1、导数与函数的极值、最值 1函数的极值与导数条件f(x0)0x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0x0附近的左侧f(x)0图象极值f (x0)为极大值f (x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点2.函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f (x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f (x)在a，b上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在a，b上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值概念方法微思考1对于可导函数f (x)，“f(x0)0”是“函数f (x)在xx0处有极值”的_条件(填“充要”“充分不必要”“
2、必要不充分”)提示必要不充分2函数的最大值一定是函数的极大值吗？提醒不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到1（2019新课标）已知函数证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数【解析】（1）函数的定义域为，单调递增，单调递减，单调递增，又（1），（2），存在唯一的，使得当时，单调递减，当时，单调递增，存在唯一的极值点（2）由（1）知（1），又，在，内存在唯一的根，由，得，是在的唯一根，综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数2（2019江苏）设函数，为的导函数（1）若，（4），求的值；（2）若，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，且的极大值为，
3、求证：【解析】（1），（4），解得（2），设令，解得，或令，解得，或和的零点均在集合，1，中，若：，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，因此，可得：可得时，函数取得极小值，（1）（3）证明：，令解得：，可得时，取得极大值为，令，可得：，令，函数在上单调递减，函数在上单调递增，3（2018北京）设函数（）若曲线在点，（2）处的切线斜率为0，求；（）若在处取得极小值，求的取值范围【解析】（）函数的导数为曲线在点，（2）处的切线斜率为0，可得，解得；（）的导数为，若则时，递增；，递减处取得极大值，不符题意；若，且，则，递增，无极值；若，则，在，递减；在，递增，可得在处取得极小值；若
4、，则，在递减；在，递增，可得在处取得极大值，不符题意；若，则，在，递增；在，递减，可得在处取得极大值，不符题意综上可得，的范围是4（2018北京）设函数（）若曲线在点，（1）处的切线与轴平行，求；（）若在处取得极小值，求的取值范围【解析】（）函数的导数为由题意可得曲线在点，（1）处的切线斜率为0，可得，且（1），解得；（）的导数为，若则时，递增；，递减处取得极大值，不符题意；若，且，则，递增，无极值；若，则，在，递减；在，递增，可得在处取得极小值；若，则，在递减；在，递增，可得在处取得极大值，不符题意；若，则，在，递增；在，递减，可得在处取得极大值，不符题意综上可得，的范围是，5（2018新课
5、标）已知函数（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求【解析】（1）当时，可得时，时，在递减，在递增，在上单调递增，又当时，；当时，（2）解：由，得，令，当，时，单调递增，即，在上单调递增，故不是的极大值点，不符合题意当时，显然单调递减，令，解得当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，单调递减，又，当时，即，当时，即，在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，符合题意；若，则，在上有唯一一个零点，设为，当时，单调递增，即，在上单调递增，不符合题意；若，则，在上有唯一一个零点，设为，当时，单调递减，单调递增，即，在，上单调递减，不符合题意综上，6（2017全国）已知函数（1）当时，
6、求的极小值；（）当时，讨论方程实根的个数【解析】（1）当时，令，得或；当时，有，列表如下：200极大值极小值故极小值为当时，有，则，故在上单调递增，无极小值；当时，有，列表如下：200极大值极小值故极小值为（2）（）解法一：当时，令，得或，有两个根；当时，令，得或，有，列表如下：200极小值极大值故极大值为（2），极小值，因此有三个根解法二：当时，令，得或，有两个根；当时，对于二次函数，不是该二次函数的零点，则该二次函数有两个不等的非零零点，此时，方程有三个根7（2017山东）已知函数，其中是自然对数的底数（）求曲线在点，处的切线方程；（）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值【解析
7、】，曲线在点，处的切线方程为：化为：令，则，函数在上单调递增，时，；时，（1）时，时，函数在单调递增；时，函数在单调递减时，函数取得极小值，（2）时，令解得，时，时，函数单调递增；时，函数单调递减；时，函数单调递增当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，当时，时，函数在上单调递增时，时，函数单调递增；时，函数单调递减；时，函数单调递增当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，综上所述：时，函数在单调递增；时，函数在单调递减时，函数取得极小值，时，函数在，是单调递增；函数在上单调递减当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，当时，函数在上单调递增时，函数在，上单调递增；函数在上单调递减当
8、时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，8（2017江苏）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点（）求关于的函数关系式，并写出定义域；（）证明：；（）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求实数的取值范围【解析】（）解：因为，所以，令，解得由于当时，单调递增；当时，单调递减；所以的极小值点为，由于导函数的极值点是原函数的零点，所以，即，所以因为有极值，所以有实根，所以，即，解得，所以（）证明：由（1）可知（a），由于，所以（a），即；（）解：由（1）可知的极小值为，设，是的两个极值点，则，所以，又因为，这两个函数的所有极值之和不小于，所以，因为，所以，所以，所以，由于时，所以，解得，所以的取
9、值范围是，9（2017新课标）已知函数，且（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且【解析】（1）因为，则等价于，求导可知则当时，即在上单调递减，所以当时，（1），矛盾，故因为当时、当时，所以，又因为（1），所以，解得；另解：因为（1），所以等价于在时的最小值为（1），所以等价于在处是极小值，所以解得；（2）由（1）可知，令，可得，记，则，令，解得，所以在区间上单调递减，在，上单调递增，所以，又，所以在上存在唯一零点，所以有解，即存在两根，且不妨设在上为正、在，上为负、在，上为正，所以必存在唯一极大值点，且，所以，由可知；由可知，所以在上单调递增，在，上单调递减，所以；综上所述，存在唯一的极
10、大值点，且10（2016山东）设，（1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极大值，求正实数的取值范围【解析】（1）由 ，可得 ，所以，当，时，函数单调递增；当，时，函数单调递增，时，函数单调递减所以当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为，（6分）（2）由（1）知，（1）当时，由（1）知在内单调递增，可得当时，当时，所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意当时，在内单调递增，在内单调递减，所以当时，单调递减，不合题意当时，在上单减，当，时，单调递增，当时，单调递减所以在处取极大值，符合题意综上可知，正实数的取值范围为，（12分）11（2017北京）已知函数
11、（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）求函数在区间，上的最大值和最小值【解析】（1）函数的导数为，可得曲线在点，处的切线斜率为，切点为，即为，曲线在点，处的切线方程为；（2）函数的导数为，令，则的导数为，当，可得，即有在，递减，可得，则在，递减，即有函数在区间，上的最大值为；最小值为1（2020道里区校级一模）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为A，BCD【答案】B【解析】由，得，要使有两个极值点，只需有两个变号根，即有两个变号根令，则，由得，易知当时，此时单调递增；当时，此时单调递减所以，而，作出，的图象，可知：，解得故选2（2020内江三模）函数在区间，内有极小值，则的取值范围是ABC
12、，D，【答案】D【解析】，当时，所以在，上，单调递减，在上，单调递增，（2）为函数的极小值，符合题意，当时，令，得，且，所以在，上，单调递减，在上，单调递增，（2）为函数的极小值，符合题意，当时，令，得，且，若在，有极小值，只需或，解得，或，综上所述，或，故选3（2020德阳模拟）已知函数有两个极值点，若不等式恒成立，那么的取值范围是A，B，C，D，【答案】D【解析】函数的定义域为， ，因为函数有两个极值点，所以方程在上有两个不相等的正实数根，则，解得因为，设（a），（a），易知（a）在上恒成立，故（a）在上单调递增，故（a），所以，所以的取值范围是，故选4（2020汕头校级三模）已知函数只有
13、一个极值点，则实数的取值范围是A，B，C，D，【答案】A【解析】，只有一个极值点，只要一个变号零点（1）当时，易知是的唯一极值点；（2）当时，方程可化为，令，可得两函数均为奇函数，只需判断时，两函数无交点即可当时，所以与有唯一交点，且当时，；当时，是的唯一极值点；当时，即在上单调递增，且，设过原点的切线为，切点为，则，解得，如图所示，当在直线下方（第一象限）或与重合时，是唯一交点，能满足的变号零点，即函数的极值点，综上所述，实数的取值范围为，故选5（2020山西模拟）已知函数仅有一个极值点1，则实数的取值范围是ABCD【答案】B【解析】由题意知函数的定义域为，因为函数恰有一个极值点1，所以无解
14、，令，则，所以在上单调递增，从而，所以时，无解，仅有一个极值点1，所以取值范围是故选6（2020南平三模）函数在内有极值，那么下列结论正确的是A当时，B当时，C当时，D当时，【答案】B【解析】令，则，若在内仅有一个极值点，即在内有一个零点，则，解得；若在内仅有两个极值点，即在内有两个零点，则，无解，当时，函数在内有极值，现考查不等式，两边同时取对数可得，即，令，则，令（a），解得，函数（a）在上单调递减，在上单调递增，又，（e），当时，（a）成立，即，选项正确故选7（2020龙岩模拟）已知函数在上有极值，则实数的取值范围为ABCD【答案】B【解析】，设，函数在区间上有极值，在上有变号零点，令，
15、由可得，即，得到，故选8（2020武汉模拟）设函数在定义域内只有一个极值点，则实数的取值范围为ABCD【答案】C【解析】，定义域为，设，当时，故，在上为增函数，所以无极值点当时，若时，故，故在上递增，所以无极值点若时，设的两个不相等的实数根为，且，且，而，则，所以当，单调递增；当，单调递减；当，单调递增所以此时函数有两个极值点；当时，设的两个不相等的实数根为，且，但，所以，所以当，单调递増；当，单调递减所以此时函数只有一个极值点综上得：当时有一个极值点故选9（2020昆明一模）已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为A，B，C，D，【答案】D【解析】由题可知，是的唯一极小值点，恒成立，即
16、，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，即故选10（2020江西模拟）已知定义在上的函数，其中，为自然对数的底数（1）求证：有且只有一个极小值点；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围【解析】（1）证明：由于，则 在 上单调递增令，则，故当时， 单调递减当 时， 单调递增，则，即，由于，故，使得，且当时，单调递减；当，时，单调递增因此 在 有且只有一个极小值点，无极大值点（2）由于不等式 在 上恒成立，必要性：当 时，不等式成立，即令，由于，则（a） 在 上单调递增，又由于（1），则（a） 的解为充分性：下面证明当 时， 在 上恒成立令，由于，则令，则， 在 上单调递增，由于（1），则当
17、时， 单调递减，当 时， 单调递增，故（1），即 恒成立，因此，当 时， 在 上恒成立故的取值范围为，11（2020红河州三模）已知函数（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围，并证明：，（1），成等差数列【解析】（1）由得，故切线斜率（1），又（1），故切线方程为：，即；（2），由题意知：，是方程在内的两个不同实数解，令，注意到，其对称轴为直线，故只需，解得：，即实数的取值范围是，由，是方程的两根，得：，故，又（1），即（1），故，（1），成等差数列12（2020启东市校级模拟）已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的切线（1）求的解析式；（2）若函
18、数有两个极值点，且，求的取值范围【解析】（1）根据题意，函数与可知，两图象在点处有相同的切线，所以两个函数切线的斜率相等，即，化简得，将代入两个函数可得，综合上述两式可解得，所以（2）函数，定义域为，因为，为函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等实根，由根与系数的关系知，又已知，所以，将式代入得，令，令，解得：，当，时，在，单调递减；当，时，在，单调递增；所以，（1），（1），即的取值范围是，13（2020河南模拟）设函数，（1）若曲线在处的切线也与曲线相切，求的值（2）若函数存在两个极值点求的取值范围；当时，证明：【解析】（1），（1），（1），故曲线在处的切线方程是；设直线与相切于点，由
19、，得；（2），在上存在两个极值点等价于在上有2个不同的根，由，可得，令，则，令，可得，故在递减，且（1），当时，递增，当时，递减，故（1）是极大值也是最大值，又当时，当时，且趋向于0，要使在有2个根，只需，故的取值范围是；证明：设，当时，则在递增，（1），当时，令，则，（2），取，且使，即，则，（2），故存在唯一零点，故有唯一的极大值点，由，可得，故，故为上的增函数，（2），综上，当时，总有，即14（2020河南模拟）已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，求的取值范围【解析】（1）的定义域是，令，当即时，此时在递增，当时，有2个负根，此时在递增，当时，有2个正根，分别是，此时在递
20、增，在，递减，在，递增，综上，时，在递增，时，在递增，在，递减，在，递增；（2）由（1）得：，令，则，则，当时，当时，故在递增，在递减，（2），的取值范围是，15（2020运城模拟）设函数（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围【解析】（1），在点，（1）处的切线斜率（1），则切线方程为，（2）有两个极值点即有两个零点，即有两个不等实根，令，在上，在上单调递增在上单调递减，（1）时，即（3）可化为设，又在上单调递减，在上恒成立，即又在上单调递增，在上单调递减在处取得最大值（1）16（2020鹿城区校级模拟）已知函数（
21、）当时，求曲线在，（1）处的切线方程；（）若存在两个极值点，求的取值范围；当取得最小时，求的值【解析】（）当时，（1），（1），曲线在，（1）处的切线方程为，即；（），存在两个极值点，有两个解，设，当时，恒成立，函数在上单调递减，此时至多只有一个解，不合题意；当时，令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，当，令（a），（a），令（a），解得，当时，（a），函数（a）单调递减，当时，（a），函数（a）单调递增，（a）（2），当时，有两个解，综上所述， 设，且，令，则恒成立，在上单调递增，（1），恒成立，在上单调递增，最小值时，取最小值为，再设，则恒成立，在单调递增，又（1）且，在
22、内存在唯一的根，即，在单调递减，单调递增，取最小值时，即取最小值时，17（2020沙坪坝区校级模拟）已知函数，其中（1）证明：函数有两个极值点，并求的取值范围；（2）若曲线在点处的切线与该曲线有且仅有一个公共点，求的所有可能值【解析】（1）的定义域为，所以，设，因为且，所以在上有两个不等实根，且当，时，；当，时，所以在，上单调递增，在，上单调递减，故，是的两个极值点，且，从而，又因为，所以，故（2）由（1）知曲线在处切线方程为，原问题等价于方程只有一个实根，设，则当时，在上单增，而（1），所以只有一个零点，符合题意当时，令得或1，所以，当，时，；当时，从而在，上单调递增，在上单调递减，所以在上
23、有一个零点，在上，因为，设，则，（a）在单调递增，所以（a），即，从而，取，则则存在，使得，此时有两个零点，不符题意综上，可取得的所有值为118（2020聊城三模）已知函数，（1）设，讨论极值点的个数；（2）判断方程的实数根的个数，并证明：【解析】（1），当时，在内单调递增，没有极值点当时，令，当，时，在，上单调递增又，（a），使，且当时，当，时，从而，当时，单调递减，当，时，单调递增，是函数的极小值点综上，当时，无极值点，当时，有一个极值点（2）方程可化为设，则原方程又可化为设，则，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增；，所以当时，所以方程只有一个实数根，方程只有一个实数根对于任意的， ，
24、即，19（2020运城模拟）函数，其中常数（1）若函数与有相同的极值点，求的值；（2）若，判断函数与图象的交点个数【解析】（1），的定义域都为，令，得；令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增所以函数在处取得极小值；又所以，解得，经检验，满足题意，故（2）函数与的图象的交点个数等价于函数的零点个数，设，则当时，令，则令，得；令，得，故函数在上单调递减，在上单调递增故则故在上是增函数，此时由，可得函数有唯一的零点即函数与的图象有1个交点；当时，并且对于负数，有又因为，所以所以所以在区间，上存在负数，使得，则在上，是增函数；在区间上，是减函数则，所以在上，有且仅有1个零点；在区间上，（1
25、）且是增函数所以存在正数，使得在上，是减函数；在上，是增函数于是有，（2）所以在上，恰有唯一的零点所以当时，在上恰有三个不同的零点即函数与的图象有3个交点综上所述，当时，函数与的图象有1个交点；当时，函数与的图象有3个交点20（2020香坊区校级三模）已知函数（）若为的极大值点，求的取值范围；（）当时，判断与轴交点个数，并给出证明【解析】（），设，在递增，故存在使得，当时，恒成立，故单调递增无极值，时，易得时，函数单调递增，时，函数单调递减，当，函数单调递增，当时，函数取得极小值，不满足题意；时，易得时，函数单调递增，时，函数单调递减，当，函数单调递增，为极大值点综上：，（2）由（1）知：时，
26、在单调递增，（2），（3），有唯一零点；时，满足，在递增，在，递减，在递增，当时，恒成立，当时，（1），所以，有唯一零点；，在上单调递增，单调递减，单调递增，（1）在上无零点，在，上有唯一零点；综上：，有唯一零点21（2020安庆模拟）已知函数为奇函数（1）讨论的单调性；（2）若有极小值，且恒成立，求实数的最小值【解析】（1）因为，为奇函数，所以，即，解得，所以，（当且仅当，即时，取等号）当时，所以在上单调递增，当时，令，则方程为有两个不等的正根，故可知函数，在，上单调递增，在，上单调递减（2）因为有极小值，所以是极小值点，即，所以，即，所以，构造函数，则，当时，故当时，恒成立，故函数在上单调
27、递减，其中（1），则，可转化为（1），故，由，设，在上递增，故，综上，实数的取值范围为，22（2020呼和浩特模拟）已知函数（）若函数的极小值为1，求实数的值；（）若函数在时，其图象全部都在第一象限，求实数的取值范围【解析】，若，则在上恒成立，在单调递增，所以无极值若，当时，当时，即在单调递减，在单调递增，所以的极小值为，由，解得，函数图象全部在第一象限，等价于时，恒成立，令，令，令，显然在，单调递增，当时，所以，在单调递增，即，在单调递增，所以，此时符合题意；当时，使故在恒为负值，在单调递减，此时，所以在单调递减，所以，此时不符合题意故所求的取值范围为，23（2020东阳市模拟）已知函数（1
28、）若函数有极大值点，求出极大值的取值范围；（2）若，求证：在区间，内有且仅有一个实数，使得【解析】（1），所以，所以，令，所以在递增，所以，（2）证明：令，令，所以，因为，所以在递减所以，又令，所以，同理，又因为在，递增，所以，存在唯一的，使，即在区间，内有且仅有一个实数，使得24（2020葫芦岛模拟）已知函数，（1）求函数的极值；（2）若，为函数两个不同的极值点证明：【解析】（1）函数的定义域为，当时，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，是函数的极小值点，无最大值点，极小值为（1），无极大值（2）证明：函数的定义域为，由题意可得，为函数两个不同的极值点，则，为方程的两个不相等的正根，即，（a），由（1）可知函数在区间上单调递减，（a），