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若（O是坐标原点），则双曲线的离心率为（）ABCD解：|OF|c，|OE|a，|EF|b，|PF|2b，|PF|2a，|PF|PF|2a，b2a，故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分
10、.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9已知函数f（x）sinxcosx+cos2x则下列满足函数的是（）A周期是B单调增区间C为对称轴D（，）解：sin2x2sinxcosx，cos2x2cos2x1，f（x）sinxcosx+cos2x，故选项A正确，令，可得，当k0时，f（x）的单调增区间为，故B选项正确，当x时，故C选项错误，D选项正确故选：ABD10设F是抛物线y24x的焦点，过F且斜为的直线与抛物线的一个交点为A半径为|FA|的圆F交抛物线的准线于B，C两点，且B在C的上方，B关于点F的对称点为D以下结论正确的
11、是（）A线段CD的长为8BA，C，F三点共线CCDF为等边三角形D四边形ABCD为矩形解：由抛物线的方程可得：F（1，0），准线方程为：x1，过F且斜为的直线的方程为：y（x1），代入抛物线方程可得：3x210x+30，解得x3或，令A的坐标为（3，2），则|FA|3+14，所以圆F的方程为：（x1）2+y216，令x1，则B（1，2），C（1，2），设B关于点F的对称点为D（m，n），所以，得D（3，2），选项A：|CD|3（1）4，A错误，选项B：，所以，所以A，F，C三点共线，B正确，选项C：因为FCFDr4，且CD4，所以三角形CDF为等边三角形，C正确，选项D：由A，B，C，D的坐标
12、可得：ABCD，ABBC，ABCD，所以四边形ABCD为矩形，D正确，故选：BCD11下列命题为真命题的是（）A若ab，则2abB若ab0，则1C若a0，b0，则D若ab，则ac2bc2解：对于A，因为ab，所以ab0，故A正确；对于B，当a1，b时，故B不正确；对于C，因为a0，b0，所以a+b，所以，故C正确；对于D，当c0时，不成立，故选：AC12已知函数f（x）|x22ax+b|，（xR），给出下列命题正确是有（）AaR，使f（x）为偶函数B若f（0）f（2），则f（x）的图象关于x1对称C若a2b0，则f（x）在区间a，+）上是增函数D若a2b20，则函数h（x）f（x）2有2个零点
13、解：当a0时，f（x）|（x）2+b|x2+b|f（x），故f（x）为偶函数，故A对，当a0，b2时，f（x）|x22|，f（0）f（2），但f（x）的图象关于x0对称，不关于x1对称，故B错，若a2b0，则4（a2b）0，则x22ax+b0恒成立，则f（x）|x22ax+b|x22ax+b，由二次函数的性质可得，f（x）在区间a，+）上是增函数，故C对，若a0，b8，则a2b260，h（x）f（x）2|x28|2，令h（x）0，解得x，x，故D错，故选：AC三、填空题（每题5分共20分）13已知实数x，y满足，若目标函数zxy的最大值为a，最小值为b，则a+b1解：由约束条件作出可行域如图，
14、化目标函数zxy为yxz，由图可知，当直线yxz过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2；当直线yxz过B（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为1a2，b1，则a+b1故答案为：114三张卡片上分别写有数字1、2、3，将它们排成一行，恰好排成顺序为“321”的概率为解：所有的可能有6种，设“恰好排成顺序为“321”为事件A，故满足条件的概率是：P（A）；故答案为：15的展开式中含x项的系数为40解：由52r1，得r2的展开式中含x的项为40x，因此x的系数为40故答案为：4016已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若BAC30，BCAA11，则该球
15、的表面积等于5解：因为直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若BAC30，BCAA11，所以可知ABC所在圆面的半径为，所以其外接球的半径为r所以该外接球的表面积为S4r25故答案为：5四.解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如表：上一年的出险次数012345次以上（含5次）下一年保费倍率85%100%125%150%175%200%连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折有评估机构
16、从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出险次数的频数分布如下（并用相应频率估计车辆每年出险次数的概率）：一年中出险次数012345次以上（含5次）频数5003801001541（1）求某车在两年中出险次数不超过2次的概率；（2）经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，估计其回归直线方程为：120x+1600（其中x（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）李先生2016 年1月购买一辆价值20万元的新车根据以上信息，试估计该车辆在2017 年1月续保时应缴交的保费，并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进
17、行续保）解：（1）设某车在两年中出险次数为N，则P（N2）P（N0）+P（N1）+P（N2）+C21+0.8477某车在两年中出险次数不超过2次的概率为0.8744；（2）设该车辆2017年的保费倍率为X，则X为随机变量，X的取值为0.85，1，1.25，1.5，1.75，2X的分布列为）X的分布列为： X 0.85 1 1.25 1.5 1.75 2 P 0.5 0.380.1 0.015 0.004 0.001计算得下一年的保费倍率的数学期望E（X）0.850.5+10.38+1.250.1+1.50.015+1.750.004+20.0010.9615该车辆估计2017年应缴保费为：（1
18、2020+1600）0.96153846元，0.96151，车险新政总体上减轻了车主负担18已知函数f（x）2sin（x+）（0），且f（）2（1）求的值；（2）若f（）+f（），（0，），求f（2）解：（1）f（）2sin（+）2解得：sin（+）1，有+2k，kZ，解得：2k+，kZ，0，解得：（2）f（）+f（），2sin（+）2sin（），4cossin2cos，cos，（0，），可得：sinf（2）2sin（2）+2sin24sincos419已知数列an满足a11，且an2an1+2n（n2，nN*）（1）求证数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项
19、和Bn解：（1）证明：an2an1+2n（n2），+1，1，数列是等差数列，首项，公差为1+n1n，ann2n2n1；（2）由（1）可得bn，数列bn的前n项和Bnb1+b2+bn1+120如图，在底面为梯形的四棱锥SABCD中，已知ADBC，ASC60，SASCSD2（1）求证：ACSD；（2）求三棱锥BSAD的体积【解答】（1）证明：设O为AC的中点，连接OS，OD，SASC，OSAC，DADC，DOAC，又OS，OD平面SOD，且OSODO，AC平面SOD，又SD平面SOD，ACSD（2）解：连接BD，在ASC中，SASC，ASC60，O为AC的中点，ASC为正三角形，且AC2，在ASC
20、中，DA2+DC24AC2，O为AC的中点，ADC90，且OD1，在SOD中，OS2+OD2SD2，SOD为直角三角形，且SOD90，SOOD又OSAC，且ACDOO，SO平面ABCDVBSADVSBAD21已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、N两点（）求椭圆C的方程；（）若直线l与圆O：相切，证明：MON为定值解：（1）根据题意，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，则有；（2）当直线l垂直X轴时，直线方程为直线方程为时，M、N分别为，有同理直线方程为时，有，当直线l与X轴不垂直时，设当直线l为ykx+t，M（x1，y1），N（x2，y2）；则，；由
21、得为定值22已知函数f（x）lnx（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）求证：x（1，2），不等式恒成立解：（）f（x）的定义域为（0，+），若a0，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，若a0，当x（0，a）时，f（x）0，f（x）在（0，a）单调递减当x（a，+）时，f（x）0，f（x）在（a，+）单调递增（）证明：1x2，lnx0，x10，只需证，即证，即证（x+1）lnx2（x1）0，令F（x）（x+1）lnx2（x1），则，由（）知，当a1时fmin（x）f（1）0，f（x）f（1），即F（x）0，则F（x）在（1，2）上单调递增，F（x）F（1）0，故x（1，2），不等式恒成立