1、第3节导数与函数的极值、最值考试要求1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).知 识 梳 理1.函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f(x0)0，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，
2、那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.常用结论与易错提醒1.若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在a，b内一定有最值.2.若函数f(x)在a，b内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取
3、得最值.3.若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.4.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.5.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(2)函数的极大值不一定比极小值大.()(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件.()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()解析(1)函数在某区间上或定义域内的极大值不一定唯一；(3)x0为f(x)的
4、极值点的充要条件是f(x0)0，且x0两侧导数符号异号.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修22P32A4改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案A3.函数f(x)x33x1有()A.极小值1，极大值1 B.极小值2，极大值3C.极小值2，极大值2 D.极小值1，极大值3解析因为f(x)x33x1，故有y3x23，令y3x230，解得x1，于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值所以f
5、(x)的极小值为f(1)1，f(x)的极大值为f(1)3.答案D4.函数f(x)ln xax在x1处有极值，则常数a_.解析f(x)a，f(1)1a0，a1，经检验符合题意.答案15.已知函数f(x)x2(a4)x2ln x在区间(1，2)上存在最值，则实数a的取值范围是_.解析f(x)3x(a4)，故可将题意等价的转化为f(1)f(2)0，即(a5)(a9)0，解得9a5，故答案为(9，5).答案(9，5)6.已知yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx1，且f(x)ln x1，则函数f(x)_，函数f(x)的最小值为_.解析由f(x)ln x1得f(x)xln xc，又f(1)0，则
6、c0，所以f(x)xln x.又x时，f(x)0，f(x)单调递增，则f(x)minf.答案xln x考点一用导数解决函数的极值问题【例1】 求下列函数的极值：(1)f(x)x22x4ln x；(2)f(x)ax33x21(aR且a0).解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x2，令f(x)0得x2或1(舍).随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值f(x)有极小值f(2)4ln 2，无极大值.(2)由题设知a0，f(x)3ax26x3ax.令f(x)0得x0或.当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，0
7、)0f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.当a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值.若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是.(2)f(x)定义域为(0，)，f(x).当a0时，f(x)0，此时f(x)在(0，)上单调递减，所以不存在极小值.当a0时，令f(x)0可得x，列表可得xf(x)0f(x)极小值所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以极小值为f2ln，所以2ln2a2.考点二用导数解决函数的最值问题【例2】 已知函数f(x).(1)求函数f(x)的导函数f(x)
8、；(2)求f(x)在(0，1上的取值范围.解(1)因为()，(ln x)，所以f(x).(2)因为x(0，1，所以由f(x)0，得xe3.所以当x(0，e3)时，f(x)0，f(x)单调递增.所以f(x)minf(e3).又f(1)0，当x(0，e3)时，f(e3)f(x)0.(1)记f(x)的极小值为g(a)，求g(a)的最大值；(2)若对任意实数x，恒有f(x)0，求f(a)的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域是(，)，f(x)exa.令f(x)0，得xln a，易知当x(ln a，)时，f(x)0，当x(，ln a)时，f(x)0，所以函数f(x)在xln a处取极小值，g(a)f(
9、x)极小值f(ln a)eln aaln aaaln a.g(a)1(1ln a)ln a，当0a0，g(a)在(0，1)上单调递增；当a1时，g(a)0)恒成立.当x0时，由f(x)0，即exax0，得a.令h(x)，x(0，)，则h(x)，当0x1时，h(x)1时，h(x)0，故h(x)的最小值为h(1)e，所以ae，故实数a的取值范围是(0，e.f(a)eaa2，a(0，e，f(a)ea2a，易知ea2a0对a(0，e恒成立，故f(a)在(0，e上单调递增，所以f(0)1f(a)f(e)eee2，即f(a)的取值范围是(1，eee2.规律方法1.(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数
10、时，要讨论参数的大小.(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论.2.本题分离参数，构造函数，把问题转化为求函数的最值问题，优化了解题过程.【训练3】 (2019江苏卷节选)设函数f(x)(xa)(xb)(xc)，a，b，cR，f(x)为f(x)的导函数.(1)若ab，bc，且f(x)和f(x)的零点均在集合3，1，3中，求f(x)的极小值；(2)(一题多解)若a0，0b1，c1，且f(x)的极大值为M，求证：M.(1)解因为ab，bc，所以f(x)(xa)(xb)2x3(a2b)x2b(2ab)xab2，从而f(x)3(xb).令f(x)0，得xb或x.令f(
11、x)0，得xa或xb.因为a，b，都在集合3，1，3中，且ab，所以1，a3，b3.此时，f(x)(x3)(x3)2，f(x)3(x3)(x1).令f(x)0，得x3或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x(，3)3(3，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)(13)(13)232.(2)证明因为a0，c1，所以f(x)x(xb)(x1)x3(b1)x2bx，f(x)3x22(b1)xb.因为00，则f(x)有2个不同的零点，设为x1，x2(x1x2).由f(x)0，得x1，x2.当x变化时，f(x)，f(x)变化如下表：x(，x1)x1(x
12、1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值Mf(x1).法一Mf(x1)x(b1)xbx13x2(b1)x1bx1()3()3.因此M.法二因为00.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值，且f(1)ln 1.答案A3.(2018全国卷)函数yx4x22的图象大致为()解析当x0时，y2，排除A，B.由y4x32x0，得x0或x，结合三次函数的图象特征，知原函数在(1，1)上有三个极值点，所以排除C，故选D.答案D4.若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5
13、e3 D.1解析f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0，当2x1时，f(x)0，即a23a180，a6或a0，f(x)在1，e上为增函数，有f(x)minf(1)m4，m4，舍去.若m0，令f(x)0，则xm，且当xm时，f(x)m时，f(x)0，f(x)单调递增.若m1，即m1时，f(x)minf(1)m1，不可能等于4；若1me，即eme，即me时，f(x)minf(e)1，令14，得m3e，符合题意.综上所述，m3e.答案3e9.(2020浙江名师预
14、测卷三)可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关，如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么在这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的，曲线上凹凸性的分界点称为曲线的拐点，则函数f(x)x21的极大值点为_，拐点为_.解析由题意可知f(x)x22xx(x2)，故函数f(x)在(，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，故其极大值在x0处取到，所以f(x)的极大值点为x0，由f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以其拐点为.答案x010.设函数f(x)(1)若a0，则f(x)的最大值为_；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_.解析(1)当a0时，f
15、(x)若x0，则f(x)3x233(x21).由f(x)0得x1，由f(x)0得1x0.f(x)在(，1)上单调递增；在(1，0)上单调递减，当x0时，f(x)f(1)2.若x0，则f(x)2x单调递减，所以f(x)f(0)0.所以f(x)最大值为2.(2)函数yx33x与y2x的图象如图.显然当a1时，f(x)有最大值，为2与a33a中较大的值.当a1时，y2x在xa时无最大值，且2a2.所以a1.答案(1)2(2)(，1)三、解答题11.已知函数f(x)ex(x2ax1)，aR(e为自然对数的底数).(1)若xe是f(x)的极值点，求实数a的值；(2)求f(x)的单调递增区间.解(1)f(
16、x)exx2(a2)xa1ex(x1)(xa1)，由f(e)0，得ae1，此时xe是f(x)的极小值点.(2)由f(x)0，得x1或xa1.当a0时，a11，f(x)的单调递增区间是(，)；当a1，f(x)的单调递增区间是(，1)，(a1，)；当a0时，a11，f(x)的单调递增区间是(，a1)，(1，).12.(2019北京卷)已知函数f(x)x3x2x.(1)求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x2，4时，求证：x6f(x)x.(3)设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区间2，4上的最大值为M(a).当M(a)最小时，求a的值.(1)解由f(x)x3x2x得f(x
17、)x22x1.令f(x)1，即x22x11，得x0或x.又f(0)0，f，所以曲线yf(x)的斜率为1的切线方程是yx与yx，即yx与yx.(2)证明令g(x)f(x)x，x2，4.则g(x)x3x2，g(x)x22x，x2，4.令g(x)0得x0或x.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：x2(2，0)04g(x)00g(x)600所以g(x)的最小值为6，最大值为0.故6g(x)0，即x6f(x)x.(3)解由(2)知，当a3；当a3时，M(a)F(2)|g(2)a|6a3；当a3时，M(a)3；综上，当M(a)最小时，a3.能力提升题组13.当x1，4时，不等式0ax3bx24a
18、4x2恒成立，则ab的取值范围是()A.4，8 B.2，8C.0，6 D.4，12解析因为x1，4，所以不等式0ax3bx24a4x2等价于0axb4，即0ab4.令tx，x1，4，则t1，则tx在1，2)上单调递减，在(2，4上单调递增，所以当x2时，tmin3，当x1时，tmax5，所以3t5，则由0atb4，得所以ab2(3ab)(5ab)4，8，故选A.答案A14.已知不等式ex4x2axb(a，bR，a4)对任意实数x恒成立，则的最大值为()A.ln 2 B.1ln 2C.2ln 2 D.22ln 2解析由不等式ex4x2axb对任意实数x恒成立，得不等式ex(4a)x2b0对任意实
19、数x恒成立，若a40，此时设f(x)ex(a4)x2b，则f(x)ex(a4)，令f(x)ex(a4)0，得xln(a4)，易得当x(，ln(a4)时，函数f(x)单调递减，当x(ln(a4)，)时，函数f(x)单调递增，则由不等式ex(a4)x2b0对任意实数x恒成立得f(x)mineln(a4)(a4)ln(a4)2b0，即(a4)(a4)ln(a4)b2，则1ln(4a)，设y1ln x，则y，易得当x2时，y1ln x取得最大值ln 2，所以1ln(a4)ln 2，当且仅当a2，b2ln24时，等号成立，所以的最大值为ln 2，故选A.答案A15.已知实数x，y满足4x9y1，则2x1
20、3y1的取值范围是_.解析由4x9y1得22x32y1，3y，其中22x(0，1)，所以2x(0，1)，所以2x13y122x33y22x3，令t2x，则f(t)2t3(0t0，则当x(，0)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减.若a0，则f(x)在(，)单调递增.若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减.(2)满足题设条件的a，b存在.当a0时，由(1)知，f(x)在0，1单调递增，所以f(x)在区间0，1的最小值为f(0)b，最大值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当b1，2ab1，即a0，b1.当a3时，
21、由(1)知，f(x)在0，1单调递减，所以f(x)在区间0，1的最大值为f(0)b，最小值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1.当0a3时，由(1)知，f(x)在0，1的最小值为fb, 最大值为b或2ab.若b1，b1，则a3，与0a3矛盾.若b1，2ab1，则a3或a3或a0，与0a3矛盾.综上，当a0，b1或a4，b1时，f(x)在0，1的最小值为1，最大值为1.18.(2020浙江名师预测卷二)已知函数f(x)ln x，g(x)2x2，aR.(1)证明：f(x)x1；(2)若f(x)g(x)在上恒成立，求a的取值范围；(3)是否存在实数a，使函数h
22、(x)f(x)g(x)2x2在(0，e2上有最小值4？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(1)证明令F(x)x1ln x，x0，又F(x)10x1，则F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，则F(x)F(1)0，所以x1ln x，即f(x)x1.(2)解由f(x)g(x)得ln x2x2a2x3xln x，令k(x)2x3xln x，则k(x)6x2ln x1，由(1)知，当x时，6x2x0，x1ln x，所以k(x)6x2ln x1x1ln x0，所以k(x)在上单调递增，则k(x)kln2，所以aln2.(3)解令h(x)f(x)g(x)2x2ln x，h(x)，x0，当a0时，h(x)0恒成立，h(x)在(0，e2上单调递增，h(x)无最小值，不符合题意；当a0时，令h(x)0得xa，令h(x)0得xa，令h(x)0得xa，h(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增.若0ae2，则h(x)在(0，e2上的最小值为h(a)ln a1，由ln a14得ae3，不满足0ae2，舍去；若ae2，则h(x)在(0，e2上单调递减，h(x)minh(e2)ln e22，由24得a2e2，满足ae2.综上所述，存在实数a2e2，使函数h(x)f(x)g(x)2x2在(0，e2上有最小值4.