1、变量分离技巧的应用 知识拓展分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端各含同一个变量，这是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一范围未知.结论1不等式f(x)g(a)恒成立f(x)ming(a)(求解f(x)的最小值)；不等式f(x)g(a)恒成立f(x)maxg(a)(求解f(x)的最大值).结论2不等式f(x)g(a)存在解f(x)maxg(a)(求解f(x)的最大值)；不等式f(x)g(a)存在解f(x)ming(a)(求解f(x)
2、的最小值).结论3方程f(x)g(a)有解g(a)的范围与f(x)的值域有交集(求解f(x)的值域).解决问题时需要注意：(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；(2)确定是求最大值、最小值，还是值域. 题型突破题型一不等式恒成立求参数【例1】 已知函数f(x)axln(x1)a1(x1，aR).若函数f(x)在x0处取到极值，且对任意x(1，)，f(x)mxm2恒成立，求实数m的取值范围.解f(x)a，f(0)a10，a1，f(x)xln(x1)，f(x)xln(x1)m(x1)2，m(x1).令x1n，n0，m1，设g(n)1，n0，则g(n)；当n(0，e2)时，g(n)0，g
3、(n)单调递增，则g(n)ming(e2)1，m的取值范围为.【训练1】 (1)已知函数f(x)x2ax1，x(0，1，且|f(x)|3恒成立，则a的取值范围是_.(2)(2019天津卷)已知aR，设函数f(x)若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立，则a的取值范围为()A.0，1 B.0，2 C.0，e D.1，e解析(1)由题意|x2ax1|3，即3x2ax13，所以4x2ax2x2，又x(0，1，即xax，得a，g(x)x在(0，1上单调递增，所以g(x)maxg(1)5.h(x)x在(0，1上单调递减，所以h(x)minh(1)1.所以5a1，即a的取值范围是5，1.(2)当x1时，由
4、f(x)x22ax2a0恒成立，而二次函数f(x)图象的对称轴为直线xa，所以当a1时，f(x)minf(1)10恒成立，当a1时，f(x)minf(a)2aa20，0a1时，由f(x)xaln x0恒成立，即a恒成立.设g(x)(x1)，则g(x).令g(x)0，得xe，且当1xe时，g(x)e时，g(x)0，g(x)ming(e)e，ae.综上，a的取值范围是0ae.故选C.答案(1)5，1(2)C题型二不等式有解求参数【例2】 (1)已知函数f(x)x3x22x1在区间(2，1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_.(2)(2019浙江卷)已知aR，函数f(x)ax3x.若存在tR
5、，使得|f(t2)f(t)|，则实数a的最大值是_.解析(1)f(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式f(x)x2ax20成立，即x(2，1)时，a2，当且仅当x即x时等号成立.所以满足要求的实数a的取值范围是(，2).(2)由题意得f(t2)f(t)a(t2)3(t2)(at3t)a(t2)3t32a(t2t)(t2)2(t2)tt222a(3t26t4)22a3(t1)212.由|f(t2)f(t)|，得|2a3(t1)212|，即2a3(t1)212，a3(t1)21，a.设g(t)，则当t1时，g(t)max.当t1时，a取得最大值.答案(1)(，2)(2)【训练2】 已
6、知函数f(x)ln xax22x存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解f(x)ln xax22x，x(0，)，所以f(x)ax2，由f(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2有解.设h(x)，所以只要ah(x)min即可.而h(x)1，所以h(x)min1.所以a1，即实数a的取值范围为(1，).题型三含参数的方程有解问题【例3】 已知函数f(x)x(ln xax)有极值点，则实数a的范围为_.解析由题意f(x)ln x2ax10在(0，)上有解，a，x(0，)，令g(x)，x(0，)，g(x)，当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x(1，)时，g(x)0
7、在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是()A.(，2) B.(2，)C.(6，) D.(，6)解析不等式x24x2a0在区间(1，4)内有解等价于a(x24x2)max，x(1，4).令f(x)x24x2，x(1，4)，所以f(x)f(4)2，所以a2.答案A2.(2020金华十校期末调研)若关于x的不等式x33x2axa20在x(，1上恒成立，则实数a的取值范围是()A.(，3 B.3，)C.(，3 D.3，)解析关于x的不等式x33x2axa20在x(，1上恒成立，等价于a(x1)x33x22(x1)(x22x2)在x(，1上恒成立，当x1时，13aa200成立；当x1时，x10，即
8、ax22x2恒成立，因为yx22x2(x1)233，所以a3，故选A.答案A3.若存在正数x使2x(xa)0，所以由2x(xa)x，令f(x)x，则函数f(x)在(0，)上是增函数，所以f(x)f(0)01，所以a1.答案D4.已知函数f(x)m9x3x，若存在非零实数x0，使得f(x0)f(x0)成立，则实数m的取值范围是()A.m B.0mC.0m2 D.m2解析由题意得关于x的方程m9x3xm9x3x有非零实数解，整理得到m0，所以实数m的取值范围是0m.答案B二、填空题5.(2020上海徐汇区一模)若不等式(1)na3对任意的正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_.解析n为偶数时，a，
9、即a3；n为奇数时，a0在x(，1上恒成立，即a在x(，1上恒成立，设g(x)，则易得g(x)在x(，1上单调递增，所以g(x)maxg(1)，所以a.答案7.(2020上海嘉定区调研)若不等式x22y2cx(yx)对满足xy0的任意实数x，y恒成立，则实数c的最大值为_.解析不等式x22y2cx(yx)对任意满足xy0的实数x，y恒成立，c，令t1，cf(t)，f(t)，当t2时，f(t)0，函数f(t)单调递增；当1t2时，f(t)或m时，yf(x)有1个零点；当m或m0或m时，yf(x)有2个零点；当0m或m0，由f0，得a10，所以a，此时f(x)ln xx，则f(x).所以f(x)在
10、上为减函数，在2，)上为增函数，所以x2为极小值点，则极小值为f(2).(2)不等式aln xbx即为f(x)b，所以bf(x)max.若1x2，则ln x0，f(x)aln xxx2.当a0，x2时取等号；若x1，则ln x0，f(x)aln xxln xx.由(1)可知g(x)ln xx在上为减函数.所以当x1时，g(x)gln 2.因为ln 212时，函数yt22at2在t2，a时是减函数，在ta，)时是增函数，值域为a22，).综上，g(a)(3)解由mf(x)2xm1，得mf(x)12x1，当x0时，2x1，所以f(x)2x2x2，所以f(x)110，所以m恒成立.令t12x，则t0，由t0，得t2，所以t13，0.所以m，即实数m的取值范围是.