1、第二章 函数的概念及基本初等函数()第五节 指数与指数函数栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.指数函数中比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用仍是 2021 年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，分值为 5分.1.逻辑推理2.数学抽象 3.数学运算 课 前 基 础 巩 固
2、 1知识梳理1根式的性质(1)(n a)n 1 _(a 使n a有意义)(2)当 n 是奇数时，n an 2 _；当 n 是偶数时，n an 3 _a，a0，4 _，a0，m，nN*，且 n1)(2)amn 6 _ 7 _(a0，m，nN*，且 n1)n am1amn1n am(3)0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义3有理数指数幂的运算性质(1)aras 8 _(a0，r，sQ)；(2)(ar)s 9 _(a0，r，sQ)；(3)(ab)r 10 _(a0，b0，rQ)arsarsarbr4指数函数的图象和性质函数yax(a0 且 a1)图象a10a0 且 a1)性质,定义
3、域 11 _值域 12 _单调性 13 _ 14 _ 函数值变化规律当 x0 时，y1当 x0 时，0y0 时，y1当 x1；当 x0 时，0y1 时，指数函数的图象“上升”；当 0a1，还是 0aan，则 mn.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修 1P56 例 6 改编)若函数 f(x)ax(a0 且 a1)的图象经过2，13，则 f(1)()A1B2C 3D3答案：C3(必修 1P59A6 改编)某种产品的产量原来是 a 件，在今后 m 年内，计划使每年的产量比上一年增加 p%，则该产品的产量 y 随年数 x 变化的函数解析式为()Aya(1p%)x(0 xm)B
4、ya(1p%)x(0 xm，xN)Cya(1xp%)(0 xm)Dya(1xp%)(00 且 a1 时，函数 f(x)ax23 的图象必过定点_解析：令 x20，则 x2，此时 f(x)132，故函数 f(x)ax23 的图象必过定点(2，2)答案：(2，2)6若指数函数 f(x)(a2)x 为减函数，则实数 a 的取值范围为_解析：f(x)(a2)x 为减函数，0a21，即 2a0，b0)解：原式（a3b2a13b23）12ab2a13b13a32+161+13b1+13213ab1ab.名师点津考点一 指数函数图象及应用【例 1】(1)函数 f(x)1e|x|的图象大致是()(2)已知 f
5、(x)|2x1|，当 abf(c)f(b)，则必有()Aa0，b0，c0Ba0，c0C2a2cD12a2c2解析(1)由 f(x)1e|x|是偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除 B、D；又当 x0 时，f(x)0，排除 C(2)作出函数 f(x)|2x1|的图象如图所示，因为 abf(c)f(b)，所以必有 a0，0c|2c1|，所以 12a2c1，则 2a2c1.故选 D 答案(1)A(2)D名师点津有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手
6、，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线 x1 与图象的交点进行判断|跟踪训练|1函数 yax1a(a0，a1)的图象可能是()解析：选 D 函数 yax1a是由函数 yax 的图象向下平移1a个单位长度得到的，所以 A 项错误；当 a1 时，01a1，平移距离小于 1，所以 B 项错误；当 0a1，平移距离大于 1，所以 C 项错误，D 项正确故选 D2(2019 届唐山模拟)当 x1，2时，函数 y12x
7、2 与 yax(a0 且 a1)的图象有交点，则 a 的取值范围是()A12，2B12，1(1，2C14，2D14，2解析：选 B 当 a1 时，如图所示，使得两个函数图象有交点，需满足1222a2，即 1a 2；当 0a1 时，如图所示，需满足1212a1，即12ay1y3By3y1y2Cy1y2y3Dy1y3y2解析 对于 y10.90.2，y20.90.4，y31.20.1，y0.9x在 R 上是减函数，故有 1y1y2.y1.2x 在 R 上是增函数，y31.20.11.201，y3y1y2，故选 B 答案 B名师点津比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造
8、同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小命题角度二 与指数函数有关的函数值域问题【例 3】已知 0 x2，则 y4x1232x5 的最大值为_解析 令 t2x，0 x2，1t4，又 y22x132x5，y12t23t512(t3)212，1t4，当 t1 时，ymax52.答案 52名师点津形如 ya2xbaxc(a0 且 a1)型函数的最值问题多用换元法求解，即令 tax 转化为 yt2btc 的最值问题，注意根据指数函数求 t 的范围命题角度三 探究指数型函数的性质【例 4】(1)若函数 f(x)a|2x4|(a0 且 a1)，满足 f(1)1
9、9，则 f(x)的单调递减区间是()A(，2B2，)C2，)D(，2(2)已知函数 f(x)2|2xm|(m 为常数)，若 f(x)在区间2，)上是增函数，则 m 的取值范围是_解析(1)由 f(1)19，得 a219，解得 a13或 a13(舍去)，即 f(x)13|2x4|.由于 y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以 f(x)在(，2上递增，在2，)上递减，故选 B(2)令 t|2xm|，则 t|2xm|在区间m2，上单调递增，在区间，m2 上单调递减，而 y2t 为 R 上的增函数，所以要使函数 f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有m22，即 m4，所以 m 的取值范
10、围是(，4 答案(1)B(2)(，4名师点津与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用|跟踪训练|3设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是()AabcBacbCbacDbca解析：选 C 因为函数 y0.6x 在 R 上单调递减，所以 b0.61.5a0.60.61，所以 ba0，则满足 f(x22)f(x)的 x 的取值范围是_解析：由题意知，当 x0 时，f(x)单调递增，故 f(x)f(0)0，而 x0 时，x0，故由 f(x22)f(x)，则 x22x，且 x220，解得 x2 或 xK
11、.给出函数 f(x)2x14x，若对于任意 x(，1，恒有 fK(x)f(x)，则()AK 的最大值为 0BK 的最小值为 0CK 的最大值为 1DK 的最小值为 1解析 根据题意可知，对于任意 x(，1，恒有 fK(x)f(x)，则 f(x)K 在 x1上恒成立，即 f(x)的最大值小于或等于 K 即可 令 2xt，则 t(0，2，f(t)t22t(t1)21，可得 f(t)的最大值为 1，K1，故选 D 答案 D名师点津根据题目信息条件，将问题转化为指数函数最值问题求解|跟踪训练|(2019 届吉林长春外国语学校模拟)若直角坐标平面内 A，B 两点满足：点 A，B 都在函数 f(x)的图象
12、上；点 A，B 关于坐标原点对称，则(A，B)是函数 f(x)的一个“姊妹点对”，(A，B)与(B，A)可看作同一个“姊妹点对”已知函数 f(x)x22x，x0，2ex，x0，则f(x)的“姊妹点对”有()A0 个B1 个C2 个D3 个解析：选 C 依题意知，“姊妹点对”(A，B)满足：点 A，B 都在函数 f(x)的图象上，且点 A，B 关于坐标原点对称作出函数 yx22x(x0)的图象关于原点对称的图象(图略)，看它与函数 y2ex(x0)的图象的交点个数即可当 x1 时，02ex1，观察图象可得它们有 2 个交点，即 f(x)的“姊妹点对”有 2 个，故选 C点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS