1、考前回归教材1.如图1,在ABC中,AB=AC,A=36,BD,CE分别是ABC,BCD的平分线,则图中的等腰三角形有()图1A.5个B.4个C.3个D.2个2.填空:(1)如果等腰三角形的一个底角为50,那么其余两个角的大小分别为和.(2)如果等腰三角形的顶角为80,那么它的一个底角的大小为.3.如图2,已知ABC=DCB,要使ABCDCB,只需添加一个条件是(只需添加一个你认为合适的条件).图24.在ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.(1)如果ABO+ADO=90,那么ABCD一定是形;(2)如果AOB=AOD,那么ABCD一定是形;(3)如果AB=BC,AC=BD,那么ABCD一定
2、是形.5.如图3,图中所有的三角形都是直角三角形,四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12,16,9,12,求最大正方形E的面积.图36.如图4,A,P,B,C是O上的四个点,APC=CPB=60.判断ABC的形状,并证明你的结论.图47.证明:等腰三角形两底角的平分线相等.8.如图5,RtABC中,CD是斜边AB上的高.求证:(1)ACDABC;(2)CBDABC.图59.如图6,某地由于居民增多,要在公路l上增加一个公共汽车站,A,B是路边两个新建小区,这个公共汽车站建在什么位置,才能使两个小区到车站的路程一样长?(保留作图痕迹,不写作法)图610.证明:三角形内角和等于
3、180 .已知:ABC(如图7所示).求证:A+B+C=180.图711.如图8,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?图812.证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.如图9,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形.图913.证明:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.14.求证: (1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(2)四条边相等的四边形是菱形.(1)如图10,四边形ABCD是平行四边形,ACBD,求证:四边形ABCD是菱形.图10(2)
4、如图11,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,求证:四边形ABCD是菱形.图1115.证明:圆内接四边形的对角互补.16.求证:圆内接平行四边形是矩形.已知:平行四边形ABCD是O的内接四边形,求证:四边形ABCD是矩形.图1217.如图13,RtABC中,C=90,AB,BC,CA的长分别为c,a,b.求ABC的内切圆O的半径r.图1318.如图14,分别以等腰直角三角形ACD的边AD,AC,CD为直径画半圆.求证:所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和(图中阴影部分)等于RtACD的面积.图1419.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),求这条抛物
5、线的对称轴.20.已知:如图15,四边形ABCD是正方形,G是BC上的任意一点,DEAG于点E,BFDE,且交AG于点F.求证:AF-BF=EF.图1521.求证:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知:如图16,在平行四边形ABCD中,AC,BD是其两条对角线.求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2.图1622.无论p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由.23.如图17,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是另一个正方形ABCO的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形ABCO绕点O无论怎样旋转,两个正方形
6、重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一.想一想,这是为什么?图1724.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图象如图18所示.(1)写出这一函数的表达式.(2)当气体体积为1 m3时,气压是多少?(3)当气球内的气压大于140 kPa时,气球将爆炸.为了安全起见,气体的体积应不小于多少?图1825.如图19,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形.当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?请说明理由.图1926.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如
7、调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?27.二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图20所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?用判别式验证一下.一元二次方程x2-2x+2=0有实数根吗?(3)结合图,说明二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?图20【参考答案】1.A2.(1)5080(2)503.答案不唯一,如ACB=DBC或AB=DC等4.矩菱正方
8、5.解:最大正方形E的面积等于正方形A,B,C,D的面积之和,即为122+162+92+122=625.6.解:ABC是等边三角形.证明:在O中,BAC与CPB是BC所对的圆周角,ABC与APC是AC所对的圆周角,BAC=CPB,ABC=APC.又APC=CPB=60,ABC=BAC=60.ABC为等边三角形.7.证明:如图,ABC是等腰三角形,且AB=AC,ABC=ACB.BD,CE分别平分ABC和ACB,1=12ABC,2=12ACB,1=2.在BDC和CEB中,ACB=ABC,BC=CB,1=2,BDCCEB(ASA).BD=CE.8.证明:(1)A=A,ADC=ACB=90,ACDAB
9、C.(2)B=B,ACB=CDB=90,CBDABC.9.解:连接AB,作AB的垂直平分线交直线l于点O,交线段AB于点E,EO是线段AB的垂直平分线,点O到A,B的距离相等.这个公共汽车站应建在O点处,才能使两个小区到车站的路程一样长.10.证明:如图,过点A作直线l,使lBC,lBC,2=4(两直线平行,内错角相等).同理3=5.1,4,5组成平角,1+4+5=180(平角定义).1+2+3=180(等量代换).11. 解析如果把河边l近似地看成一条直线(如图),C为直线l上的一个动点,那么,上面的问题可以转化为:当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小.解:如图,作点B关于直线l的对称
10、点B,连接AB,与直线l的交点C即为所求.12.证明:OA=OC,AOD=COB,OD=OB,AODCOB.AD=BC,OAD=OCB.ADBC.四边形ABCD是平行四边形.13.证明:如图,在ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.AE=EC,DE=EF,四边形ADCF是平行四边形,CFDA,CF=DA.CFBD,CF=BD.四边形DBCF是平行四边形,DFBC,DF=BC.又DE=12DF,DEBC,且DE=12BC.14.证明:(1)四边形ABCD是平行四边形,AO=OC.BDAC,BD垂直平分AC,DA=DC(线段垂直平分线的性质),
11、四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).(2)AD=BC,AB=CD,四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).AD=AB,四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).15.证明:如图,四边形ABCD是O的内接四边形,连接OB,OD.A所对的弧为BCD,C所对的弧为BAD,又BCD和BAD所对的圆心角的和是周角,A+C=3602=180.同理ABC+ADC=180.圆内接四边形的对角互补得证.16.证明:平行四边形ABCD是O的内接四边形,B=D,B+D=180,B=90,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABCD是矩形.17.解:作O
12、DAB于D,OEAC于E,OFBC于F,如图,O为ABC的内切圆,OD=OE=OF=r,ACB=90,四边形CEOF为正方形,CE=CF=r,AE=AD=b-r,BF=BD=a-r,AD+BD=AB,b-r+a-r=c,r=a+b-c2.18.证明:因为AC2+CD2=AD2,所以12AC22+12CD22=12AD22,故以AC为直径的半圆的面积+以DC为直径的半圆的面积=以AD为直径的半圆的面积.即S半圆AEC+S半圆DFC=S半圆ACD,S半圆AEC+S半圆DFC-S弓形AGC-S弓形DHC=S半圆ACD-S弓形AGC-S弓形DHC,故两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和等于RtAC
13、D的面积.19.解:方法一:因为抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),a0,a(-1)2+b(-1)+c=0,a32+b3+c=0,解得a0,b=-2a,c=-3a.抛物线所对应的函数解析式为y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a(a0),所求抛物线的对称轴为直线x=1.方法二:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),抛物线所对应的函数解析式可设为y=a(x+1)(x-3)(a0),即y=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a(a0),抛物线的对称轴为直线x=1.方法三:抛物线是关于对称轴对称的,且其对
14、称轴x=h与x轴垂直,对称轴必过以点(-1,0)和(3,0)为端点的线段的中点,则h-(-1)=3-h,得h=-1+32=1.即抛物线的对称轴为直线x=1.20.证明:四边形ABCD是正方形,AD=AB,BAD=90.DEAG,DEG=AED=90,ADE+DAE=90.又BAF+DAE=BAD=90,ADE=BAF.BFDE,AFB=DEG=AED,ABFDAE,BF=AE,AF-BF=AF-AE=EF.21.证明:作AEBC于点E,DFBC交BC的延长线于F,则AEB=DFC=90.四边形ABCD是平行四边形,AB=DC,ABCD,ABE=DCF,ABEDCF,AE=DF,BE=CF.在R
15、tACE和RtBDF中,由勾股定理,得AC2=AE2+EC2=AE2+(BC-BE)2,BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2=AE2+(BC+BE)2,AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2(AE2+BE2)+2BC2.又AE2+BE2=AB2,AC2+BD2=2(AB2+BC2).AB=CD,AD=BC,AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2.22.解:无论p取何值,原方程总有两个不等的实数根.理由如下:方法一:原方程可化为x2-5x+6-p2=0.=(-5)2-4(6-p2)=1+4p2,对任何实数p,均有1+4p20,方程总有两个实数根,即x1=5+1+4p
16、22,x2=5-1+4p22,且两个根不相等.方法二:由p2=(x-3)(x-2)=x2-5x+6=x2-5x+522+6-522=x-522-14,得x-522=p2+14,无论p取何值,p2+1414,因此x=52p2+14.故无论p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.23.解:设OC交BC于点F,AO交AB于点E,四边形ABCD为正方形,OA=OB,OAB=OBF=45,BOAC,AOE+EOB=90.又四边形ABCO为正方形,AOC=90,即BOF+EOB=90,AOE=BOF.AOE=BOF,AO=BO,OAB=OBF,AOEBOF,又两正方形的边长相等,
17、两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积,即等于一个正方形面积的四分之一.24.解:(1)一定质量的气体,当温度不变时,p是V的反比例函数,设p=kV(k0).将A(0.8,120)代入p=kV,得120=k0.8,解得k=96,该函数的表达式为p=96V.(2)当V=1时,p=96,即气压为96 kPa.(3)当p=140时,V=2435,由图象可知,当气球内的气压不大于140 kPa时,气体的体积应不小于2435 m3.25.解:点E位于AB中点.理由如下:设正方形ABCD的边长为a,因为四边形EFGH也为正方形,易证AEHBFECGFDHG.设AE=x,则DH=CG=x,DG=CD
18、-CG=a-x.故HG2=DH2+DG2=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.S正方形EFGH=HG2=2x2-2ax+a2=2x-a22+a22a22(当且仅当x=a2时取等号),当点E为AB中点时,正方形EFGH的面积最小.26.解:设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随x变化的关系式为y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250,自变量x的取值范围是0x30.因此当x=5时,y取得最大值6250元.设每件降价a元,每星期售出商品的利润y随a变化的关系式为y=(60-a-40)(300+20a)=-20a
19、2+100a+6000=-20(a-2.5)2+6125,自变量a的取值范围是0a20,因此抛物线开口向下,y6125.62506125,应涨价5元.故当商品售价定为65元时,才能使利润最大.27.解:(1)二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.(2)一元二次方程x2+2x=0有两个不相等的实数根;一元二次方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根.验证:1=22-410=40,x2+2x=0有两个不相等的实数根.2=22-411=0,x2-2x+1=0有两个相等的实数根.方程x2-2x+2=0没有实数根.(3)从图象和(1)(2)中可知,二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根,分别为0,-2;二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根,为1;由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.