1、武汉六中2015届高三临门一脚考试数学(理)试题命题教师：张绪明 审题教师：刘大岱考试时间：2015年5月26日下午15：0017：00，试卷满分：150分 祝考试顺利第卷（选择题共50分）一、选择题（本题包括10小题；每题5分，共50分。在每小题只有一个选项正确。）1设复数满足，则 =ABCD2设是两个非零向量，则“”是“夹角为钝角”的A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件3某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示已知9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为A10万元 B15万元 C20万
2、元 D25万元4执行如右图所示的程序框图,若输出的值为22，那么输入的值等于A6 B7 C8 D9来源:学科网ZXXK5如图，矩形的四个顶点正弦曲线和余弦曲线在矩形内交于点F，向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是A B C D 来源 6. 设函数f（x）=sin（2）+cos（2），且其图象关于直线x=0对称，则y =f（x）A周期为，在（0，）上为增函数 B周期为，在（0，）上为增函数C周期为，在（0，）上为减函数来源:学科网ZXXK D周期为，在（0，）上为减函数7. 已知为椭圆的两个焦点，P在椭圆上且满足，则此椭圆离心率的取值范围是ABCD8. 已知函数，设方程的四个实
3、根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为A B C D9. 已知x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A.或1 B2或 C2或1 D2或110. 已知数列中，为的前n项和。 b=1时，=12; 存在，数列成等比数列； 时，数列是递增数列；当时数列是递增数列以上命题为真命题的是（ ）。ABCD第卷（非选择题共100分）二、填空题：考生作答5小题，每小题5分，共25分。11. 不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为 12. 三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于 .13. 二项式的展开式中常数项为 （用数字作答）。
4、14. 若函数 y =f（x）在定义域内给定区间a，b上存在xo（axoa1）上的“平均值函数”，xo是它的一个均值点，则xo与 的大小关系是 选做题（15、16题二选一）15. 过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C两点.若PA6，AC8，BC9，则AB_16. 在极坐标系内，已知曲线C1的方程为，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为(为参数)设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两条切线所成角的最大值是_三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1
5、7（12分）设ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c. 已知C，acosA=bcosB（第17题）（1）求角A的大小；（2）如图，在ABC的外角ACD内取一点P，使得PC2过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N设PCA，求PMPN的最大值及此时的取值18（ 12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表
6、），且每一门课程是否合格相互独立.课 程初等代数平面几何初等数论微积分初步合格的概率（）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；第19题图（）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望19（ 12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点（）求证:平面；（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值20（本小题满分12分）已知无穷数列的各项均为正整数，为数列的前项和（）若数列是等差数列，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式； （）对任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与一
7、起恰好是1至全体正整数组成的集合 （）求的值； （）求数列的通项公式21（本小题满分13分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率虚轴长为2.（）求双曲线的标准方程；（）若直线与双曲线相交于，两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标22（本小题满分14分）已知为常数，在处的切线方程为（）求的单调区间；（）若任意实数，使得对任意的上恒有成立，求实数的取值范围；（）求证：对任意正整数，有参考答案一、 C B C C B C C D D A二、11 12 3 1310 14(1) (0，2) (2)【解析】(1)函数f（x）=x2mx1是
8、区间1，1上的平均值函数，关于x的方程x2mx1=在（1，1）内有实数根由x2mx1=x2mx+m1=0，解得x=m1，x=1又1（1，1）x=m1必为均值点，即1m110m2所求实数m的取值范围是0m2（2）解：由题知lnx 0=猜想：lnx 0，证明如下：，令t=1，原式等价于lnt2t 令h（t）=2lntt+，则h（t）=，h（t）=2lntt+h（1）=0，得证lnx015. 4 16. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（1）由acosAbcosB及正弦定理可得sinAcosAsinBcosB，（第17题）即sin2Asin2B，又
9、A(0，)，B(0，)，所以有AB或AB 又因为C，得AB，与AB矛盾，所以AB，因此A 4分（2）由题设，得 在RtPMC中，PMPCsinPCM2sin；在RtPNC中，PNPCsinPCN PCsin(PCB) 2sin()2sin ()，(0，). 6分所以，PMPN2sin2sin ()3sincos2sin(). 10分因为(0，)，所以(，)，从而有sin()(，1，于是，当，即时，PMPN取得最大值218. （1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立， “甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为： （2）由题设知的所有可能取值为0，1
10、，2，3， ， ，的分布列为： ,19（）证明：连结交于，连结 第18题图是正方形， 是的中点 是的中点，是的中位线 2分 又平面，平面， 平面 4分 （）证明：由条件有 平面，且平面 又 是的中点， 平面 平面 6分 由已知 平面又平面 平面平面 8分 （）取中点，则作于，连结 底面，底面为在平面内的射影, 为二面角的平面角 10分设，在中， 二面角的余弦的大小为 12分 20（）设无穷等差数列的公差为，则 所以又 .2则= .3所以则或 .5（）（i）记，显然 .6对于，有 故，所以 .7（ii）由题意可知，集合按上述规则，共产生个正整数而集合按上述规则产生的个正整数中，除这个正整数外，还
11、有，共个数所以， .9又所以 .10当时，而也满足 所以，数列的通项公式是 .1221（）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，又，解得，双曲线的标准方程为. -5分（）设，联立 ，得，故 ， -7分 ，以AB为直径的圆过双曲线的左顶点，即， ，解得：，. -10分当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾； -11分当时，的方程为，直线过定点，经检验符合已知条件 -12分所以，直线过定点，定点坐标为 -13分22 【解析】：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+），f（x）=+，f（1）=把x=1代入x+y2=0得y=1，f（1）=1，m=2，n=，.2f（x）=lnx，
12、f（x）=，x0，f（x）0，f（x）的单调递减区间为（0，+），没有递增区间.4（2）由（1）可得，f（x）在，1上单调递减，f（x）在，1上的最小值为f（1）=1，只需t3t22at+21，即2a对任意的t，2上恒成立，5令g（t）=，则g（t）=2t1=，令g（t）=0可得t=1，而2t2+t+10恒成立，当t1时，g（t）0，g（t）单调递减，来源:学科网当1t2时，g（t）0，g（t）单调递增7g（t）的最小值为g（1）=1，而g（）=+2=，g（2）=42+=，显然g（）g（2），g（t）在，2上的最大值为g（2）=，只需2a，即a，实数a的取值范围是，+）.9（3）由（1）可知f（x）在区间（0，1上单调递减，对于任意的正整数n，都有f（）f（1）=1，即ln1，.11整理可得+lnn2，则有：+ln12，+ln22，+ln32，+lnn2.13把以上各式两边相加可得：4（+）+（ln1+ln2+lnn）2n.14
