1、第二章 函数的概念及基本初等函数()第三节 函数的奇偶性及周期性栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，其中与函数的单调性、周期性交汇的问题仍将是 2021年高考考查的热点题型以选择题、填空题为主，中等偏上难度，分值为5 分到 10 分.1.逻辑推理2.数学抽象 3.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点
2、偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 1_，那么函数 f(x)是偶函数关于 2 _对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 3_，那么函数 f(x)是奇函数关于 4 _对称 f(x)f(x)f(x)f(x)y轴原点常用结论(1)函数奇偶性的几个重要结论 如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0.如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)0，xD，其中定义域 D是关于原点对称的非空数集 奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于
3、原点对称的区间上具有相反的单调性(2)有关对称性的结论 若函数 yf(xa)为偶函数，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称 若函数 yf(xa)为奇函数，则函数 yf(x)关于点(a，0)中心对称 若对于 R 上的任意 x 都有 f(x)f(2ax)，则函数 f(x)的图象关于直线 xa 对称；若 f(x)f(2ax)2b，则函数 f(x)关于点(a，b)中心对称2函数的周期性(1)周期函数对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 5 _，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的
4、所有周期中 6 _的正数，那么这个 7_就叫做 f(x)的最小正周期f(xT)f(x)存在一个最小最小正数常用结论 定义式 f(xT)f(x)对定义域内的 x 是恒成立的若 f(xa)f(xb)，则函数 f(x)的周期为 T|ab|；若在定义域内满足 f(xa)f(x)，f(xa)1f（x），f(xa)1f（x）(a0)，则 f(x)为周期函数，且 T2a 为它的一个周期 对称性与周期的关系：(1)若函数 f(x)的图象关于直线 xa 和直线 xb 对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期(2)若函数 f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数 f(x)必为周
5、期函数，2|ab|是它的一个周期(3)若函数 f(x)的图象关于点(a，0)和直线 xb 对称，则函数 f(x)必为周期函数，4|ab|是它的一个周期基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数 yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称()(5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二
6、、走进教材2(必修 1P35 例 5 改编)下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x|Dy2x答案：B3(必修 4P46A10 改编)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1，1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则 f32 _答案：1三、易错自纠4设奇函数 f(x)在(0，)上是增函数，且 f(1)0，则不等式 xf(x)f(x)0 的解集为()Ax|1x1Bx|x1 或 0 x1Cx|x1Dx|1x0 或 0 x1解析：选 D 由题意，得 f(x)f(x)，xf(x)f(x)0，xf(x)0，又 f(1)0，f(1)0.奇函数
7、 f(x)在(0，)上是增函数，从而函数 f(x)在(，0)(0，)的大致图象如图所示：则不等式 xf(x)f(x)0 的解集为x|1x0 或 0 x1，故选 D 5已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在0，)上单调递增，且 f(1)0，则不等式 f(x2)0 的解集是_解析：由已知可得 x21 或 x21，解得 x3 或 x1，所求解集是(，13，)答案：(，13，)6若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 xf(232)f(223)Bflog314 f(223)f(232)Cf(232)f(223)flog314Df(223)f(232)flog314解析 f(x)
8、是定义域为 R 的偶函数，flog314 f(log34)log34log331，0232223201，0232223f(223)flog314，故选 C答案 C命题角度二 周期性与奇偶性结合【例 2】(2020 届四川五校联考)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，当 x(0，1时，f(x)2xln x，则 f(2 019)_解析 由 f(x)f(x4)得 f(x)是周期为 4 的函数，故 f(2 019)f(45051)f(1)又 f(x)为奇函数，所以 f(1)f(1)(2ln 1)2.答案 2命题角度三 单调性、奇偶性与周期性结合【例 3】已知函数 f(x)的定
9、义域为 R，且满足下列三个条件：对任意的 x1，x24，8，当 x10；f(x4)f(x)；yf(x4)是偶函数若 af(6)，bf(11)，cf(2 017)，则 a，b，c 的大小关系正确的是()AabcBbacCacbDcba解析 由得，f(x)在4，8上单调递增；由得，f(x8)f(x4)f(x)，故 f(x)是周期为 8 的周期函数，所以 cf(2 017)f(25281)f(1)，bf(11)f(3)；由得，f(x)的图象关于直线 x4 对称，所以 bf(3)f(5)，cf(1)f(7)结合 f(x)在4，8上单调递增可知，f(5)f(6)f(7)，即 babcBcabCbcaDa
10、cb解析：选 D 偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，函数的周期为 2.af(2.8)f(0.8)，bf(1.6)f(0.4)f(0.4)，cf(0.5)f(0.5)0.80.5cb，故选 D 考点 函数性质的创新探究应用【例】已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)2f(x)，若函数 yx1x 与 yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则mi1(xiyi)()A0BmC2mD4m解析 yx1x 11x，其图象如图，关于点(0，1)对称又 f(x)2f(x)，即 f(x)f(x)2，yf(x)的图象也关于点(0，1)对称又yx1x 与 yf(x)图象的交点
11、为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，由图象对称性可知，这些交点也关于点(0，1)对称不妨设点(x1，y1)与(xm，ym)关于点(0，1)对称点(x2，y2)与(xm1，ym1)关于点(0，1)对称，.由对称性可知x1xm0，x2xm10，y1ym2，y2ym12，.mi1(xiyi)mi1ximi1yi02m2m.故选 B 答案 B名师点津求解函数对称性问题的关键是利用条件判断出函数的对称中心或对称轴|跟踪训练|(2019 届江西南昌模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x2)4，g(x)sin x2.若函数 f(x)的图象与 g(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，则ni1(xiyi)()AnB2nC3nD4n解析：选 C 因为 f(x)f(x2)4，所以函数 f(x)的图象关于(1，2)中心对称因为 g(x)sin x2，所以 g(x)的图象也关于(1，2)对称，所以ni1xin，ni1yi2n，所以ni1(xiyi)3n，故选 C点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS