1、第1节空间几何体的结构、三视图和直观图考试要求1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.知 识 梳 理1.简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.2.旋转
2、体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等.在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.4.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴、y轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴
3、.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.常用结论与易错提醒1.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.2.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.3.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.4.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1
4、)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.()解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示图形不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的A时，把x，y轴画成相交成45或135，平行于x轴的线还平行于x轴，平行于y轴的线还平行于y轴，所以A也可能为135.(4)球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角
5、形， 其俯视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同.答案(1)(2)(3)(4)2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱解析由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形.答案A3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()解析先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图，故其侧视图为图.答案B4.(2018上海卷)九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设A
6、A1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是()A.4B.8C.12 D.16解析符合题目条件的面有四个，每一个都有4个顶点，所以选择D.答案D5.正AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_.解析画出坐标系xOy，作出OAB的直观图OAB(如图).D为OA的中点.易知DBDB(D为OA的中点)，SOABSOABa2a2.答案a26.(2020北京平谷区质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为_个.解析由三视图知几何体为一四棱锥，其直观图为如图中的PABCD；由图得该棱锥
7、的四个侧面均为直角三角形，故该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为4个.答案4考点一空间几何体的结构特征【例1】 (1)给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3(2)以下命题：以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3解析(1)不一定，只有当这两点的连线平行于轴时
8、才是母线；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.(2)由圆台的定义可知错误，正确.对于命题，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确.答案(1)A(2)B规律方法(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可.(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.(
9、3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.【训练1】 下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线解析如图1知，A不正确.如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误.由圆锥母线的概念知，选项D正确.答案D考点二空间几何体的三视图
10、 多维探究角度1由空间几何体的直观图判断三视图【例21】 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合.答案B角度2由三视图判定几何体【例22】 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱(2)(2020北京昌平区二模)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中直角三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析(
11、1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.(2)由三视图可得，该四棱锥如图PABCD，直角三角形有：PAD、PCD、PAB，共3个.答案(1)B(2)C规律方法(1)由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认.(2)根据三视图还原几何体对柱、锥、台、球的三视图要熟悉.明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图.根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.提醒对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄
12、清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同.【训练2】 (1)(角度1)如图所示，由几个棱长相等的小正方体搭成的一个几何体.现老师给小明四张图，要求其删除其中的一张图，使得剩下的三张图可以作为该几何体的三视图，则小明要删除() (2)(角度2)(2020北京丰台区期末)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中最长的棱的长度为()A.2 B. C.2 D.2解析(1)由几何体的直观图得其正视图为C中的图形，侧视图为A中的图形，俯视图为D中的图形，故选B.(2)由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图，图中PA与底面垂直，且ADBC，ADA
13、B，PAABBC2AD2，由勾股定理可得PDCD，PB2，PC2，所以最长的棱为2.答案(1)B(2)D考点三空间几何体的直观图【例3】 已知等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_.解析如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图：因为OE1，所以OE，EF，则直观图ABCD的面积S.答案规律方法(1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45或135)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是
14、已知直观图求原图形中的相关量.(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图S原图形.【训练3】 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_.解析如图1，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为E.在RtABE中，AB1，ABE45，BE.又四边形AECD为矩形，ADEC1.BCBEEC1.由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形ABCD.在梯形ABCD中，AD1，BC1，AB2.这块菜地的面积S(ADBC)AB22.答案2基础巩固题组一、选择题1.关于空间几何体的结构特征，
15、下列说法不正确的是()A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等解析根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等.答案B2.如图所示的几何体是棱柱的有()A. B.C. D.解析由棱柱的定义知两个几何体是棱柱.答案C3.(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.
16、答案A4.已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，且它的正视图如图所示，则该四棱锥侧视图的面积是()A.4 B.4C.2 D.2解析由四棱锥PABCD的正视图可知，四棱锥的正视图是一个高为2，底边长为2的等腰三角形，又因为四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，所以四棱锥的侧视图是一个高为2，底边长为2的等腰三角形，所以侧视图的面积为222.故选C.答案C5.将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析易知侧视图的投影面为矩形，又AF的投影线为虚线，即为左下角到右上角的对角线，该几何体的侧视图为选项D.答案D6.如图，网格纸上小正方形的边长
17、为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A.6 B.4 C.6 D.4解析如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥ABCD，最长的棱为AD6.答案C7.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A. B.C. D.解析由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故正确.答案A8.(2020北京昌平区二模)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A. B.2 C.2 D.3解析根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，ADAB、ADBC，AD
18、AB2，BC1，PA底面ABCD，且PA2，该四棱锥最长棱的棱长为PC3.答案D二、填空题9.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于_.解析由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，正视图的面积与侧视图的面积相等为.答案10.直观图(如图)中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在原坐标系xOy中四边形为_(填图形形状)；面积为_cm2.解析将直观图恢复到平面图形(如图)，是OA2 cm，OC4 cm的矩形，SOABC248(cm2).答案矩形811.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为_.解析由三视图可知几
19、何体为如图所示的三棱锥PABC，其最长棱为AC.答案12.我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中三个梯形的面积之和为_.解析由三视图可知，该几何体的直观图如图五面体，其中平面ABCD平面ABEF，CD2，AB6，EF4，底面梯形是等腰梯形，高为3，梯形ABCD的高为4，等腰梯形EFDC的高为5，三个梯形的面积之和为43546.答案4613.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，点M
20、是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上，若PM1，则PQ长度的最小值为_.解析由题意得，过点Q作QN平面ABCD，垂足为N，则点N在线段AC上，分别连接PQ，PN，在RtPNQ中，PQ，在平面ABCD内过点M作MRAC，垂足为R，则MR2，即M到直线AC的最短距离为2，又PM1，当PMR时，此时PNminMR11，所以PQmin.答案14.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有_对.解析由三视图的特征，将俯视图拉伸得四棱锥ABCDE，且顶点A在底面BCDE上的射影为棱BC的中点O，又底面BCDE为矩形，则侧面ABC底面BCD
21、E，侧面ABE侧面ABC，侧面ACD侧面ABC；又因为ACAB2，BC4，即ABAC，则由CD侧面ABC，知CDAB，故AB侧面ACD，故侧面ABE侧面ACD.因此此几何体中共有4对平面互相垂直.答案4能力提升题组15.在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.和 B.和 C.和 D.和解析如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为，俯视图为.答案D16.(2020北京房山区一模)某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图
22、是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图是正方形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是()A. B.C. D.1解析该多面体为一个三棱锥DABC，是正方体的一部分，如图所示，其中3个面是直角三角形，1个面是等边三角形，SBCD()2，SBADSACD1，SBCA11，所以该三棱锥的四个面的面积中最大的是.答案C17.正四面体的棱长为2，以其中心O为球心作球，球面与正四面体四个面相交所成的曲线总长度为4，则球O的半径为()A. B.C.或 D.或解析设球O的半径为R，若正四面体一个面截球如图1所示，则小圆周长为，所以小圆半径为，又球心到四面体的面的距离为1，故R；若正四面体一个面截球如图2所示，记D为AC的中点，由题意知.设小圆O1的半径为r，则AO1B，又BO1C，AO1D(BO1CAO1B)，O1D，所以cos.令f(r)cos，则f(r)sin0，所以函数f(r)在(0，)上单调递增，且最多有一个零点，而f(2)0，所以方程有唯一解2，从而R，所以球O的半径是或，故选D.答案D18.已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为_.解析如图，过C作y轴的平行线CD，与x轴交于点D.则CDa.又CD是原ABC的高CD的直观图，所以CDa.故SABCABCDa2.答案a2