1、第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan ；2.掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.知 识 梳 理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan_.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_ cos_ cos_ sin_sin_ 正切tan tan_tan_tan_口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限常用结论与易错提醒1.特殊角的三角函数值0sin 0101cos 1010tan 01不存在0不存在2
2、.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”与“偶”指的是诱导公式k中的整数k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在k中，将看成锐角时k所在的象限.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)sin()sin 成立的条件是为锐角.()(2)六组诱导公式中的角可以是任意角.()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.()(4)若sin(k)(kZ)，则sin .()解析(1)对于R，sin()sin 都成立.(4)当k为奇数
3、时，sin ，当k为偶数时，sin .答案(1)(2)(3)(4)2.sin 600的值为()A. B. C. D.解析sin 600sin(360240)sin 240sin(18060)sin 60.答案B3.已知sin，则tan ()A. B. C. D.解析sincos ，又，则sin ，则tan ，故选C.答案C4.已知sin cos ，则sin cos 的值为()A. B. C. D.解析sin cos ，12sin cos ，sin cos .又(sin cos )212sin cos ，又，sin cos .答案B5.(必修4P22B3改编)已知tan 2，则的值为_.解析原式
4、3.答案36.设a为常数，且a1，0x2，则当x_时，函数f(x)cos2x2asin x1的最大值为_.解析f(x)cos2x2asin x11sin2x2asin x1(sin xa)2a2，因为0x2，所以1sin x1，又因为a1，所以当sin x1，即x时，f(x)max(1a)2a22a1.答案2a1考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】 (1)(2020浙江教育绿色评价联盟适考)已知为第二象限角，且3sin cos 0，则sin ()A. B.C. D.(2)已知sin cos ，且，则cos sin 的值为()A. B. C. D.(3)若tan ，则cos22sin 2(
5、)A. B. C.1 D.解析(1)由3sin cos ，两边平方得9sin21sin2，则sin ，又为第二角限角，所以sin 0，则sin ，故选A.(2)，cos 0，sin sin ，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .(3)tan ，则cos22sin 2.答案(1)A(2)B(3)A规律方法(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，
6、可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.【训练1】 (1)已知sin cos ，(0，)，则tan ()A.1 B. C. D.1(2)若3sin cos 0，则的值为()A. B. C. D.2(3)已知sin ，0，则tan _，sin cos _.解析(1)由得：2cos22cos 10，即0，cos .又(0，)，tan tan 1.(2)3sin cos 0cos 0tan ，.(3)因为0，所以tan ，又0，所以sin 0，cos 0，所以sin cos .答案(1)A(2)A(3)考点二诱导公式的应用【例2】 (1
7、)化简：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)；(2)设f()(12sin 0)，求f的值.解(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 301.(2)f()，f.规律方法(1)诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.化简：统一角
8、，统一名，同角名少为终了.(2)含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5)cos()cos .【训练2】 (1)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是()A.1，1，2，2 B.1，1C.2，2 D.1，1，0，2，2(2)化简：_.解析(1)当k为偶数时，A2；k为奇数时，A2.(2)原式1.答案(1)C(2)1考点三诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用【例3】 (1)已知tan，则tan_.(2)已知cos，且，则cos()A. B. C. D.(3)若，则sin cos ()A. B. C.或1
9、 D.或1解析(1)，tantantan.(2)因为，所以cossinsin.因为，所以0，所以，所以sin.(3)由已知得sin cos sin cos ，12sin cos 3sin2cos2 ，(sin cos 1)(3sin cos 1)0，sin cos sin 2，sin cos .答案(1)(2)D(3)A规律方法(1)常见的互余的角：与；与；与等.(2)常见的互补的角：与；与等.【训练3】 (1)已知sin，则cos_.(2)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x，当0x时，f(x)0，则f()A. B. C.0 D.(3)(2016上海卷)设aR，b0，2.若对
10、任意实数x都有sinsin(axb)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析(1)，coscossin.(2)由f(x)f(x)sin x，得f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，所以fffffsin.因为当0x时，f(x)0.所以f0.(3)sinsinsin，(a，b)，又sinsinsin，(a，b)，注意到b0，2，只有这两组.故选B.答案(1)(2)A(3)B基础巩固题组一、选择题1.()A.sin 2cos 2 B.sin 2cos 2C.(sin 2cos 2) D.cos 2sin 2 解析|sin 2cos
11、 2|sin 2cos 2.答案A2.cos，则sin()A. B.C. D.解析sinsincos.答案A3.已知是第四象限角，sin ，则tan ()A. B. C. D.解析因为是第四象限角，sin ，所以cos ，故tan .答案C4.已知tan ，且，则sin ()A. B. C. D.解析tan 0，且，sin 0，sin2，sin .答案A5.已知sin ，则sin4cos4的值为()A. B. C. D.解析sin4cos4sin2cos22sin21.答案B6.向量a，b(cos ，1)，且ab，则cos()A. B. C. D.解析a，b(cos ，1)，且ab，1tan
12、cos 0，sin ，cossin .答案A7.已知tan 3，则的值是()A. B.2 C. D.2解析原式2.答案B8.已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，则f(2 019)的值为()A.1 B.1 C.3 D.3解析f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，f(2 019)asin(2 019)bcos(2 019)asin()bcos()asin bcos 3.答案D二、填空题9.sin 750_.解析sin 750sin(72030)sin 30.答案10.(2020上海长宁区质检)已知sin ，则cos_.解析由诱导公式知cossin ，故
13、填.答案11.化简：_.解析原式1.答案112.已知为钝角，sin，则sin_.解析因为为钝角，所以cos，所以sincoscos.答案13.已知是第四象限角，且sin，则tan_.解析由题意，得cos，tan.tantan.答案14.若0，sin cos ，则(1)sin cos _；(2)sin cos _.解析(1)将sin cos 两边同时平方可得，sin22sin cos cos2，即2sin cos ，sin cos .(2)由(1)得(sin cos )212sin cos .0，sin 0，sin cos 0，sin cos .答案(1)(2)能力提升题组15.若sin ，co
14、s 是方程4x22mxm0的两根，则m的值为()A.1 B.1 C.1 D.1解析由题意知sin cos ，sin cos .又12sin cos ，1，解得m1.又4m216m0，m0或m4，m1.答案B16.已知sin()cos(2)，|，则()A. B. C. D.解析sin()cos(2)，sin cos ，tan ，|，.答案D17.sin21sin22sin290_；cos21cos22cos290_.解析sin21sin22sin290sin21sin22sin244sin245cos244cos243cos21sin290(sin21cos21)(sin22cos22)(sin244cos244)sin245sin290441.cos21cos22cos29090(sin21sin22sin290).答案18.(2020绍兴一中适应性考试)若sin，则cos _，cos 2cos _.解析由sin得cos ，故由倍角公式得cos 2cos 2cos2cos 1.答案19.已知cosa，则cossin_.解析coscoscosa.sinsincosa，cossin0.答案020.已知：f().(1)化简f()的结果为_；(2)若角的终边在第二象限且sin ，则f()_.解析(1)f()cos .(2)由题意知cos ，f()cos .答案(1)cos (2)