1、第二学期期中考试高二数学试题（理）一.选择题1. 复数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算法则可解得结果.【详解】.故选：A【点睛】本题考查了复数除法运算法则，属于基础题.2. 曲线在点处的切线方程是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】已知点在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程【详解】由已知得：曲线为;则：对其进行求导得；当时， 曲线在点处的切线方程为：化简得：；故选：D.【点睛】本题主要考查了求曲线切线方程，解题关键是掌握根据导数求切线的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.3. 函数的导
2、数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：考点：函数求导数4. 设，若在处导数，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】直接求出原函数的导函数，由列式求解的值【详解】由，得由，解得：故选：B【点睛】本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题5. 函数的递增区间是（ ）A. B. 和C. D. 和【答案】C【解析】【分析】求导后，由可解得结果.【详解】因为的定义域为，由，得，解得，所以的递增区间为.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数求函数的增区间，属于基础题.6. 下列值等于1的积分是（ ）A. B. C. D. 【答案】
3、C【解析】【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可【详解】解：选项A，xdxx2，不满足题意；选项B，（x+1）dx（x2+x）1，不满足题意；选项C，1dxx101，满足题意；选项D，dxx0，不满足题意；故选C考点：定积分及运算7. 如图，抛物线的方程是，则阴影部分的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】微积分基本定理的几何意义可得答案.【详解】由微积分基本定理的几何意义可得图中阴影部分的面积为.故选：C【点睛】本题考查了微积分基本定理的几何意义，属于基础题.8. 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3
4、人中至少有1名女生，则选派方案共有( )A. 108种B. 186种C. 216种D. 270种【答案】B【解析】选派方案共有 ,选B.9. 五一节放假期间，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据甲、乙、丙去北京旅游的概率，得到他们不去北京旅游的概率，至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游，根据三人的行动相互之间没有影响，根据相互独立事件和对立事件的概率得到结果【详解】解：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，他们不去北京旅游的概率分别为
5、，至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游至少有1人去北京旅游的概率为故选：B【点睛】本题考查相互独立事件和对立事件的概率，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率10. 函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示则函数在内有几个极小值点（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】观察导函数图像，结合极小值点定义即可得出答案.【详解】因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得：导函数值先负后正的点只有一个，故函数在内极小值点的个数
6、是1.故选：A.【点睛】本题考查极小值点的定义，考查导函数图像与极值点的关系，属于基础题.11. 在（1x3）（1x）10的展开式中x5的系数是（ ）A. 297B. 252C. 297D. 207【答案】D【解析】试题分析：因为所以展开式中的的系数是的展开式的中的系数减去的的系数由二项式定理，的展开式的通项为令，则的展开式的中的系数为令，则的展开式的中的系数为所以的系数是故答案选考点：二项式定理【易错点晴】的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的幂的指数及项数有关的组合数，而与，的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有
7、关，而且也与，的系数有关在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别学_科_12. 设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题，构造新函数，然后求得其单调性和奇偶性，然后解得其结果即可.【详解】由题意令，则当时，所以当时，函数为单调递增函数，又由，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以是定义在上的奇函数，所以当时，函数为单调递增函数，且，当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是，所以不等式的解集是，故选D【点睛】本题解答中涉及利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解等知识点，着重考
8、查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用本题的解答中根据题设条件，得出函数的单调性和奇偶性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题二.填空题13. 已知随机变量的分布列如表，则_.012【答案】【解析】【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质列式可解得结果.【详解】由即，解得或，因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列的性质，属于基础题.14. 从中，可猜想第个等式为_.【答案】【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7+=52，观察可知，等式左边第n行有n个数，且第n行的第一个数为n，每行最后一个数是以1为首项，3为公差的等差数列，等式右边
9、为(2n-1)2，所以猜想第n个等式为：点睛：解决归纳推理问题的关键是仔细研究给出的部分对象，通过观察出的规律，把问题转化为其他数学知识的问题进行解决如解决含递推公式的归纳推理问题，一般是先解决题中的递推关系式求出一些特殊的对象，然后再根据这些特殊对象与序号之间的一一对应关系，观察出规律，最后根据规律即可得出一般性结论15. 一个袋中装有外形相同的6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，记第一次摸出红球为事件，第二次摸出红球为事件，则_.【答案】【解析】【分析】计算出和后，再根据条件概率公式计算可得结果.【详解】,所以=.故答案为：.【点睛】本题考查了求条件概率，属于基础题.16. 有3张
10、都标着字母，5张分别标着数字1，2，3，4，5的卡片，若任取其中4张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于_（用数字作答）.【答案】500【解析】【分析】按照牌号中含字母的个数分成4类计数，再相加即可得解.【详解】若牌号中不含字母，则有种牌号；若牌号中含一个字母，则有种牌号；若牌号中含两个字母，则有种牌号；若牌号中含三个字母，则有种牌号，所以可以组成的不同牌号的总数等于.故答案为：500【点睛】本题考查了分类加法计数原理，考查了排列组合的综合应用，属于基础题.三.解答题17. 求函数在闭区间上的最大值、最小值.【答案】最大值为3，最小值为.【解析】【分析】求，求出在闭区间上的极值，与比较
11、大小，即得最值.【详解】.令，得或（舍）.由，得；由，得.在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上有极大值.又，在上的最大值为3，最小值为.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于基础题.18. 已知函数在时有极值0，求常数，的值.【答案】【解析】【分析】根据，解得或，再验证函数在时是否取得极值，即可得解.【详解】因为，所以，由题意可知，即，解得或，当时，函数为上的递增函数，此时函数无极值，不合题意；当时，令，得或，令，得，所以函数在和上递增，在上递减，所以在时取得极大值，符合题意.所以.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题.19. 设函数，（），试讨论函数的单调性.【答案】
12、当时，在单调递减，在单调递增；当时，单调递增，在单调递减；【解析】【分析】对求导，令得单增区间，令得单增区间，即可得出单调性.【详解】，当时，令，即，得 ，令，即，得 ，当时，在单调递减，在单调递增；当时，令，即，得 ，令，即，得 ，当时，在单调递增，在单调递减；综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，注意讨论，属于基础题.20. 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2题才算合格.（1）设甲、乙两人在
13、考试中答对的题数分别为、，写出随机变量、的分布列；（2）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（3）求甲、乙两人至少有一人考试合格概率.【答案】（1）答案见解析（2）甲、乙两人考试合格的概率分别为，（3）【解析】【分析】（1）随机变量的所有可能取值为：0，1，2，3，根据概率公式求出随机变量的每个取值的概率即可得到随机变量的分布列；同理可得随机变量的分布列；（2）记“甲考试合格”事件，乙考试y合格”为事件，由（1）可得结果；（3）先求出甲、乙两人均不合格的概率，再根据对立事件的概率公式可求得结果.【详解】（1）随机变量的所有可能取值为：0，1，2，3，所以随机变量的分布列为：0123随机变量的所有可
14、能取值为：1，2，3，所以随机变量的分布列为：123（2）记“甲考试合格”为事件，乙考试y合格”为事件，由（1）知，.所以甲、乙两人考试合格的概率分别为，.（3）因为事件相互独立，所以甲、乙两人均不合格的概率为，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.【点睛】本题考查了求离散型随机变量的分布列，考查了独立事件的乘法公式，考查了对立事件的概率公式，属于基础题.21. 数列满足：，前项和.（1）求，；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）,（2）,证明见解析.【解析】【分析】（1）根据，计算可得答案；（2）根据，猜想可得，再根据数学归纳法的步骤进行证明即可得解.【详
15、解】（1）由得，所以，由，得，所以，由，得，所以，（2）由（1）知，所以猜想：，证明：1当时，成立，2假设时，等式成立，即，那么当时，所以，即时，等式也成立，所以.【点睛】本题考查了不完全归纳法，考查了利用数学归纳法证明等式，属于基础题.22. 已知函数(1)若函数在区间上存在极值，求正实数的取值范围；(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先求的定义域及其导函数，并由当时，当时，求的单调区间及极值点，由此可解得的取值范围；(2)由得时，令，求令，令，求，并根据为上的单调性求的最小值及实数的取值范围.【详解】解：(1)函数的定义域为，令，得当时，在上单调递增；当时，在上单调递减所以为的极大值点，所以，故，即正实数的取值范围为(2)当时，恒成立，令则令，则，所以，所以，所以为上的增函数，所以，故故实数的取值范围为【点睛】本题主要考查导数的应用，解决此类题关键是熟练掌握导数与单调性、极值的关系.
