1、第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第四节 随机事件的概率栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.随机事件的概率仍是 2021 年高考考查的热点，主要考查利用频率估计随机事件的概率，互斥事件、对立事件的概念以及概率加法公式在解答题中出现较多，有时也以选择题、填空题的形式出现，分值为 512 分.1.数学建模2.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1事件的相关概念发生不发生发生不发生2频数、频率和概率
2、(1)频数、频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n次试验中事件 A 出现的 5 _为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)6_为事件 A 出现的频率(2)概率：对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 7 _，称为事件 A 的概率次数 nAnAnP(A)3事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系A 发生B 发生事件 B 8 _事件 A(事件 A 9_事件 B)BA(或 AB)相等关系若 BA 且 AB事件 A 与事件 B 相等AB并(和)事件A 发生或 B 发生
3、事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)10 _包含包含于AB(或AB)名称条件结论符号表示交(积)事件A 发生且 B 发生事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)11 _互斥事件AB 为 12 _事件事件 A 与事件 B 互斥AB对立事件AB 为不可能事件，AB 为必然事件事件 A 与事件 B 互为对立事件AB，P(AB)1AB(或AB)不可能4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：13 _(2)必然事件的概率为 14 _(3)不可能事件的概率为 15 _(4)概率的加法公式：如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)16 _(5)对立事件的概率：若事件 A 与事件 B 互为对立
4、事件，则 AB 为必然事件，P(AB)17 _，P(A)18 _0P(A)110P(A)P(B)11P(B)常用结论 探究概率加法公式的推广(1)当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)P(A1A2An)1P(A1A2An)1P(A1)P(A2)P(An)注意涉及的各事件要彼此互斥 基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“方程 x22x80 有两个实根”是不可能事件()(2)对立事件一定是互斥事件，互斥事件也一定是对立事件()(3)事件发生的频率与概率是相同的()(4)若事件 A 发生的概
5、率为 P(A)，则 0P(A)1.()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 3P123A3 改编)容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表：分组 10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70)频数234542则样本数据落在区间10，40)的频率为()A0.35B0.45C0.55D0.65答案：B3(必修 3P121T5 改编)某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”()A是互斥事件，不是对立事件B是对立事件，不是互斥事件C既是互斥事件，也是对立事件D既不是互斥事件也不是对立事件
6、答案：C三、易错自纠4从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.3，该同学的身高在160，175(单位：cm)内的概率为 0.5，那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为()A0.2B0.3C0.7D0.8解析：选 A 由题意得，身高超过 175 cm 的概率为 P10.30.50.2，故选 A5(2019 届湖北十市联考)从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“都是红球”C“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析
7、：选 D A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的事件6抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件 A 为“出现奇数点”，事件 B 为“出现 2 点”，已知 P(A)12，P(B)16，则“出现奇数点或 2 点”的概率为_解析：因为事件 A 与事件 B 是互斥事件，所以 P(AB)P(A)P(B)121623.答案：23课 堂 考 点 突 破2考点一 随机事件的频率与概率【例 1】某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量 X
8、(单位：毫米)有关据统计，当 X70 时，Y460；X每增加 10，Y 增加 5.已知近 20 年 X 的值为 140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的频率分布表；近 20 年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率解(1)在所给数据中，降雨量为
9、 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200毫米的有 3 个，故近 20 年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率120320420720320220(2)由已知可得 YX2425，故 P(“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”)P(Y530)P(X210)P(X70)P(X110)P(X220)120 320 220 310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为 310.名师点津1概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值
10、，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率|跟踪训练|1随机抽取一个年份，对某市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下：日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在 4 月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；(2)该市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估
11、计运动会期间不下雨的概率解：(1)在 4 月份任取一天，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，估计该市在该天不下雨的概率为1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的概率为78.从而估计运动会期间不下雨的概率为78.考点二 互斥事件、对立事件概率公式的应用【例 2】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上顾客数/人x
12、3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率)解(1)由已知得 25y1055%100，x30(155%)100，所以 x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1151.5302252.5203101001.9(分钟)
13、(2)记 A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，A1，A2，A3 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”“该顾客一次购物的结算时间为 1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”将频率视为概率得 P(A1)15100 320，P(A2)30100 310，P(A2)2510014.因为 AA1A2A3，且 A1，A2，A3 是互斥事件，所以 P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)320 31014 710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 710.名师点津求互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)
14、|跟踪训练|2某班选派 5 人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：获奖人数012345概率0.10.16xy0.2z(1)若获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56，求 x 的值；(2)若获奖人数最多 4 人的概率为 0.96，最少 3 人的概率为 0.44，求 y，z 的值解：记事件“在竞赛中，有 k 人获奖”为 Ak(kN，k5)，则事件 Ak 彼此互斥(1)获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56，P(A0)P(A1)P(A2)0.10.16x0.56，解得 x0.3.(2)由获奖人数最多 4 人的概率为 0.96，得 P(A5)10.960.04，即 z0.04.由获奖人
15、数最少 3 人的概率为 0.44，得P(A3)P(A4)P(A5)0.44，即 y0.20.040.44，解得 y0.2.考点 随机事件概率的创新交汇应用【例】现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是()A35B12C 310D15解析 由题意得 an(3)n1，易知前 10 项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于 8 的项为第一项和偶数项，共 6 项，即 6 个数，所以所求概率 P 61035.答案 A名师点津随机事件概率常与数列、不等式、平面向量等知识交汇应用，求解时注意事件的分析与判断|跟踪训练|若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)4x，P(B)1y，则xy的最小值为_解析：由题意，知 x0，y0，4x1y1，所以 xy(xy)4x1y 54yx xy 524yx xy9，当且仅当 x2y 时等号成立，故 xy 的最小值为 9.答案：9点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
